拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换 fourier 变换 是 laplace变换 的特例 s=d+jw 实分量 d=0

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拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换2010-05-02 10:11Lapulasi
拉普拉斯，P.-S.
Pierre-Simon Laplace (1749～1827)

法国数学家、天文学家。1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日。1827年3月5日卒于巴黎。年幼时 就显露出数学才能，1767年他到巴黎拜见J.le R.达朗贝尔，经过周折，终于以自己对力学原理的论述受到了达朗贝尔的称赞，随即被介绍到巴黎军事学校任数学教授。1785年当选为法国科学院院 士，1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。
拉普拉斯的研究领域很宽广，涉及天文、数学、物理、化学等方面的许多课题，他一生中最主要的精力是花费在天体力学上面的。他把数学当作解决问题的重要 工具，而他在运用数学的同时又创造和发展了许多新的数学方法。在微分方程、复变函数论、代数学和概率论等方面都有卓越贡献。在微分方程中有以他的名字命名 的拉普拉斯方程：

他在1782年就考虑过形如



的积分方程，后来人们称它为 □(□)的拉普拉斯变换。他是复变函数论的先驱者之一，较早地考虑了复函数求积法，并把实积分转换为复积分来计算实积分的值。在代数学中有关于行列式的拉 普拉斯展开定理。他还被公认为概率论的奠基人之一。
拉普拉斯的研究成果大都包括在他的三部总结性的名著中:《宇宙体系论》(1796),其中有著名的关于太阳系起源的星云假说,因为康德也曾发表过类似 的假说,所以在科学史上通常称为“康德-拉普拉斯星云说”。《天体力学》(1799～1825),这部5卷16册的巨著实际上是I.牛顿、A.-C.克莱 罗、L.欧拉、J.-L.拉格朗日以及他本人的天文学研究工作的总结和统一。书中以很多篇幅阐述位势理论，这对物理学的许多分支的发展有深远的影响。传说 拿破仑曾指责他在这部论述宇宙的大书中竟然没有提到宇宙的创造者─—上帝,拉普拉斯回答说:“陛下，我不需要这种假设。”《概率的分析理论》(1812) 是概率论方面的一部内容丰富的奠基性著作。书中首次明确给出了概率的古典定义，系统叙述了概率论的基本定理，建立了观测误差理论（包括最小二乘法），并把 概率论应用于人口统计。书中大量运用了拉普拉斯变换，生成函数和许多数学工具。拉普拉斯把他的一篇著名论文：《关于概率的哲学探讨》，作为该书第二版 (1814)的序言，文中提出了关于概率论的重要见解：概率论终将成为人类知识中最主要的组成部分。生活中那些最重要的问题绝大部分正是概率问题。
由于拉普拉斯在科学上的重要成就，他有“法国的牛顿”之称。拿破仑曾任命他作内政部长，但不久又认为他不称职而把他免职，并讥讽他把“无穷小的精神” 带入政府工作。



在工程学上的应用
　　应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方 程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化 上都有广泛的应用。

傅里叶变换

简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号 中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。

拉普拉斯变换
定 义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω 是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；
右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt
其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对 [f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换 ，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉 普拉斯变换 中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变 换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。 拉普拉斯变换 主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析 （零极点图）依然常用。 Fourier变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。


Z 变换

简单地说，就是 离散信号(也可以叫做序列)的拉普拉斯变换 ，可由抽样信号的拉普拉斯变换 导出（如果你想要更多，我可以导给你看），表示式如下：
ZT[f(n)]=从n为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和 ,其所变换的域称之为“Z域”。

傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例，在拉普拉斯变换中，只要令Re[s]=1,就得到傅立叶变换。当然，两者可以转换的前提是信 号的拉普拉斯变换的收敛域要包含单位圆（即包含圆周上的点）。
很多信号都不一定有傅立叶变换，因为狄力克雷条件比较苛刻，而绝大多数信号都有拉普拉斯变换。故对于连续信号，拉普拉斯变换比傅立叶变换用得更广泛。
两者的共同点：都把时域函数转换为频域函数（对于拉普拉斯变换来说，是转到复频域上）。另外，两者都能很方便地解出低阶微分方程。



fourier 变换 是 laplace变换 的特例 s=d+jw 实分量 d=0

laplace 变换是 z变换的特例 z的模等于1 在单位圆上的z变换

L(s)= 积分 l(x)*e-st s=d+jw w是角频率




传递函数transfer function
零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作G（s）＝Y（s）／U（s），其中Y（s）、U（s) 分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹法——都是 建立在传递函数的基础之上。系统的传递函数与描述其运动规律的微分方程是对应的。可根据组成系统各单元的传递函数和它们之间的联结关系导出整体系统的传递 函数，并用它分析系统的动态特性、稳定性，或根据给定要求综合控制系统，设计满意的控制器。以传递函数为工具分析和综合控制系统的方法称为频域法。它不但 是经典控制理论的基础，而且在以时域方法为基础的现代控制理论发展过程中，也不断发展形成了多变量频域控制理论，成为研究多变量控制系统的有力工具。传递 函数中的复变量s在实部为零、虚部为角频率时就是频率响应。

传递函数 transfer function
把具有线性特性的对象的输入与输出间的关系，用一个函数（输出波形的拉普拉斯变换与输入波形的拉普拉斯变换之比）来表示的，称为传递函数。原是控制工程学 的用语，在生理学上往往用来表述心脏、呼吸器官、瞳孔等的特性。