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近代数学的一些工具（转贴——作者:樱析光）
上一篇 / 下一篇 2008-04-08 14:51:10 / 个人分类：杂文
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近代数学的一些工具
作者:樱析光
直接写的，也没有参考书，写的不好，还请批评指正．^-^
先说微分几何
一．流星，汗，打错了，是流形．（智能abc不好使啊）
我们平时的几何研究的是平直得空间，比如平面，或者说与平直空间有关系的几何，例如在拓扑意义下同胚的，数学家门不满足于研究平直的几何，想研究”弯曲”的几何，于是有了流形这个概念，通俗的说，他是有着局部平直空间结构的拓扑集合，然后在局部交接处依靠公共交接的函数关系把各个局部“黏结”起来，构成一个整体。这得到一个实质的弯曲空间，可以用以前的工具研究了。
二。余切空间与切空间
我们知道曲线有切线，曲面有切面，那流形呢？同样有类似切平面的数学对象，这就是切空间，这个空间只以来于流形本身，而与坐标架没有关系。余切空间由余切矢量构成，即流形上过某一点函数芽的等价类构成的线形空间，切空间则是看成他的对偶空间得到，也可以反够来，先给出切空间，再对偶以下就得到余切空间了。
三。丈量，哎~是张量，我的abc啊~~
张量空间是有张量构成的，而张量是····古典的张量是通过基变换，从而产生的分量间变换的雅可比距阵定义的，变换时，有几个距阵，就是几维的张量，根据阵的正反，有反变的和鞋变的（哎，还手套变的那，又打错了，是协变拉！）。现代则采取直接定义张量运算的方法给出，这时n维张量空间等价于n重线形影射空间，所以有时张量代数有叫多重线形代数。这是第三个工具
四。矢量丛
其实矢量丛就是积流形，因为很重要，单写出来。我们知道流行是局部拈贴成的，那丛呢？丛是一个局部上有着平直积结构的流形，同理的，我们会通过他们交接处的映射把这些局部连起来（诌点文明词语就是过度函数族的结构群拉~），丛就有了，叫食粮丛是因为局部上这些从的积的一个因子是食粮或丈量空间，所以就叫矢量从拉。
五，联络
恩···············联络····就是联络拉·····（想想···）
（很正式的）联络，是一种结构，有了他，我们就可以出去旅行拉···不对！是有了他矢量就可以出去“旅行”拉！！！，他是保证我们的流行上矢量平移以后还是矢量的一种结构，因为在弯曲空间上，一个矢量从一点移至另一点，就不一定是终点的矢量拉，这时候就要条件了，即联络，可以推广到丈量空间。在联络的努力下，（别扭啊，还是写“在数学家的努力下才好”）终于诞生了微分几何三大算子之一：绝对微商算子！！可以平移拉，就可以作差运算了，就有微商拉。大家回想一下微积分中的方向导数，他俩构做思想很象拉~
六：李群！！！！！！！！！
这家伙不是纯种···因为他是群和流形的混血，有两种结构，这东西和流行上的矢量场有对应关系，局部的李氏群可以生成矢量场，反之亦然，从而对于流行上的场，就可以有李变换，引出另外一个算子，他就是···（不好意思··忘记了···算子见多了··记一个忘一个···-_-）另外就是复变函数拉，复几何要用···
落落梭梭写完拉，那个，不嫌弃的话，就看完再走拉，恩···有人顶吗？
接着写啊，先（再）说一遍，我的文章不是论文，写的不严谨，很多数学符号打不出来，而且这种评论性文章我觉得是写的越通俗越好，想看原始定义定理的请去翻书！这里推荐几本：
陈省身《微分几何讲义》，候伯元《物理学家用微分几何》经典之作。
这次说说拓扑学，实际上大家应该感觉到了，现代几何的研究都是很抽象的，甚至是结果都没有明了的几何意义，实际上之所以归为几何，是因为他们确实有几何意义拉（废话），只不过抽象的推理掩盖了几何的形象。分几个部分介绍一下：
一。拓扑空间
所谓拓扑空间，或拓扑，指的实际上是集合上附加的一种结构，就好比实数集上附加线形结构一样，在拓扑中叫开集，有这样结构的空间叫拓扑空间，拓扑空间有一些拓扑性质，如紧性等，如果你学过数学分析或者泛函分析的基础知识，那么这里很好理解，如果没学过，劝你去从头学拉，直接读好抽象的。
二。基本群
基本群定义来源于乱伦的概念，（众人晕倒），不是拉，应该是基本群定义来源于同伦的概念，同伦是什么啊？他描述的是一几何对象（这里用曲线举例，可以推广到高维的）能连续的从一种形状变化为另一种形状的特性。我们把能这样变化的曲线看成一个类，叫道路类，取个基点再封闭起来，（就是一条蛇咬到尾巴的样子）叫闭路类，基本群就born了。这是一个重要的拓扑不变量，可牛啦~维数可以任意大，就是不太好算-_-···那杂办？没关系，下面有可以好算他的
三。同调群
给一个高维几何对像，上面有多少洞洞呀？你说：数数呗！废话！我还不知道数？但有的图形你根本就无法想象，怎么数？这时，出现一群，曰同调群，可量洞数···（咋这别扭啊）。他的基本研究对象是单形，通俗说就是空间的线形独立点作成的图形，例如三角形。然后用线形映射穿起来作成（项）链（送给老婆吧···不过你会死的很惨，括号里的字不要看！！！），然后给出他们的边缘链，还拿三角形来说，就是他的边串起来，在边缘映射之下，取映射的ker与像，作商集，就ok啦（请看蒙的人去学习同态基本定理，这里不解释啥叫ker）。
（这里捎带提一下奇异同调论，相对来说，这个更抽象！他研究的是奇异单形作成的链，奇异单形是普通单形到拓扑空间的连续映射，不过定义方式是沿袭单形那里的，用他可以推倒出单纯同调论的内容。）
四。胞腔（cell）
在单纯同调论里，我们可以把几何对象作单纯剖分，就是用单形把几何对象“大卸八块”，虽然剖分可以做的要多细有多细，但单形还是太单薄了点。我们需要一个强壮点的人，于是有了cell。说白了就是可以变形的“球”（学过生物吧？，就细胞那样）。这个就比原来大了，作剖分就省点事了，这里一定要提的是庞加莱对偶原理，是关于几何对象的胞腔剖分与对偶剖分间的关系的，没有他，胞腔就可以回家休假了。胞腔也有同调群，叫胞腔同调群，定义需要用到相对同调群和边缘映射在追赶引理下得到的诱导映射（你们头大了吗？大了就别看括号前面的那句话···）。
有转贴的拜托注明作者拉（就是我拉~我是樱析光）
说完几何，我再说说分析学啊，分析学博大精深，我也只能捡点最简单的写，因为我水平不高。（正因为我不是什么高人，所以才有时间在这里写啊^-^）。
一。实数完备性
这个很重要，因为他是微积分的基础，所谓完备，就是柯西序列肯定有极限，在一般书上都会有和他等价的几个定理，比如覆盖定理等。其实学习这一段最好是把这几个定理来回推一遍就明白鸟~这里学的好不好会直接影响到泛函，点集拓扑的学习。so，学好吧！
二。测度
我们知道实变函数的中心内容就是测度，册度实际上是集族中集合到实数集上的映射，他具有面积最重要的性质，1求和封闭性，2可列可加性。（即对可排列的集合元素，测度函数和求和符号可交换）这都是从面积加和中抽象出来得。册度衡量的是集合的容纳量度，比如求面积就是一种测度。我们实际上应用的测度都是一般册度加上一些条件作成的，比如勒被格测度，是在实数集上的一种测度。
三。算子与拓扑度
大家听没听说过泛函分析这门学科？就是研究：（泛，一般也~）一般的“函数”的分析。其最重要的概念就是算子。算子，就是把一个函数变成另一函数的映射。所谓拓扑度（解释以下为什么叫拓扑度，因为这个概念最先是研究代数拓扑得出的，现在他可以纯分析的定义，也可以用流形上的概念引出），研究的乃是一个映射的解的问题，比如一个一般方程，我们想找到他的解，但找不到表达式，或者说精确解，这时候就退一步拉，研究他有没有解，有几个解。而拓扑度就是衡量解的性状的标准。
简单捡几个我认为重要的写了，分析基本就这么多。
下面想写代数的，有人要看吗？转贴请注明小光呦~
预告：主角是抽象代数，配角范畴论，数论先生友情客串，该说代数了~恩，抽象代数闪亮登场！
一。代数系
啥是代数系呀？不会是大学里学习代数的学生总称吧？废话，当然不是！代数系这里指具有某种代数运算的集合，比如群，环，域，代数簇，模，代数等等，这些是代数的基本研究对象。而抽象代数就是研究这些东西的结构的，比如有限群的结构，模的分解（你知不知道一个整数可以分为素数的积呀，类似的）等等。有很多书对模提的很少，理由是因为用的不多，其实是骗人的拉！呆会我们的配角范畴上了，你就知道“爽”是什么意思拉！！~~必须一提的是伽罗瓦对应，此为域得出的群与群得出的域的一一对应，就像解析几何里建立一一对应的坐标系一样，重要非常。
二。代数系的表示
有没有学过线形代数的，矩阵类的？我们的表示主要靠他拉。这里用群说，一个群的表示，指的市群到线形变换或矩阵的同态。为啥这样呢？
当然不是闲的没事。建立这种对应后，就可以通过研究矩阵运算来间接的出群的结构了，这比直接欺负群方便啊！！
三。范畴（配角登场~~）
范畴，是对象（object）和对应的总称。是比集合更基本的研究对象。在不同范畴之间的射称为函子。范畴中最重要的当属模范畴，（嘿嘿，我说过，不懂模的各位在这里肯定爽了！满天遍地的模概念在你眼前飞啊）。
在这里插一段，解释一下为啥同调代数，叫“同调”代数？因为他是研究同调论引出的。
比如在同调代数里有一个““最（这个字念最，明白吗？）””重要的函子叫同调函子，他是利用同调论中同调群的构做方式引出的。
四。特征函数（客串的登场了~）
特征函数，是一个集合到单位根群的同态，代数里的概念，之所以提到数论，是因为我们大多数数论函数都是靠他做成份的，比如高斯函数就用到两种不同的特征。
大家顶顶哦~
基本就这样了，罗罗唆唆写完了，感谢看到这里的各位！拜~
