Dirac 相因子也称为 Dirac Prescription Dirac 处 （ 方） 它是说矢量势对波函数产生的效应可以归结

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第 25 卷第 8 期 2006 年 8 月 大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS Vol. 25 No. 8 Aug. 2006 Aharonov - Bohm 效应和量子力学相位概念的一些问题 — —评曾谨言著 量子力学》 Ⅱ 第六次印刷第四章的物理概念 — 《 卷李华钟（ 中山大学 高等学术研究中心， 广东 广州 510275） 摘要： 意图澄清一些对于 Aharonov - Bohm 效应的误解， 指出一本国内流行甚广的量子力学教科书中对这一物理概念的错 误解说. 关键词： Aharonov - Bohm 效应； Dirac 相位因子 中图分类号： 413. 1 O 文献标识码： A 文章编号： 1000-0712 2006） （ 08-0026-03 波函数的相位是量子力学中很重要的基本物理 对科学内容的正 概念. 教科书是给学生学习的范本， 确阐述是高等学校教材的基本要求， 不正确的教材 阐述给学生带来的伤害可能会危及他们的终生事 批评和改正是一 业. 因此对教材中错误阐述的指出、 项极为严肃、 至关重要的事. 第四次印刷 （2000 年） 第五次印刷 、 （2001 年） 有相 当大的改动. 先指出第六次印刷书中的错误， 再比较 第六次印刷与第四次印刷中的改动之处， 此书卷 Ⅱ 第七次印 刷 2004 年 3 月） 第 六 次 印 刷 内 容 相 （ 与 同. ） A - B 效应给我们提供的最重要的物理信息有： 1）过去认为电磁矢量势是为计算而在技术上 这个观点不正 引入的量， A - B 效应告诉我们， 而 确， 电磁势是有可观察物理效果的量. A - B 效应的 相位改变是势的效果， 而不是 力” 场强） “ （ 的作用. 2）在 A - B 效应实验配置下， 电子波函数的相 位因子是依赖路径的不可积相位因子. 这种相位因 子一般明显依赖规范， 路径两端点的相位差既依赖 路径， 也即是依赖规范. A - B 效应的实验配置是使 不同路径的始点和终点都一样， 沿两路径的波束始 点同相， 到末端两波束的相位差是确定不依赖规范 的、 可以观察的. 这种配置下的两路径末端相位差等 于两路径组成的环路相位积分. 3）电子路径所在的空间几何性质， 或说拓扑性 质 例如： （ 单连通区域或双连通区域） 决定了电磁 ， 势所显现出的可观察的相位影响. 两路径组成的环 路如在单连通区域， 则环路积分为 2 πn， = 0 或整 n 数； 如在复连通区域， 包围着磁通量环路积分， 则相 （ 位依赖于磁通 Φ 的大小 e 还有一附加值 2 πn， n Φ， " 为整数） 它是环路绕磁通的匝数， ， 称为绕数. 曾谨言在 量子力学》 Ⅱ 第六次、 《 卷 第七次印刷 中第四章的 A - B 效应论述中， 就存在如下错误： 1 Aharonov - Bohm 效应 1959 年 A. Bohm 和 Y. Aharonov 应用量子力学 并很快在第二年就有实验 理论， 预言了 A - B 效应， 宣布他们证实了 A - B 效应. 但事实上， 物理学界仍 然有不少人对此存在质疑. 经过了近 30 年的争论 后， 直到 1986 年 A - B 效应才确定无疑地被实验所 证实. 至今 A - B 效应已被物理学界完全肯定， 并写 入了教科书， 成为量子力学教材中不可缺少的基本 概念， 并且已成为新的物理学分支学科——介观物 — 我们不再复述这一物理 理和纳米技术的基点. 在此， 效应， 但要指出， 在一本国内流行甚广、 影响很大的［1］ 教科书 中， 对于 A - B 效应及其相关的物理效应 ［2 的解说， 存在严重的错误 ～ 5］. 曾谨言教授所著 量 （ 《 子力学》 Ⅰ， ， 卷 发行 3 版， Ⅰ 八次 卷 Ⅱ 科学出版社， 印刷， Ⅱ七次印刷， Ⅰ 印数 24 150 册， Ⅱ 印数 卷 卷 卷 19 800 册. 影响可谓广泛. 本文指出在曾谨言教授所 著 量子力学》 《 书中有关波函数相位的物理现象的 阐述出现了 严 重 错 误， 注 意 到 量 子 力 学》 Ⅱ 也 《 卷 （第 3 版） 第四章 量子力学中的相位” “ 这一章书上 、 （2004 年） 与 的第六次印刷 （2003 年） 第七次印刷收稿日期： 2005 - 04 - 01； 修回日期： 2006 - 02 - 06 作者简介： 李华钟 （1930—） 男， ， 广东丰顺人， 中山大学物理系及高等学术研究中心教授， 博士生导师， 主要研究领域为： 规范场理论、 粒子理 论、 介观物理理论. 第8 期 李华钟： Aharonov - Bohm 效应和量子力学相位概念的一些问题 27 第 208 页 § 4. 1. 1 磁 A - B 效应” “ 的论述中， 用 Dirac 相因子去说明 A - B 效应. 原文是： ……管内 “ 磁通为 Φ， 在管外， 磁场强度 B = 0 特 （ 部有磁场 B， 别是在两束粒子经过的路径上 B = 0 但 A ≠0） 按 （ ， 第三章的讨论， 粒子的波函数中将出现一个 Dirac 相 因子 见 P. 205 （ （5） ， 式） 即……” 这段话就是说当 . 粒子束分成两束后的路径分别为 P1 和 P2 ， 未启动螺 管磁通时 A = 0， 启动磁通后管外 P1 及 P2 路上 A≠0， B = 0， 粒子波函数 ψ1 和 ψ2 各自出现了 Dirac 相因 子. Dirac 相因子的出现是由于启动螺管内磁通后出 现了不同的物理情况， 使管外原先沿路径处 B = 0， A = 0 的条件变为 B = 0， A ≠0. 曾谨言教授说这一 但 点的根据是卷 Ⅱ 第 205 页的论述， 可是第 205 页式 （51） 前后讨论的是规范变换， 是同一物理状况不同 规范下的描述， 而在这里是两种不同的物理状况， 所 以说的不是一回事. Dirac 相因子最先是 Dirac 于 1931 年引入的， 是 一个依赖路径的相因子， 是用来表达电子与电磁场 作用下的电子波函数. Dirac 由此论证了磁单极在量 子力学框架下存在的合理性. 电子在电磁场中运动， 同一物理情况的波函数可以有两种表述方式： 一种 是在 Schr?dinger 方程中， 哈密顿用矢量势表述， 这时 表述方式依赖规范， 这是通常的方式； 另一种是使 Schr?dinger 方程不含依赖规范的矢量势. 这时波函 数就和前者表述不同， 多了一个相因子， 这个因子是 依赖路径的， 但整个表述方式不依赖规范， 而依赖路 径. 这个相因子后来被称为 Dirac 相因子. 这一表述 方式导致了磁单极的引入， 后来引入了规范场， 不过 这一表述也使波函数成为多值的. Dirac 相因子的出 现是对同一物理状况的另一表述. 而在 A - B 效应 中， 由于矢量势的作用出现了不同路径的波函数的 相位不同， 这也是一个依赖路径的相因子， 但它的出 现描述的是不同的物理状况， 与上述的同一物理状 况、 不同表述方式有不同的含义. 在 A - B 效应中出 现的 Dirac 相因子也称为 Dirac Prescription Dirac 处 （ 方） 它是说矢量势对波函数产生的效应可以归结到 ， 一个磁相位因子， 即有磁场作用下的波函数等于无 磁场作用时波函数乘以一个磁相位因子. 曾谨言教 授所说的 第三章第 “ （51） 是第一种情况电磁现 式” 象方程使用规范变换所得， 当然是同一物理状况， 而 A - B 效应所应用的 Dirac Prescription 是第二种情 况. 曾谨言教授对 A - B 相因子的论述是对不同物 理概念的混淆和误用， 他把第一种情况用到了第二 种情况中. 对A - B效应的认识有一点重要的是， 在 两路径上的 A 不能同时为零 管内有磁通后） 但仍 （ ， 可以有一路径上 A = 0， 而同时在另一路径上 A 必定 不能为零， 当然也可以取沿两路径都不为零. 路径必 须在复连通区域， 无论取什么样的规范， 两路径波函 数的相位差都是确定的. 只要路径所形成的闭环内 包含了磁通 Φ， 则相位差 Δт = e $ e ∮ A?dr = $ Φ 就是确定的， 它将导致 A - B 可观察的干涉效应. 2 标量 A - B 效应曾谨言教授著 量子力学》 Ⅱ 第六次印刷第 《 卷 在这一节中引述了 B. E. All四章第 209 ～ 211 页，［6］ man （ 曾著中把作者误为 R. F. Allan） 等的论文， 用 中子干涉仪测量所谓的 标量 A - B 效应” 而实质 “ ， 上 标量 A - B 效应” “ 电 A - B 效应” “ 和 同样是标量 标 势对中子波函数相位的影响. 在这里重要的是势， 量势与矢量势同样有对波函数相位的影响. 因为中 子无电荷， 尽管中子有磁矩， 但它所受磁场的力场和 磁力矩的作用为零， 而相位却受到势的影响. 曾书 （ 卷Ⅱ第 210 页） 把标量 A - B 效应说成是中子磁矩 “ 在磁场 B 中受到磁场作用. - ? ?B = - %σ?B 是 一种标量相互作用. Hamilton 量表示为 H= 1 2 p - %σ?B 2m （7） ” 又说 ……由于受到此脉冲磁场的作用将产生一个 “ （ 相移. ” 第 210 页） 曾书把 标量 A - B 效应” “ 描述为 受磁场的作 “ 用” 这是错误的陈述. 电 A - B 效应 E - A - B） ， （ 与 （ 都是标量势而不是力场 标量 A - B 效应 S - A - B） 的作用， 从这一点上来看， - A - B 和 S - A - B 属 E ［7］ 于同一类属， 但是 M. Peshkin 和 H. J. Lipkin 虽然 也都认同两者在数学式上的相似是由于标量势的作 用， 但又强调 S - A - B 在本质上不同于磁矢量势的 A - B 效应. M. Peshkin 和 H. J. Lipkin 是从 A - B 效 应的非局域性和拓扑性来考虑的. 他们并不认为 S - A - B 的中子会受到磁场的力， 而只是说标量势依 赖于磁场强度 B 的大小， 沿中子路径处处存在. 另一 方面 A - B 效应的矢势 A 来源于磁通 Φ， 也依赖 Φ 于螺管内磁场强度 B 的大小， 不过对电子的作用是 排除 非局域的， 等等. Allman 等用极化中子做实验， 了经典力和力矩对中子的作用， M. Peshkin 和 H. 但 J. Lipkin 仍然认为 Allman 的 S - A - B 效应不是拓 扑的， 他们认为这可以解释为中子是受量子力矩起 28 大 学 物 理 第 25 卷 伏所影响， 即使力矩平均值为零， 但只要起伏不为 零， 就会导致中子的自旋由于起伏力矩而绕局域磁 ， 场旋进 Precession） 这种解释并不是曾书中所讲的 （ 磁场的力场作用. 增内容里又增添了新的问题. 正如一位量子力学教 学资深人士所说： 教科书的内容的正确性至关重 “ . 继续努力， 把这本教 要” 希望曾谨言教授再接再厉， 科书的错误一一剔除， 使它成为一本名副其实的教 学参考书！ 3 曾谨言教授著 量子力学》 Ⅱ 第六、 《 卷 七次 印刷与第四次印刷第四章两版本的差异这里要指明的是， 曾谨言教授著 量子力学》 《 卷 参考文献：［1］ 曾谨言. 量子力学 卷Ⅰ、［ M］ 第 3 版 第四、 六、 . （ 五、 Ⅱ . 科学出版社， 2004. 七次印刷） 北京： ［2］ 李华钟. 关于量子几何相位的评注——评三本量子力 — 2002， （7） 21 ： 学教材中一个基本概念 J］ 大学物理， ［ . 18 ～ 22. ［3］ 曾谨言. 教学研究： 介绍量子力学几个基本概念——兼 — 答 关 于 量 子 几 何 相 位 的 评 注》 的 几 个 主 要 问 题 《 中 . 2002，（ 7） 23 ～ 28. 21 ： ［ J］ 大学物理， ［4］ 李华钟. 教科书内容的正确和真实至关重要——关于 — 曾谨言著 量子力学” “ 中量子几何相位概念的再评注 ［ J］ 大学物理， . 2005，（ 3） 43 ～ 45. 24 ： ［5］ 李 华 钟. 关 于 Lewis-Riesenfeld 相 位 和 量 子 几 何 相 位 ［ J］ 物理学报， . 2004，（ 6） 1 643. 53 ： ［6］ Allman B E， al. Scalar Aharonov-Bohm Experiment with et neutron J］ Phys Rev Lett， ［ . 1992， （ 16） 2 409； 68 ： Allman B E， al. Scalar Aharonov-Bohm effect with longitudinalet ly polarized neutrons J］ Phys Rev A， ［ . 1999， （ 6 ） 4 60 ： 272. ［7］ Peshkin M， Lipkin H J. Topology， Locality， Aharonovand Bohm effect with neutron J ］ Phys Rev Lett， ［ . 1995， 74 （15） 2 847. ： ［8］ 李华钟. 量子绝热定理， 思想和方法 J］ 物理， ［ . 2005， 34 （6） 418. ： 五次印刷中第四章 § 4. 4. 3 Ⅱ第六次印刷将第四、 “ 量子态的自然联络” 一节完全删去了， 这一节是完 全错误的阐述， 第六次印刷时将前次印刷中给出的 量子几何相位错误的定义也删改了， 删去了一些错 误的内容， 这是好的， 但是第六次印刷中， 还保留了 前次印刷本中的错误， 并且又出现了新的错误， 这在 文献 ［4］ 5］ 、 中已经指出. 又例如： Ⅱ 第六次印刷 ［ 卷 第 228 ～ 229 页新增引用微分方程的解唯一性所作 的解说显然也是错误的. 《 量子力 学》 Ⅱ 第 六 次 印 刷 增 加 了 § 4. 4. 1 卷 “ 量子绝热定理适用条件” 第 221 ～ 227 页） 关于 （ . 绝热定理已经有一评述 适用条件将另文论述. 我们也注意到第六次印刷中对贝里相位的错误 定义作了修改， 但是卷 Ⅰ 第七、 八次印刷第十一章 " 11. 1. 2 却仍保留了贝里相位错的定义和解说， 因 而同一本书同一概念前后矛盾. 总之， 量子力学》 Ⅱ 第 3 版第六次印刷修改 《 卷 了以前版本中第四章内容的一些明显错误， 这是进 步， 应该欢迎， 但是也还存在不少问题， 尤其是在新［8］ 可参考， 量子绝热近似的 On the concept of wave function phase factor ——A critique to the book“ Quantum mechanics” Ⅱ chapter 4 by Zeng — vol. LI Hua-zhong （ Advanced Research Center and Department of Physics， Yat-Sen University， Sun Guangzhou 510275， China） Abstract： number of misconceptions in a current text of quantum mechanics by J. Y. Zeng in Chinese are A pointed out and analyzed in addition to previously criticized points. Key words： scalar Aharonov - Bohm effect；Dirac phase factor
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