"另一种对称性"：内特(Noether)定理一个力学系统动力学行为的每一个对称性都意味着该系统的一个守恒律对称破缺和戈德斯通

来源: marketreflections 于 2010-12-17 10:10:10 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (13239 bytes)

回答: 对社会mkt 事件舆论，信息，量子力学测不准办法，波函数由 marketreflections 于 2010-12-15 15:41:16

对称性和热学*
包科达1) 刘锦城2）
摘要试图探索一条不同于传统做法的、概括和表述热学基本定律的途径.从理论上，把热学置于对称性原理的基础之上，加以概括和解释. 关键词时间和空间平移对称性；时间反演对称性；守恒律；对称破缺分类号 O 414.1
SYMMETRY AND HEAT
Bao Keda1) Liu Jincheng2) ( 1) Department of Physics, Peking University, Beijing, 100871, China; 2) Pingxiang Specialized School, Pingxiang, Jiangxi, 337055, China)
Abstract In this paper we try to explore a way for summalizing and expressing the fundamental laws of heat, entirelly different from the usual practices. The heat will be generalized and described on the principles of symmetry. Key words time and space translation symmetry; time reversal symmetry; conservation law; symmetry breaking
1 引言
对称性原理在物理学中的基础地位，正越来越受到物理学家的重视.从单纯地将对称性看作对物理现象可能性的一种限制，转向把它作为确立物理定律的一块基石.整个物理学的发展，就是物理学家通过大量精确的实验观测和深入的理论分析，揭示各种制约自然界物理现象的基本规律，例如力学的牛顿三定律，热学的热力学第一、二、三定律，电磁学的麦克斯韦方程组等.近年来的研究揭示，贯穿于物理学各分支领域里的这些规律中，还存在一些概括性更高的法则，对称性原理就是其中主要的一个.诺贝尔奖得主和对称性原理的主要阐述者之一的Eugene Wigner［1］把对称性与自然定律之间的关系，类比于自然定律与单个事件之间的关系时说：“对称性原理为自然定律提供的构造和相关性，恰似自然定律自身为一组事件提供的构造和相关性.”那末，对称性原理与热学或热物理学(包括热力学和统计物理学)之间有什么关系?我们能否把对称性看作制约热物理学建立和发展的、概括性更高的法则?换句话说，我们能否从对称性原理出发引出热学的基础定律?本文试图就此作一些剖析，以引起各界的关注和讨论.
2 对称性
尽管可以认为，对称考虑从科学思想产生和发展的一开始，就是科学家的一个基础性的考虑，但直到20世纪量子力学建立和发展之前，对对称性的认识，多数仍仅限于直感的事物对称性的几何方面，把它看作限制物理过程的一种可能性.例如：圆球绕通过它中心的任意轴的转动是对称的；它对含中心的任意平面的反射和对通过中心的反演是对称的；一个立方体绕通过面心轴的四度旋转下是对称的.由于圆球在旋转任意角度下是对称的，旋转角可取任意值，因此圆球的旋转对称性是连续的；反之，上述立方体的旋转对称是离散的.即使依据这样一
些简单的对称性概念，人们就可以避开物理学基本定律，而对物理现象作出合乎实验观测的分析，例如：由简单的对称性分析可知，有心力作用下的行星轨道一定在一个平面内；平衡态气体的时空对称性必导致麦克斯韦的速度分布律；利用对称性可证明，无限长均匀带电直导线周围的电场必垂直导线表面，且呈径向分布；无限长密绕螺线管在空间任意一点产生的磁场与其轴线平行等等. 然而，稍为深入分析几何对称性就会发现，每一个几何对称性在数学上可用一种坐标变换来加以描述，例如对x-y平面的反射操作，对应于x→x′，y→y′和z→-z′的变换；而绕z轴的四度旋转操作，可通过x→y′,y→x′和z→z′加以表述.上述圆球和立方体相对这两种操作都是对称的，这一事实反映在圆球方程和确定立方体的数学关系式相对上列两种变换是不变的. 现若将从几何对称性获得的有关对称性、对称操作和坐标变换等概念，推广应用到更为普遍的情况：一组变量的一种变换定义一个对称操作，若这些变量的函数通过变换后的形式不变，那末就说此函数相对这种操作是对称的.这样，若表述一个物理定律的数学公式在与某种操作相应的变换下保持不变，则该定律相对此操作是对称的.最常用的对称操作有平移、转动、镜像反射、标度变换等空间操作和时间平移、反演等时间操作.例如：对于一个其中的力只是位置函数的力学系统，牛顿运动方程f=m(d2r/dt2)在时间反演操作(r→r′，t→-t′)下是对称的，叫做时间反演对称性.它预示系统中允许的任何运动，必有逆向的运动.设想有一盒录像带，记录了月球上宇航员抛射向上的一个球，随后在引力作用下落到表面.那末，不论是正向还是反向放映这盒录像带，观众看起来，都是等同的.而地球的大气层中存在的粘滞阻力，破坏了这种时间反演对称性.由此可见，一个特定系统的动力学行为的对称性是受到动力学方程和决定力的势能函数的性质所制
约的.对于量子力学问题，尽管动力学方程变得略为抽象，牛顿运动方程为薛定谔波动方程所取代，但对称性原理是相同的，薛定谔方程相对时间反演操作也是对称的.
3 内特(Noether)定理
把上述对称性分析应用于力学系统时发现，由此可以引出一些意义深远的结果：一个力学系统动力学行为的每一个对称性都意味着该系统的一个守恒律，这个结论现在称为内特定理，以纪念首创人德国数学家Emmy Noether(1882～1935年). 任何系统的机械运动都是在一定时空中发生的，故当描述一个系统的机械运动时，总是相对一定参考系说的.一般说，不同参考系中的运动规律，不尽相同.惯性参考系是最简单的一种参考系，其中时空是均匀和各向同性的，自由物体在其中或永远静止，或以恒速作直线运动. 惯性系中的时间均匀性，要求其中发生的机械运动相对时间的平移操作变换t→t+t0不变，即具有时间平移对称性.在物理上，这意味着，若保持封闭的质点系中每个质点的初始位置和速度不变，系统的动力学行为并不会因时间平移而改变.由此时间均匀性引出的后果是，封闭系统的势能函数Ep与时间明显无关，即()=0，从而得到dEp=，故封闭质点系的机械能守恒：恒量，这样，内特定理从时间平移对称性预言存在一个守恒量，称它为系统的能量［2］.相应的，空间均匀性和各向同性要求惯性系中发生的动力学行为，相对空间平移操作r→r+r0和转动操作φ→φ+φ0不变，即具有空
间的平移和转动对称性.空间平移对称性要求空间各点等价，即若有一个封闭的力学系统，其中所有的质点都位移δr，则系统的运动状态不变，故系统内力在此位移下所作的总功应为零：，从而引出牛顿第三定律Fij+Fji=0，得到封闭质点系的动量守恒定律.空间转动对称性要求空间各取向等效，故角位移δφ后系统内力的总功应为零：，即系统的总力矩为零，从而得到封闭质点系的角动量守恒定律.综上所述，对于一个互作用势能只与质点之间相对位置有关的质点系的时间、空间均匀性及其各向同性的深刻物理后果是系统的能量、动量和角动量守恒［3］，这恰是内特定理要说明的. 倘若我们再依据因果律，把时空均匀性和各向同性，即时空平移对称性和转动对称性，看作原因的对称性，而系统的能量、动量和角动量守恒律看作结果的对称性，则可引出结论：原因中的对称性必反映在结果中，这就是对称性原理，首先由P.居里于1894年提出.
4 时间平移对称性和热力学第一定律
两者之间的关系是显而易见的，因为后者表明，对于任一热力学系统必存在一个态函数内能，对于孤立系内能守恒.从微观的意义讲，系统的内能就是组成它的所有粒子的无规则热运动的动能和它们之间相互作用的势能之和. 对于系统的温度、体积和粒子数恒定的正则系综，内能是一个可涨落的量.由于宏观物体包含的粒子数十分巨大，宏观观测的时间和空间的特征尺度较之原子、分子运动的相应特征量大很多，故实验观测到的内能仍取确定的数值，是系统能量的统计平均值，与时间无关. 当我们在时间平移对称性基础上，重新认识能量守恒定律时，再简略回顾一
下人们对它的发现和认识是富有启发性的.确认守恒量能量的存在，始于1693年，当时莱布尼茨(Leibniz)观测到，地球重力场中质点的能量(1/2)mv+2+mgh是一个守恒量.随后的物理学史上不止一次地发生过，在新的物理过程中似乎一部分能量湮没或者无中生有地产生出来，后来的物理学发展又总能确立一种新的能量形式，补偿似已消失或冒出来的那一部分能量，能量守恒定律始终巍然屹立.例如焦耳(Joule)经过几十年的艰辛努力，测定了热功当量，确认热也是一种能量存在的形式.带电体周围的电场具有电场能.燃烧获得的热量来源于物质结构的化学能.1905年爱因斯坦(Einstein)把能量与物质的静止质量联系起来，导出了著名的质能关系式E=mc2.不久，物理学家发现，原子核裂变过程中释放出的能量与相应的质量亏损是符合此关系式的.特别值得一提的是，为了解释β衰变过程中消失掉的那一部分能量，泡利(Pauli)于1931年提出伴随核内中子蜕变为质子和电子的同时，必有一种未被认识的粒子；后来意大利物理学家费米(Fermi)把这种中性且静止质量为零的粒子命名为中微子，从而找回了那一部分丢失的能量，能量守恒定律依旧成立.
5 空间平移和转动对称性与广义的热力学第一定律
当我们确认内特定理，把热力学第一定律和存在态函数内能寓于时间平移对称性中时，自然会联想到，共有7个可加的运动积分，为什么只有能量在热学中起重要作用?而不是动量和角动量?事实是由于传统的因素，我们惯于讨论宏观静止的系统.一旦当天文学家应用热物理学于旋转的巨大天体，如银河系时，系统的动量和角动量的作用，将和能量一样，变得十分重要.一个广义的正则系综的概率密度ρi(Ei,pi,Ji,V,N)可写为
ρi=Z-1exp(-βEi-λp.pi-λJ.Ji)
其中Ei，pi和Ji分别表示系统微观态i的能量、动量和角动量；而β、λp和λJ分别为相应量的拉格朗日乘子；Z(β,λp,λJ,N,V)是配分函数.因此，广义热力学第一定律应该是时空平移和转动对称性的一个后果.
6 对称破缺和戈德斯通(Goldstone)定理
热力学中还存在一些状态参量，如体积、磁矩、电矩和摩尔数等，它们又是如何从对称性分析中产生出来的?回答是它们存在的基础是对称破缺和戈德斯通定理.譬如体积这个几何状态参量，它与对称破缺概念的联系，可通过晶体的形成过程加以说明.以固态的二氧化碳(干冰)晶体为例，在“无限大”的气态CO2中，随温度下降而在某局域形成晶核的过程，从对称性观点看，是系统从一个具有连续的完全对称性的气态转变为一个只有离散的较低对称性的固态的过程.在这类晶核化过程中，系统对称性突然自发地降低，称为系统的对称性的“破缺”.从固体物理学我们知道，晶体的振动模式可用波数k=2π/λ和圆频率ω(k)加以描述.长波模式变为简单的声波，并有线性关系ω=vk，故极端模式是在空间均匀的模式，振动频率趋向于零.此时半波长内就包含很多原胞，它们整体地沿同一方向运动，因此晶体可以近似地看成连续介质，而且具有确定的体积.著名的物理学家P.W.安德森(Anderson)把这种对称破缺系统具有一个激发谱，当波长趋向无穷时，频率趋向零的性质概括为戈德斯通定理［4］. 相类似地在一些电极化材料例如HCl晶体中，位于格点上的HCl分子中，氢离子围绕相对大的氯离子转动，形成电偶极矩.在转变温度以上，这些电矩的取向是无序的；转变温度以下，偶极矩取向趋向有序，整个晶体拥有净电矩.晶体
从具有较高对称性的状态自发地降低对称性，转变为电矩具有确定轴取向的较低对称性的状态.根据戈德斯通定理，这种对称破缺必将导致一个波长为无穷时零频率的元激发.在极化晶体中，这类元激发由在净电矩指向附近轴的微小摆动形成的振荡波组成.类似的情况，在居里点附近的铁磁材料中也发生，从而在磁介质热力学中可以引进状态参量总的磁矩.
7 时间反演对称性和细致平衡原理
最后，我们用对称性原理来审视统计物理学的基石——等概率原理：孤立系达到平衡态时，系统处于任一可能微观运动状态的概率相等.恰是在等概率原理的基础上，才引出了微正则、正则和巨正则分布的极值性质，即在相应的宏观限制条件下，这些分布对应的微观态数目Ω最大，再把熵定义为正比于ln Ω的态函数，从而得出达到平衡态的系统熵最大，构成热力学第二定律的熵增加原理的表述. 一个热力学系统的可允许的微观态，在经典描述中，可用6N维相宇空间里的一个相点表示；在量子描述中，用系统可存在的量子态表示.当系统在外界的扰动下发生微观态之间各种可能的跃迁时，在相宇中勾划出一条迂回曲折、飘忽不定的轨迹.若系统某时刻处于i微观态，随后在外界扰动下跃迁到j态，单位时间里的跃迁概率为pij，这些跃迁概率{pij}在状态空间中构造一个网络(在数学上表示为矩阵)，把系统所有可允许的态，成对地联结起来. 量子力学的倒易定理［5］证明：当系统的哈密顿量与时间明显无关时，由时间反演对称性可引出原过程的跃迁概率等于逆过程的跃迁概率，即pij=pji.统计物理学中把此倒易定理称为细致平衡原理，它是时间反演对称性的直接后果.显然
pij是条件概率，表示开始处于i态的系统跃迁到j态的概率.故若用fi表示系统处于态i的概率，则单位时间里跃迁离开状态i的总数正比于；相类似地单位时间里跃迁到状态i的总数与成比例.若再考虑到平衡态系统处于i态的概率在时间里是稳恒的，则有
当满足细致平衡时，则对所有状态有fi=fj=Ω-1，这就是等概率原理. 可以设想如此的图象：系统在一切可允许的微观态之间发生各种可能的跃迁，某些态被频繁地访问(很大)，另一些只偶尔被访问；一些状态一旦被系统达到后，不易变更(很小)，又有一些状态却要求系统赶快离开它.但由于时间反演对称性，要求达到平衡态的孤立系中，那些只偶尔被访问的态，一定是系统不易变更的态；而那些频繁被访问的态，只允许对它的短暂入主.恰是这种互相抵消的特征，保证了系统处于任一可能微观态的概率相等.由此可见，等概率原理是系统时间反演对称性的一个后果.
8 对称性和选择定则
应用等概率原理分析实际问题时，还必须注意出现零跃迁边界的可能性.零跃迁边界把系统的状态空间譬如说相宇，划分为两个区域，其间不能发生穿越零跃迁边界的跃迁.量子理论证明，出现零跃迁边界的物理原因是另一种对称性发挥了作用，并把这种跃迁概率为零的现象称为选择定则.实际上，选择定则映射一种对称性，起源于守恒律［6］.譬如，由空间平移对称性引出的动量守恒律要求的选择定则为：末态动量等于初态动量加微扰动量时，跃迁才会发生，否则跃迁
概率为零.由时间平移对称性引出的能量守恒律要求的选择定则为：终态能量等于初态能量加微扰能量.又如在有心力场中运动的电子的选择定则为：角量子数Δl=l′-l=±1，磁量子数Δm=m′-m=0,±1等. 由此可见，为了使热力学的描述完全且有效，必须将能表征状态空间各个分隔区域的全部状态参量包括进来，否则就会引出与实验不一致的结论.例如，人们在研究低温下气态氢的热学性质时，就曾发生过这类情况［7］.氢分子的两个核的自旋，可因其取向平行或反平行而区别为正氢和仲氢.它们的对称性很不相同，前者相对于垂直分子轴的平面的反射操作是对称的，而后者只相对分子中心的反演操作才具有对称性.选择定则禁止两者之间的转变，故若忽视了这一选择定则，就会导致热力学的不完全描述，引出氢气热力学性质的不正确预言.有趣的是，实验表明，若在氢气中掺进少量的氧或水蒸汽，由于这些气体分子的顺磁性，与氢分子核自旋之间的相互作用，破坏产生选择定则的对称性，从而使得正氢和仲氢之间可互相转变，把氢处理为单一气体的热力学描述又变为完全和有效. 因此，热力学描述的完全性在于确定系统的相关的状态空间时，必须考虑它的所有的对称性.每一个新揭示的对称性，在引进新的状态参量的同时，将热力学的应用范围扩大.从此意义上讲，是否可以在对称性原理的层次上把热物理学概括为一门研究从物理系统的对称性引出的，对物质的热运动可能具有性质的制约的学科.
作者单位： 1) 北京大学物理系，北京 100871； 2) 萍乡专科学校，江西萍乡 337055 *原国家教委面向21世纪教学内容和课程体系改革研究项目(编号02-4-5)
9 参考文献
［1］ Wigner E. Symmetry and Conservation Low. Physics Today, 1964,34 (3) ［2］ Мамъееъ А Н.Механпка ц Теорцл Омноспмеlъносмц.20e u3g. u3g. 《Внсшал шкоlа》，1986, 148 ［3］赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程第一卷：力学.北京：高等教育出版社，1995.146 ［4］ Anderson P W. Concepts in Solids. N.Y: Benjamin Inc, 1964. 175 ［5］张启仁.量子力学.北京：高等教育出版社，1989.286 ［6］邹鹏程.量子力学.北京：高等教育出版社，1989.第六、七、八章［7］ Callen H B. Thermodynamics and an Introduction to Thermo-statistics. second edition. John Wiley & Sons, Inc, 1985
收稿日期：1998-06-15