物理好图 海森堡 把经典力学中的坐标用频率和振幅表示，通过傅里叶级数展开为： ( )( , )( )i n atxntA n e

来源: marketreflections 于 2010-12-13 13:08:21 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (7351 bytes)

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谈量子力学的基石——矩阵力学与波动力学朱洪杰 （华中师范大学物理学院 06 基地班，武汉，430079）摘要：本文讨论了“矩阵力学”与“波动力学”的思想基础及其形成过程，同时评述了两种体系的等价性及其历史意义。关键词： 海森堡；薛定谔；矩阵力学；波动力学；等价性在量子力学产生之初，对于一个微观系统的描述存在着两种不同的理论，海森堡之矩阵力学与薛定谔的波动力学，但同时它们又是等价的。这两种理论的形成与发展，各有其内在的历史背景和思想基础，对整个量子理论的思想的掌握，有着重要的意义。1、海森堡矩阵力学的诞生海森堡在慕尼黑大学获得博士学位后，做过波恩的助教，随后又在波尔研究所工作，因此，他融合了索莫非的物理，波恩的数学，波尔的哲学，为日后矩阵力学的创立和发展奠定了重要基础。一个重要例子就是波尔的对应原理，便是矩阵力学建立的一个重要思想基础和指导原则，矩阵力学形成另一个思想基础就是”可观测性原则”，按照这个理论，海森堡认为物理上只应该讨论那些可观测的物理量，抛弃诸如电子的轨道，频率等不可观测量，采用可观测量来建立理论。海森堡认为“电子在原子中的轨道是观察不到的，但是从原子发出的光，如它在放电过程中发出来的，则我们可以直接求其频率与振幅”。所以他计划创造一个理论，只应是用光谱线的频率，强度，偏极化等观念，同时他的做法也是受到爱因斯坦在相对论中对时间，空间“操作定义”分析的影响。他基于对应原理和可观测性原则这两个重要理论，深入研究了氢原子的光谱线，继承了如分立能级，定态，量子跃迁，频率条件等概念，摒弃了绝对精确的轨道概念。他首先把经典力学中的坐标用频率和振幅表示，通过傅里叶级数展开为： ( )( , )( )i n atxntA n eωα∞−∞= ∑再根据对应原理，在量子论中有：1
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( ,)( , )( ,)i n natxntA nneωααα∞−−∞=−∑其中( ,)n n α−代表从 n 态跃迁到n α− 态， ( ,)n nωα−代表跃迁频率，因为频率是可观测量，所以符合可观测量原理的要求，他就用上述展开式中的频率和振幅作为矩阵来表示位置和坐标。因为动量dxpdt=，所以也可以用上述矩阵来表示，又因为动能 T，势能 V，总能量 E 等都可以用 x, p 这对正则坐标来表示，所以上述矩阵就确定了原子内部状态。随后，波恩和约当继续研究，在 1925 年发表关于量子力学，他们采用海森堡的方法，把坐标 q 和动量 p 全部用矩阵加以表示：经典 新（量子）2 i nnpp eπ ω τ∞−∞= ∑→2( , )( , )i nnpp eπ ω τ ττ∞−∞=∑2 i nnqq eπ ω τ∞−∞= ∑→2 ( , )( , )i nnqq eπ ω τ ττ∞−∞=∑由此得到了 p 与 q 的对易关系：2hpq qppi−=，即强量子化条件，同年波恩，海森堡等人发表著名论文《关于量子力学》，阐述了矩阵力学的原理和方法，把一个自由度推广到了任意自由度，建立了定态微扰和含时微扰，成功地解决了谐振子，转子，氢原子等分立能级光谱线频率，强度等问题。矩阵力学由海森堡提出，经过波恩，狄拉克等人的完善解决了原子领域的一系列问题。但是当时物理学家对矩阵代数很陌生，很不容易接受矩阵力学，随后薛定谔波动方程的提出，在一定边界条件，解微分方程的本征值问题，物理学家们感到欣慰。2、薛定谔波动力学的创立矩阵力学建立后不久，薛定谔受到德布罗意物质波的启发，创立了波动力学，建立了薛定谔方程，它是描述微观粒子运动状态的基本规律，可以与牛顿定2
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律在经典力学中的地位相比。他在第一篇论文中提到德布罗意博士论文对他的启示，他写道：“我要特别感谢路易斯德布罗意先生的精湛论文，是它激起了我的这些思考和对相波在空间中的分布加以思索。薛定谔的思想大概是从以下四个方面的前提得出来的：（1） 原子领域中电子的能量是分立的；（2） 在一定的边界条件下，波动方程的振动频率只能取一系列分立的本征频率；（3） 哈密顿雅可比方程不仅用以描述粒子运动，也可以描述光波；（4） 最关键的是爱因斯坦和德布罗意关于波粒二像性的思想。电子可以看程一种波，其能量 E 和动量 P 可用德布罗意公式与波长和频率联系在一起。1926 年，一月到六月，薛定谔咦题为《量子化就是本征值问题》的四篇论文系统地阐述了波动力学，新的力学体系得到确认。薛定谔从经典力学和几何光学对比，许多相似之处：光波相位pds∫⇒ϕ；粒子轨道 光线；⇒粒子动量 P 波矢⇒urκ ；粒子能量 E 光波角频率；⇒粒子速度 V 光波群速度⇒dvdkω=；开始，他试图建立一个相对性运动方程，由于当时不知道电子有自旋，所以在氢原子光谱的精细结构上与实验数据不符。后来，改用非相对论性方程处理电子，得到了与实验相符的结果。在第一篇论文中引入波函数的概念，利用变分原理，得到不含时间的氢原子波动方程。在第二篇论文中，薛定谔从经典力学与几何光学的类比级物理光学到几何的角度，得到了上述的相似之处，阐述了他建立波动力学的思想，并建立了一般的含时间的波动方程。在他的第三篇论文中，系统阐述了定态微扰理论，他用波函数详细计算了氢原子的斯塔克效应，结果与实验符合得很好。在第四篇论文中，推出了含时间的的微扰理论，并用于计算色散等问题。这一组论文奠定了非相对论的力学的基础。波动力学 形式简单明了，数学方法基本上是接偏微分方程，对大家都比较熟悉，也易于掌握，所以人们普遍欢迎这一理论。3
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3、两种理论的“等价性”与量子理论的本质问题1926 年，薛定谔在认真钻研了海森堡等人的著作的基础上，发表了题为《论海森堡波恩与约当和我的量子力学之间的关系》的论文，证明矩阵力学和波动力学的等价性，指出两者在数学伤的完全等同，可以从一种理论变换到另一种理论，他们都市以微观粒子的波粒二像性为基础。数学家冯诺依曼利用希尔伯特空间，证明了这两种理论的同构性。他认为院子内的电子状态可用希尔伯特空间的一个态矢量 t >表示，在这个空间中采用不同的坐标系，同一态矢量就有不同的的表述方式。在此空间中建立“坐标表象”则态矢量表示为 t > =(,)r tφ，若建立“”表象则Q∧t >= 12( )( )( )ntttccc⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M其中 ( )nntQc=t)，为海森堡矩阵。在希尔波特空间空间内，同一个态矢量在不同坐标系下，有不同的表述形式在坐标表象中( ) (r pr iF FF∧∧∧==ur urur uur,,−∇uu，但是在“ Q∧”表象中 F∧为海森堡矩阵F∧=1111mmmmFFFF⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLM OLMO在坐标系表象中有波动力学求本征值问题，得本征方程4
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n nnFφφλ∧=但在“”表象中为Q∧1111mmmmFFFF⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLM OLMO12( )( )( )ntttccc⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M=nλ12( )( )( )ntttccc⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M求态矢量的特征值方程。综上所述，波动力学与矩阵力学的本征值是一样的，描述的是同一个问题，是同一个理论的两种不同描述，在希尔伯特空间中得到同意。这两种不同形式的力学奠定了整个量子理论的基础，形成了一个严密体系，为后续的不断发展提供了可能。参考文献【1】 刘连寿 . 理论物理基础教程 . 北京: 高等教育出版社,2003【2】 杨福家 . 原子物理学 . 北京: 高等教育出版社,2008【3】 曽谨言 . 量子力学导论 . 第二版 . 北京: 北京大学出版社,2006【4】 黄红波等 . 诺贝尔百年鉴 . 上海: 上海科技出版社,2001【5】 张孔辉 . 海森堡矩阵力学体系形成 . 哈尔滨师范大学自然科学学报 1996,12(2)【6】 刘连君 . 海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动力学 . 武汉工程职业技术学院学报2001,13(3)5

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