关于引力场强 g(r)和引力势Ψ(r)的讨论 负号表示引力方向与位矢方向相反

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和引力势Ψ 的讨论 关于引力场强 g(r)和引力势Ψ(r)的讨论 和引力势郭俊德 叶县第二高级中学 u r 关键词:引力场强 g (r ) 位矢 单位矢 引力势Ψ(r) 重力势能 摘要:在忽略地球自转的影响下,根据万有引力定律,库仑定律,电 场强度的定义可得到引力场强 g(r)的定义式,应用高斯定理先讨论地球引 邮编 (467223) uu r 力场强 g (r ) 的分布情况.又因引力是保守力,应用引力场强和引力势的梯 度关系,通过对引力场强积分求出引力势,在讨论引力势的分布情况.最 后简要说明重力势能 E = mgh 的意义. 正文:在中学物理课本中,重力加速度在地球附近一般取 g = 9.8m / s 2 ,在不考虑地球自转的影响下,重力加速度的值随距地心间距离的平方成反比,但中学物理课本未给出理论的解释.本文的宗旨是:从 理论上讨论引力场强 g(r)和引力势ψ(r)的分布情况. 一,引力场中场点的引力场强 1.1 场点的引力场强的定义式 在忽略地球自转的影响的情况下,我们讨论地球与某一质点的相 互作用力时,可以把地球看成一个质点.若用 M 表示地球质量,m 表示质 r 点的质量, r 表示位矢,由万有引力定律可知:地球对质点的引力 ur Mm r F = G 3 r (负号表示引力方向与位矢方向相反)由于万有引力定律和 . r ur r F GM r 场强度的定义可得引力场强的定义式为 g ( r ) = = 3 r (r 为场点的 m r 库仑定律存在极大的相似,使得引力场和静电场也存在诸多相似,类比电 位矢) . 1.2 引力场中引力场强的分布情况 地球的球心是引力场的源点,场点的引力场强是矢量,方向与场点位矢方 向相反.它的定义和静电场的场强是相似的,我们假设地球是一个质量分 布均匀的球踢,其密度为 ρ ,地球内外的引力场强可直接应用引力场的高 u r 斯定律 ∫∫ g (r ) ds = 4π G ∑ m u r 4π G ρ r ′3 r 得出 g ( r ) = r , r 是高斯面 ( 3r 3 r 的半径, r ′ 为包围质点的球面半径, r 为场点的位矢) 1.2.1 在地球内部(0 R 时,引力场强的计算式可以变形为 g ( r ) = u r 3 4π G ρ R地 r r. 3r 3 此式说明在地球外部引力场强的大小随着场点距地心距离的增大而减小, 并且与距地心间距离的平方成反比. 综上所述,我们可以用一个图像来 u r g (r ) m / s 2 表示引力场强的大小与场点间距离 之间的关系.用纵坐标表示引力场 9.80 强的大小,横坐标表示球心到场点 的距离,它们之间的关系如图—1 二 引力势的分布情况 由于引力是保守力, 因而功与物体运动路径无关,所以 引力场也是有势场.根据引力场强 图—1 R地 r/米 于引力势的关系是: g ( r ) = ψ .反过来,引力势和引力场强是积分关 u r 系. u r r R地 u r r 引力势ψ ( r ) = ∫ g ( r ) d r = ∫ g ( r ) d r + r R地 r ∫ R地 u r r g (r )d r = ∫ r 4π G ρ GM rdr + ∫ 2 dr 3 r R地 = 3GM 2π G ρ 2 + r 2 R地 3 2.1.1 在地球的球心处的引力势 引力势在球心处可简化为 ψ (0) = 3GM = 9.382 × 107 m 2 / s 2 在 2 R地 3GM 2π G ρ 2 + r ,这说明引 2 R地 3 球心处引力势不为零,是负值. 2.12 在地球内部引力势的分布情况 当 0R 地 时,在地球外部 在地球外部,引力势的计算式为ψ ( r ) = ∫ r GM dr r2 GM 通过简化可以表示为ψ ( r ) = ,这说明在地球外部引力势随场点到 r 球心间距离的增大其值逐渐减小,在无穷远处引力势为零. 综上所述, 引力势与球心到场点的距离关系也可以用图像表示出来, 用纵坐标表示ψ(r)用 ψ (r ) /×107 m2 / s 2 横坐标表示地心到场 R地 点的距离, 则他们的关 0 系可以用图---2 表示 r/m 2 由上述分析可知: 4 引力势具有负值, 在地 6 心处为 9.382×107 在 8.34 8 地 球 表 面 处 为 - 8.34 图 —2 9.38210 ×107 ,在无穷远处引 力势为零. 在中学物理教材中,一般取地面为零时能面,引力场中某点的引力势 与参考面的差值即位势差,与参考面的选取无关. 引 力 场 中 某 点 的 引 力 势 相 对 参 考 面 的 引 力 势 1 1 .令 r = R地 + h ,则 h 为场点 R地 r R 1 GMh 到地面的高度,整理得ψ h = = gh 1+ h h R地 1 + R地 R地 ψ h = ψ h ψ o = ∫ g (r )d r = GM r u r r (重力加速度的值) 不变, h = gh , ψ 当 h R地 时可以认为引力场强的大小 故引力势在地球附近可近似认为为ψ h = gh ,h 为场点距地面的高度. 仿照电势能的定义,引力势能可定义为:引力势能的大小等于质点质 量和场点引力势的乘积, E p = mgh .引力势能与零时能面的选取有关, 取地面为零时能参考面,当物体距地面高度 h 远小于地球半径时,重力势 能可近似认为 E p = mgh ,重力势能为物体和地球所组成的系统所共有. 本文着重讨论了引力场强和引力势的分布情况,并描绘出它们与场点 到地球球心间距离变化的关系, 最后简单说明重力势能的相对性和近似性, 由于本人的能力有限,不妥之处往批评指正. 参考文献: 《电动力学》 梁绍荣 学出版社 1986 年 10 月第一版 王雪君 编 北京师范大 作者简介:郭俊德,1969 年 3 月生,1990 年毕业分配到叶县二高,担任高 中教师,北京师范大学物理学专业毕业,优秀物理竞赛辅导员,有多篇教 研论文获奖,高中物理教学参考网站驻站作者.有近百篇教案,试题,论 文在中国基础教育网上交流. 邮政地址:河南省叶县第二高级中学 邮编 467200 电子信箱地址:[e-mail] 电话号码 :0375---8808409
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