物理好图：如果相差的不是一个相乘常数，而是一个相乘的函数，比如动量本征函数，虽然也是e指数形式，使得两个波函数的模方相同，但那只

来源: marketreflections 于 2010-12-11 09:35:31 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (14135 bytes)

回答: 物理好图能级用数学术语来说就是哈密顿量的本征值。那么随机厄密矩阵的本征值是怎样分布的呢？由 marketreflections 于 2010-12-09 16:06:39

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Fundamental principle of Quantum Mechanics群：终极理论之梦 2010-08-29 15:12:31 阅读48 评论0 字号：大中小订阅 .

时至今日，适逢暑期最后一天，QM前三章——“基本原理”刚好复习完矣，故为此文以小结之。新学期伊始，将至后七章——“实际问题”（定态、跃迁、散射）。因才疏学浅，难免有误，但愿能抛砖引玉，得四海友人批评指正。

谈到某某理论的基本原理，一般要涉及其基本假设，量子力学也不例外。一般的书都会将量子力学概括为5条基本假设，即：波函数，算符，平均值，Schrödinger方程，全同性原理。考虑到全同性是多粒子体系的性质，而非所有体系的普遍规律，因而本文没有把它列入基本假设；出于科学方法论的考虑，将波函数与算符两条假设合并为一条假设；出于因果律的考虑，将平均值与Schrödinger方程也合二为一；另外，同样出于科学方法论的考虑，在提出两条基本假设之前，先给出一个研究的前提，即“研究对象”，作为第零公设。最后，受《通向量子引力的三条途径》一书影响，给出“通向量子力学的三条途径”。

第零公设（研究对象）：研究对象为微观体系

这句话似乎是废话。但后面的论述证明了它的重要意义：微观体系特有的性质是我们一切讨论的前提：微观体系和宏观体系是大不相同的，多粒子体系和单粒子体系也是大不相同的！例如，下面将在公设1中讨论的纯态分解与纠缠态，就无可辩驳地证明了重视子体系的重要意义。

为了说明这个问题，先引用我以前一篇日志《答靳硕文：外在属性与内在属性》的一段话：

http://blog.renren.com/blog/238527646/430698639?frommyblog

整体和部分的区别是东西方哲学的区别。长期以来，物理学家一直信仰还原论（即“部分”）。你指出“从整体角度理解量子纠缠”很好，但我觉得还有一个更深刻的问题你没注意到。物理学这门学科很与众不同，需要某种东西又不能拘泥于那种东西。经常听说要追寻数学符号背后的物理意义；要追寻物理背后的哲学内涵。但你知道吗？有时候还要追寻哲学背后隐藏的物理。看过埃舍尔《雅典学院》那幅画吧？柏拉图抬手指着头顶上的天空；亚里士多德伸手指着眼前的世界。这可以给我们一点启示。什么启示呢？我们不该像柏拉图一样首先在哲学层次思考量子纠缠这个物理问题，而应该像亚里士多德一样面对眼前的世界——微观世界。即是说，在这个貌似该“把部分整合起来”的时候，我们却更应该反其意而行之——“把部分研究彻底”。你先不要管微观客体之间的关联，先看看经典物理和量子物理的差别吧。这不是“适用范围的差别”那么简单的差别，更包含了认识论上的重大差别：经典物理试图描述的仅仅是体系行为的某些总的特征（例如，我们把刚体作为一个整体来考察它的运动，而不去讨论它的各个部分如何运动），即忽略体系行为的细节，这样必然导致唯象理论。而认识要透过现象看本质。本质是什么？内在属性。如何认识内在属性？还原。即要向微观领域进军——量子力学。你注意到了没有，当我们从经典迈进量子世界时，发现了更多的对称性。除了原有的时间平移、空间平移、空间旋转对称被保留外，还发现了全同粒子置换对称、同位旋对称等。为什么呢？因为原来那3种对称是基于外在时空的性质，不是系统的内在属性。为什么能量守恒、动量守恒、角动量守恒那么普适？因为它们根源于对称？不严格。严格地说是根源于时空性质这种外在的对称。假如它源于内禀对称，即因物制宜（因为物质粒子变了，表观行为也变了），就不可能“放之万物而皆准”。从经典到量子，我们“把部分研究得更加彻底了”，因而发现了内禀属性——这就是我们要的“本质”。

上面，我总结了微观体系的基本特征。这些特征，一方面使得微观体系的描述方法与宏观体系大不相同，这就是下面要提出的第一公设；另一方面使得微观体系的演化过程和因果关系与宏观体系大不相同，这就是下面要提出的第二公设。

第一公设（描述方法）：微观体系的状态用波函数描述，力学量用算符描述。

在经典力学中，态和力学量是不可分的，态直接用力学量来表示，态随时间的演化也是用力学量数值随时间的演化来表示的；在量子力学中，态和力学量被分开，态用波函数描述，力学量用算符描述，且态随时间的演化与力学量随时间的演化一般是不同的（在Schrödinger绘景中，态矢变但算符和基矢不变；在Heisenberg绘景中，态矢不变但算符和基矢变；在相互作用绘景中，态矢、算符和基矢都随时间而变）。

1.态用态函数（或态矢）描述。

态之间满足线性叠加原理，即ψ=ψ1+ψ2+…（或|ψ﹥=Σ|an﹥﹤an|ψ﹥），其中|an﹥为张成线性空间的一组基，当以不同的矢量为基进行展开时，会有不同的表象；cn=﹤an|ψ﹥为展开系数（例如，将an取为动量，ψ取为动量本征函数，cn即为展开式的系数。这个过程称为Fourier变换），其模方|cn|²为发现粒子的概率ωn（统计诠释）；当以本征矢为基进行展开时，该概率即为取相应本征值fn的概率。当不对体系进行测量时，体系保持叠加态形式恒定演化；测量时，体系状态由多个本征态的叠加态ψ突然坍缩到某一个本征值ψn（从多个分支世界到一个世界，Everett）；由于测量得到平均值，故cn即为取本征值fn的概率（特别地，当体系最初处于某个本征态时，平均值等于本征值）。在无粒子产生或湮灭的非相对论量子力学中，概率总是正定的，且概率之和为1.因此，出于对上述谱展开的正交归一完备性质的要求，基矢所张成的线性空间为Hilbert空间。

态函数除了“振幅”（模方）还有“相位”（相因子），它使得态叠加时存在干涉效应（如双缝实验中，由于不知道粒子从which way通过，因此要对所有可能的路径求和，此即路径积分思想之源。这与经典力学“δS=0是唯一真实路径”大不相同）。但是，干涉实验（如A-B效应）测量的是相位差（之所以能引起相位差，是由于双态系统的双连通性），而非相位本身，相位本身是不可观察的（另一个不可观察量是时间，将在后面给出）。因此，相差一个相乘常数的两个波函数被认为是同一的。为了说明相差一个常数不改变物理实质，举一个简单例子：我们都知道，势能的大小取决于零势点的选择，有意义的只是势能的差，相差一个相加常数的两个势能可以等同。这与波函数有什么联系呢？从数学上讲，任何一个相加的常数都可以通过指数函数变成一个相乘的常数，所以相差一个相乘常数的两个波函数可以看作能量零点的规范不同造成的（这是针对相差一个e指数形式的相乘常数而言的，对于其他形式，不是出于能量规范；但我们不必担忧，因为还有动量规范、角动量规范等，比如相差的相乘常数为“-1”对应全同统计规范）。为什么相因子能被能量规范吸收？从物理上讲，能量就是单位时间积累的相位（经典力学中，能量×时间=作用量，作用量决定一切；换到量子版本，作用量就是相位，“作用量决定一切”就变成“相位决定动力学”）。尤兄见解之深刻，于此可见一斑。

当然，如果相差的不是一个相乘常数，而是一个相乘的函数，比如动量本征函数，虽然也是e指数形式，使得两个波函数的模方相同，但那只是在位置空间相同。当用Fourier变换到动量空间时，就会发现它们的不同：波包发生了平移！吴老师见解之深刻，由此可见一斑。

量子体系的状态一般能用Hilbert空间中的一个矢量描述，但也有例外。我们把能用一个矢量描述的态称为纯态；不能用一个矢量描述，即体系分别以一定的概率P1，P2,…处于|ψ1﹥，|ψ2﹥，…等态中，这时称体系处于混态。纯态时计算平均值仅仅是量子力学的平均，混态时是在量子平均基础上的加权平均（权重为统计因子P1，P2,…）。

量子体系也可能包含很多子体系。这时，复合体系的态空间的正交归一完备系是各个子体系的正交归一完备系的直积。可以对复合体系的纯态进行Schimidt分解：若展开系数等于1，则为直积态；大于1，则为纠缠态。实验表明，退相干（测量导致相干性被破坏）的主要原因不是不确定关系，而是量子纠缠。而且，纠缠具有非定域性，即空间中某一点的性质不仅与和它邻近的点有关系，还和与它相隔很远甚至无穷远的点有关系。所以，两个量子事件超光速联系是可能的，贝尔不等式是错的，隐变量并不存在。其实，我们不必对此感到很惊讶，因为“非定域性”是很普遍的，推迟势是非定域的，一维无限深势阱中动量波函数也是非定域的；讨论惯性系时需要考虑定域，讨论电磁能传递则需要考虑全局。

2.力学量用算符描述。

算符就是一种变换，线性算符就是线性变换，所以学过线性代数的朋友不应该对算符感到陌生。前文已经提到，“当以不同的矢量为基进行展开时，会有不同的表象”，下面我们就讲讲表象变换。由于变换对应算符，所以要先定义一系列算符：

将一个算符中的所有复数换成它的共轭复数，就得到复共轭算符；将一个算符的矩阵行列交换，就得到转置算符；将一个算符取复共轭后再转置，就得到厄米共轭算符。有了厄米共轭，就可以进入表象（用基矢的厄米共轭左乘态矢，或用基矢和其厄米共轭分别右乘、左乘算符）得到（两头尖的）内积﹤|﹥，归一化条件、平均值公式都是内积的副产品（这时，应将|an﹥选为态矢|ψ﹥；将一个矢量与另一个矢量的厄米共轭对在一起（并矢），就得到（两头平的）外积|﹥﹤|。特别地，当这两个矢量相同时，即为密度算符；当两个矢量都为同一个本征值fn对应的本征矢|fn﹥时，即为投影算符；所有投影算符加在一起，即为单位算符（也称恒等算符）。在态矢、算符或内积中插入单位算符，就得到相应的矩阵表示（若已经进入表象，就可以完成表象变换）：

（1）在态矢|ψ﹥中插入单位算符，就得到态矢的表象表示Σ|an﹥﹤an|ψ﹥（这其实就是我们熟悉的态矢的展开式）；特别地，当态矢为基矢（即|ψ﹥=|an﹥）时，可得态矢在自身表象下的矩阵（它是对角的）；

（2）在|φ﹥=F|ψ﹥进入表象得到内积﹤am|φ﹥=﹤am|F|ψ﹥后，插入单位算符，得Σ﹤am|F|an﹥﹤an|ψ﹥，这就是算符F的矩阵表示（特别地，当|an﹥取为F的本征矢|fn﹥时，即为算符在自身表象下的矩阵表示，该矩阵也是对角的）。将它代入Schrödinger方程，就得到Schrödinger方程的矩阵表示。

（3）在前面，我们已经进入表象得到了归一化条件和平均值公式的内积表示﹤ψ|ψ﹥和﹤ψ|F|ψ﹥，但这不是矩阵表示。要得到矩阵表示，还需插入单位算符，分别得到Σ﹤ψ|an﹥﹤an|ψ﹥和Σ﹤ψ|am﹥﹤am|F|an﹥﹤an|ψ﹥.

（4）上面的讨论是以an﹥为基矢的（特别地，求自身表象下的矩阵时为|fn﹥）。不进行表象变换时，可以任选一个基矢来进入表象；但进行表象变换时，要根据需要选择恰当的基矢。例如对算符F进行表象变换，若插入的单位算符为Σ|an﹥﹤an|，则进入表象时就要选|bk﹥为基矢，得到﹤bk|F|bl﹥=Σ﹤bk|am﹥﹤am|F|an﹥﹤an|bl﹥;

（5）对算符进行表象变换，只需要注意选择|bk﹥以示与|an﹥区别即可；对态矢进行表象变换，不仅要注意|bk﹥与|an﹥的区别，还要将|bk﹥用|an﹥表示（即对基矢进行变换）。为此，在|bk﹥中插入δ符号，得|bk﹥=Σ|bn﹥δnk=Σ|bn﹥﹤an|ak﹥=U|ak﹥（其中，U=Σ|bn﹥﹤an.将在公设2中证明，它是幺正的）。取该式的厄米共轭，得﹤bk|=﹤ak|u﹢（其中u﹢为U的厄米共轭）.代入﹤bk|ψ﹥=Σ﹤bk|an﹥﹤an|ψ﹥得﹤bk|ψ﹥=Σ﹤ak|u﹢|an﹥﹤an|ψ﹥.

通俗地说，进入表象就是右乘、左乘，给一个算符F穿上﹤|和|﹥就像给一个人穿上衣服一样；表象变换就像换衣服一样。

在量子力学中，两个算符的乘积一般不满足交换律，即AB≠BA.为此，定义对易子[A，B]=AB-BA.当[A，B]=0时，称为A与B对易。这时，它们有共同本征函数（这是对单粒子而言的。对于N>2的全同粒子体系，虽然置换算符之间不一定对易，因而不存在完备的共同本征函数组，但可以找到一些特殊的共同本征函数，它们对每一个置换算符都有相同的本征值﹢1或-1，这就是全对称态函数和全反对称态函数），从而可以同时测量；反之，A与B不对易，则没有共同本征函数，不可同时测量——这就导致了著名的不确定关系。

当体系具有某种对称性时，进行对称变换得到的生成元一般与Hamilton量H对易，即[F,H]=0；又由于Ehrenfest方程dF/dt=?F/?t+[F,H]/i(h/2π)，且F一般不显含t（?F/?t=0），故dF/dt=0，这就导致F为守恒量。另外，如果两个力学量F、G均与H对易，但F与G不对易，则F与G有共同本征值而无共同本征态，从而造成简并（氢原子的基态是例外）。当然，由对称性生成元造成“守恒却不对易”并非造成简并的唯一原因。就像一把锁，它打不开有很多原因，除了锁齿不对，还可能是锁生锈了。类似地，造成简并的原因除了对称性还可以是拓扑不变性等其他原因。尤兄见解之深刻，由此可见一斑。

在A与B对易（AB=BA）的基础上，如果满足AB=BA=I（单位算符），则称B为A的逆。如果一个算符的厄米共轭（转置共轭）等于它的逆，则称其为幺正算符（如果一个算符的转置等于它的逆，则称正交；正交与幺正的关系可类比实数与复数）；如果一个算符的厄米共轭等于它本身，则称其为Hermite算符。由于测量值为实数，量子力学中的算符都是Hermite算符（对于连续谱的特殊情况，为保证完备性，要求算符为自伴的）；又由于态叠加原理为线性的，量子力学中的算符也都是线性算符。当然，这也是量子力学演化“幺正性”的要求，如前面提到的U=Σ|bn﹥﹤an满足UU﹢=I以及“态叠加原理的形式在时间进程中保持不变”.除此之外还可以证明，态矢间的关系（叠加、内积）、算符间的关系（对易、迹）、态与算符间关系（本征值、平均值）都保持幺正不变性。对于时间反演，由于演化为反幺正的，描述它的算符自然是反线性算符A(aψ+bψ)=a*Aψ+b*Aψ.但要注意，反线性算符不存在任何本征方程和本征态，不能算是一个量子理论意义下的可观察力学量，它连“时间宇称”的地位也没有（在相对论中争得与空间平等地位的时间，在量子力学中沦为阶下囚了）。但时间反演算符的平方（两个反线性算符的乘积）是线性算符，其本征值为(-1)^N，N为态中Fermi子的个数。

总之，第一公设告诉我们，系统的物理奥秘蕴于波函数中，要获得这些奥秘就要用算符作用一下来提取。潘兄见解之深刻，由此可见一斑。

第二公设（过程和因果关系）：态演化（U过程）遵从Schrödinger方程，态测量（R过程）得到平均值。

这一公设的内容基本上都在前面论述过了，这里仅小结一下：

态随时间的演化与力学量随时间的演化一般是不同的（在Schrödinger绘景中，态矢变但算符和基矢不变；在Heisenberg绘景中，态矢不变但算符和基矢变；在相互作用绘景中，态矢、算符和基矢都随时间而变）。

(为方便起见，下面的讨论基于Schrödinger绘景）在不进行测量时，态的演化遵从Schrödinger方程i(h/2π)?Ψ/?t=HΨ，力学量随时间的演化遵从Ehrenfest方程dF/dt=?F/?t+[F,H]/i(h/2π)（其中?表示偏导数），且演化为幺正的;测量时，总是得到平均值，若初态处于本征态的叠加态，则测量坍缩到某一本征态；若初态系统处于某一本征态，则平均值等于本征值。

在经典力学中，运动方程和初始条件是分开的（从方法论意义上说，将运动方程和初始条件分开来研究是Newton一大贡献，因为初始条件一般是很复杂的，而运动方程却无比简单，所以说Newton给出了科学研究方法的一个“范式”）。由于这一点常常被忽视，使得人们误以为经典力学是决定论的，殊不知初始条件的多变性已经使得经典力学蕴含了内禀随机性（混沌现象的发现无可辩驳地证明了这一点）。

在量子力学中，态演化与态测量是分开的。态演化是决定论的，态测量的坍缩是随机的，态演化的决定论形式与态测量的随机坍缩形式构成了微观世界新的因果律。

应该说明，依赖初值造成的不确定是因为多而造成的不确定性，属于统计不确定性；而坍缩造成的不确定是因为小而造成的不确定性，属于量子不确定性。但是，宏观的不确定性与微观的不确定性并非毫不相干的，比如热现象（宏观）的随机性起源于能级跃迁（微观）的随机性。尤兄见解之深刻，由此可见一斑。

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上面，我们总结了量子力学的基本假设。通过这些假设，可以建立整个量子力学。历史上，量子力学的建立是群策群力，但最有影响的人物有三个：Heisenberg，Schrödinger和Feynman，他们分别给出了量子力学的三种表述形式：矩阵力学，波动力学和路径积分。但这三种形式的得出不是空穴来风，它们都源于经典力学（严格说是分析力学）。所以，我们将量子化的过程美其名曰“通向量子力学的三条途径”：

（1）从Hamilton正则方程出发，将Poisson括号换成对易子，得到矩阵力学形式；

（2）从Hamilton-Jacobi偏微分方程出发，将力学量换成算符，得到波动力学形式；

（3）从Lagrange函数出发，对所有路径求和，得到路径积分形式。

通常，我们将（1）和（2）称为正则量子化（这是一次量子化，还有二次量子化，那是将已经得到的单粒子波函数看成经典场，再进行量子化，得到一个多粒子的量子论），而将（3）称为路径积分量子化。从相对论的角度看，后者更具优势（满足协变的要求）。但由于计算复杂，在初等量子力学中很少用到。

最后，要特别向尤亦庄学长（文中称“尤兄”）和潘逸文学长（文中称“潘兄”）以及吴一东老师（文中称“吴老师”）表示感谢。文中部分思想是他们的原创思想的转述（如果转述有违原意，请原谅和指正）。