http://lib.jlu.edu.cn/qcxx/tsk/fulltext/200207.pdf 曲面的参数化不是唯一的。 suddenly, 1 参数 system becomes popular, herds follows, gr becomes sr, curve break up or break down, big time
2.3
曲面论
2.3.1
曲面的表示
前面已经提到，曲面方程可以用双参数方程：
p
= p (u ,v )
ur
描述。曲面的范围常用两个参数的变化区间所表示的
uv 参数平面上的一个
矩形区域
1 u < u < 2 u 、1 v < v < 2 v 给出。这样就相应得到具有四条边界的曲面
即矩形曲面。曲面也可以定义在
uv 参数平面的某一区域ℜ 上，用(u,v)∈ ℜ给出。正常情况下，参数域内的点与曲面上的点构成一一对应的映射关系。
如图所示。 图
2-3 曲面上的点与参数域内的点间的映射关系
类似于曲线参数化的定义，可以定义曲面参数化。给定一个具体的曲 面方程，就称之为给定了一个曲面的参数化，它既决定了所表示的曲面的形 状，也决定了该曲面上的点与其参数域内的点之间的一种对应关系。同样地， 曲面的参数化不是唯一的。
2.3.2
曲面上的曲线和曲面的度量性质
已给曲面
p＝p(u，v)，若令u＝u(t)，v＝v(t)，代入曲面方程，
则
p＝p(u(t)，v(t))
这就成了单参数
t 的矢函数，它表示曲面上一条曲线。对参数t 求导，应用
吉林大学硕士学位论文
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链式法则，且记
, , , , u v
p p p p u du v dv u v dt dt ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ & &
则得该曲线的切矢
u v &
= = &+ &
由弧长微分公式可得
黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。
黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。
黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。
黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。
p dp p u p v dt
