系统的位形就可以用具有3n个坐标q的点来代表，或者说用具有3n个分量的矢量q来代表。这样，系统从一个位置到另一个位置的变化就可以

来源: marketreflections 于 2010-12-12 14:53:24 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (47801 bytes)

回答: 物理好图对于平衡物理系统,物理量在相空间中按概率测度的平均应等于这物理量沿一轨道的时间平均;系统是保守的，其总能量E便是常数，由 marketreflections 于 2010-12-11 16:17:24

《古典物理学原理》

　

第二章、相对性原理
　

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相对性原理是力学的基本原理。对自然的研究和对自然力量的利用从一开始就是同使物体个体化（Individualization）联系在一起的。一个物体到另外一些物体的距离随时间发生变化。当这些“另外的”物体依然是所论物体的不可分割开来的背景的时候，我们就无法用数列对应于该物体的位置和位置的改变，也就是不能对物体的位置和速度施行参数化。给定一个物体，它相对于一些物体运动，标志出这些物体，然后用数列与这些距离相对应，于是这些物体就成为参照物，而给定物体到这些物体的距离的全体就成为参照空间。对应于距离的数之全体组成为一有序系统。这样同参照物联系在一起的坐标系，也就被引进来了。所谓处所的相对性原理就是坐标系的平等性；从一个坐标系转换到另一个坐标系的可能性；以及给出坐标变换时刚体内部的特性和刚体内部的各质点的距离及其结构的不变性。

力学的全部发展过程（包括其形成过程）一直同参照系统变更时扩大物理客体不变性概念的范围联系在一起的。在十七世纪不仅已然判明物体的结构与坐标系的选择无关，而且也明确了从一个坐标系过渡到另一个相对它作匀速直线运动的坐标系时，力和加速度之间关系的不变性。这就是用现代物理语言陈述的伽利略伟大发现的内容。它是近代自然科学的真正起点。倘若地球不是一个被赋予特权的参考物，倘若宇宙间根本就没有这种物体，这就表明空间中所有的点和所有的方向都是平等的，即空间是均匀的，各向同性的。这就是近代自然科学的中心思想，它发现于十七世纪并一直延续到今。

牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，在其根据运动三定律得到的第五个结论里面清楚地陈述了相对性原理。但是，牛顿力学没有绝对运动的概念是不行的。绝对运动概念是同力和加速度联系在一起的。从运动学来看，力的作用不是单值的。比如在一个计算系统中力引起某个加速度，那么在另一个相对于前者是以加速运动的系统中它却可以引起另一种加速度，当然也包括加速度为零的情况。因此只有根据动力学的效应，根据引起绝对加速度的系统中的力才能把绝对运动加以标志。牛顿用把水盛在旋转着的桶中的著名的实验作为证明存在着绝对运动和绝对空间的判定实验。这时水将沿着水桶的边缘升高；倘若水桶不动，而其周围的空间绕着水桶旋转的话，这种现象或许不会发生[1]。对牛顿来说离心力的存在是有利于绝对运动的决定性的论据。《自然哲学的数学原理》的全部内容和牛顿建立起来的宇宙体系都是同这种思想联系在一起的，即不能用任何一种具体的物质所产生的作用来解释离心力。在解释离心力发生时，这一著名的牛顿现象并没有提供转动与具体的物理实体有关系的根据。因之牛顿把转动和加速运动都认为是相对于空间本身的。然而不管把这个结论形而上学地加以绝对化的企图如何，它本身还是同十七到十九世纪的天文学、力学和物理学的认识相适应的。

由于提出绝对空间这一概念使得牛顿能比笛卡尔的相对主义又向前作了一系列发展。按照牛顿的理解，所谓绝对运动并不是相对于一些个别的物体，而是相对于空间。牛顿所主张的这种绝对静止的空的空间可以看成充满整个宇宙的，数目不定的，离散存在的物质和“宇宙气”的总代表。是否可以把天体的总和看成是那种“被赋予特权”的参考物甚至就看成是上述那种空间呢？这里还要再谈一下那种不可分割开来的实在。所谓物体相对于空间运动本身就意味着把一个被个体化的物体同一个不可分割的背景（即把物体加以个体化之后所声剩下来的整个宇宙）加以对照。牛顿认为加速度就是相对这一没有被明确的背景而言的。然而在每一个具体的动力学的课题中他必须应用和具体的物体联系在一起的某个计算系统。因而在给出动力学课题的范围后必须把相对静止的物体和与具体物体无关的，作为绝对空间出现的，被赋于特权的计算系统加以区分。在《原理》一书中这部分内容放在基本定义之后进行了叙述。[2]

这里我们暂且把这种未予明确的绝对空间的概念放在一旁，先来谈谈相对运动概念。这个个概念在应用到自由度数很大甚至无限大的系统时就会受到限制。可是只要我们回到那种不可分割的，整体连续的表象，只要我们放弃单个物体位置和运动的参数变化以及为些所必备的坐标系，那么绝对运动和相对运动的对立就被撤消了。对某一宏观体积中质点的热运动来说，相对性的概念就没有什么用途。不过当我们规定系统的自由度数不太大，并且可以不间断地记录每一质点的位置和速度，那么相对性的概念还可以保持下来。这样，要是可以把宇宙气体（不去研究里面个别质点的位置和速度）同连续介质组成一体的话，牛顿的绝对空间或许就获得唯理论的意义。当绝对空间具有洛仑兹那种全部充满空间以太的特征的时候，绝对空间也同样会获得唯理论的意义。（尽管已为后来的一系列实验所驳倒）

力学中关键性的冲突（即绝对运动和相对运动的对立）在其原来的意义上是从物理学里面面撤除了。然而另外的冲突立即出现。这就是贯穿于全物理学的连续统和力学模型的对立。所谓连续统，在物理学中可以设想成为不考虑位置和速度的离散存在质点的统计集合，即统计连续化的结果，也可以设想成为实际上不是由离散存在的成分所组成的，确实是整体连续的介质。所谓力学模型就是相对于确定的计算系统以一定的速度和位置出现的，离散存在的物体。在物理学中我们运用空间的连续图景，场的连续图景或是那种假设的连续介质的图景，在此图景中不研究离散存在的成份，并且忽略其坐标和速度，即不考虑那些只在涉及到参照系的选择才有意义的量。但是力学的概念仍然同时出现在物理学中。

在力学中除去空间中物体处所的相对概念之外也有另外一些不必指明参考系统也仍旧有意义的概念。首先就是那种连续的背景，所谓被个体化的物体就是用这种背景衬托出来的。牛顿认为加速度就是相对于这个背景而言的，并且认为它就是绝对空间。以划分出各物体及其运动为开始的，对宇宙的科学的认识，对于失去确定参照物支持的，当作盛放物体的空的容器的空间仍旧保持那种不可分割的但又不加以明确的概念。在划分出一个个物体之后，那种不可分割的“剩余物”，对牛顿来说似乎是力学规律所必备的前提。笛卡尔用前所未有的彻底性否定任何一种质的差异，同时又把空间和物质看成是同一个东西，而且又要把他所谓的到处遍布的空间物质和恰好占据其位置但又被视为同一的单个物体加以对照。这样一来笛卡尔就很难说清楚到底用什么办法把物体同包围它的介质区分开来。把物体客体个体化的问题是笛卡尔物理学的障碍。这个障碍由于使用笛卡尔的相对主义的运动概念而被迥避。所谓物体在“真正的意义”上的运动是指相对于紧贴着它的另处的物而发生运动，并且就是用这种运动来对它们加以区分。当然，问题故然被迥避，但没有得到解决。然而一旦否定物质和空间的差异则相对其它物体运动的概念就变得没有任何内容了。笛卡尔的相对论无法解决机械论的自然科学的根本问题，即离散存在物的物体个体化的问题，因此它也就不会在历史上成为原子论的基础。

连续统的观念可以说是十七十八世纪科学中的一种孤立的观念，本质上其主要内容是和离散存在的物体及其坐标、速度、加速度有关的力学理论体系。连续统是力学的终极概念之一。在这里那种不可分割的存在，即所谓背景依然保持不变。作为力学主要对象的，离散存在的物体正是在这样的背景上被衬托出来。在这里也可以寻求力的动理学的答案。那些十七十八世纪的理论家们在思索运用于力学终极概念的意义的时候，其思想大多集中于连续统的问题。连续统学说和离散存在物体的力学相比较在风格上完全是另外一种情况。这种学说具有更多的自然哲学的特性。由于这里没有参数化的基础，即坐标表象，所以数学也就不会渗透到它里面去了。这样一来，离散存在物体的运动规律就成为力学的基本内容，连续统则起着终极概念的作用。力学所要回答的问题是质点为什么会在一定的时刻处于空间一定的点上。当已知作用于质点上的力，即知道力场，根据运动方程就可以发现质点正好就处于那个点上。场方程超出了力学范围，力学把场认为是已知的，且和所论物体无关。由此就得到运动方程和场方程的线性特征。在第一种情况我们假定场是给定的，与所论质点的运动无关，第二种情况是假定质点（即场源）是给定的，并且同场无关。

在物理学中，力学的终极概念得到了因果解释。对物理学来说，力的概念（力场的概念）是个必须加以分析的概念。物理学确定了力的数值，在个别情况下，当质点无摩擦地运动时（即摩擦力可以忽略时）力可以是坐标的函数。这种函数的形式应由引力论、弹性理论、电动力学理论中对引力、弹性力、电力、磁力的研究给出，并且这种研究与力学不同，完全按另一种方式进行，这些力已不再是终极概念，恰恰相反，现代科学的任务正是要用物理的或数学的方法把它们从另外的量推演出来。

划分物理学和力学的界限也就把场方程和运动方程加以区分。或许正如前面所指出的那样，既然忽略了离散存在质点和场的相互作用，所以场方程和运动方程都是线性的。在用抽象的理论认证某个质点的时候在力学上就把这个质点看成是一种纯属被动的实体，而力也就施加在它上面，同时又和这个质点本身无关，这也正是解决力学问题的前提。在场论中力场被相应地看成所谓被动的一面，看成是不依赖于场的粒子（即场源）的函数。根据力来确定运动，根据力与坐标的关系确定力是牛顿在《自然哲学的数学原理》中所提出的两个问题。在解决第一个问题时，牛顿依据的是他所阐明的运动公理。同时在《原理》中还解决了另一个问题，确定了把力（引力）和坐标联系起来的函数的形式。如所周知，这是古典物理学的出发点。以后物理学的其他部门就是按牛顿的引力场的式样构成的。

在物理学发展的影响下，当力学把标量也包括到自己的基本概念之中的时候，已知力和初始条件就能决定质点位置的牛顿运动方程将要被另一种方程所取代。下面，我们略为详细地叙述一下这种进化。

牛顿第二定律可以直接地表示为运动方程的形式。其内容是动量的一阶导数等于力。在笛卡尔坐标系中，牛顿第二定律用三个微分方程表出：

上述方程也可以说成是平衡方程。这一改变在发表于1743年《动力学》一书中为达朗贝尔原理所指出。在这本著作中，达朗贝尔利用了所谓遗失的力的概念。他所研究的是运动被某种种约束所限制的质点系。作用在质点上的力可以被两个分力所替代，其中一个分力指向与约束一致的运动的路线。倘若质点是自由的，它将要沿着由两个分力构成的平行四边形对角线的方向运动。而实际上质点似乎只在一个分力的作用下运动，另一个力好象是丢掉了。达朗贝尔就把它称之为遗失的力。被遗失的力没有引起质点的加速度，就在系统中无影无踪了，它已被约束反作用所抵销。可以指出：所谓遗失的力就是作用在质点上的力和惯性力的合力。作用在质点上的外力（即其来源不在所论系统之中）和被约束条件所决定的反作用力还有惯性力处于平衡之中。换句话说，遗失的力（外力与惯性力的合力）被约束反作用所平衡。

达朗贝尔所引入的惯性力曾被叫做虚构的力。引入这个力之后每一个动力学问题都被归结为一个静力学问题。每一个运动方程都与平衡方程相对应，这个平衡方程以具有所谓虚构的惯性力而区别于运动方程。

所谓实在的力和虚构的力之间的区别是相对的。倘若把达朗贝尔所引入的力认为是施加于所论物之上的力，则该力就是虚构的；倘若把力认为是施加于其他物体上的力，则达朗贝尔引入的力就是实在的。倘若把坐标原点从一个物体移到另一个物体上面，那么虚构的力就将是实在的，而实在的力则将是虚构的。

根据牛顿第二定律可得出作用于运动物体上的力与加速度乘以质量并冠以负号之和为零。第二项，即加速度和质量之积并冠以负号可以认为是惯性力。倘若认为这个力是施加于运动物体的，那么作用在物体上的力是平衡的。达朗贝尔的著作发表后，系统力学就开始迅速地发展起来。

每一系统是用属于该系统的全体质点在此时的位形[Configuration]加以表征，这样的位形可以看成是多维空间的一个点。拉格朗日在其《分析力学》中给出了系统状态及其运动的坐标表象之普适方法，即广义坐标法，并且找到了一个量，这个量是坐标和速度的函数，在系统运动时，该量有不变性。

就科学思维能力和风格的影响来说只有极少数的科学发现可以同广义坐标方法相提并论。把空间中质点的位置，即古典力学的原始的形象和被当成是多维“空间”的点的系统的位形相对应，从几何的观点来说这是在拉格朗日把四维时空引入科学之后所采取的下一个步骤。当达朗贝尔在《百科全书》[3]的量度一文中写到他的一些“机敏的熟人”把时间看成是第四维时候，他可能就是指拉格朗日和其他一些人。但是，把第四维的概念引入科学还是当拉格朗日在《分析力学》中用四维解析几何的形式阐明古典力学原理之后。也正是由于《分析力学》才把ｎ维空间的观念引入到科学之中。多维空间的理论由于柯西（Couehy）、凯尔[4]、普留凯尔（Pluker）[5]、黎曼（Reimmsnn），特别是格拉斯曼（Grassmaum）[6]之在《广延性的理论》[7]（1844）中的努力在形式化方面得到了很大发展。这一发展以新的、有力的研究方法丰富了数学的内容，使变革几何学的原理成为可能，同时为相对论，量子力学准备了富有成效的多维几何学的解释。

推动这一发展的首要因素就是拉格朗日把力学系统的状态看成是多维空间的点这一天才的设想和促使数学家继续建立形式化理论的观念，然而，此时不能把物理思想的概念和形式化的理论体系的概念单纯地加以对应。从历史上来说，这种单纯地与形式化的理论体系的概念相对应既是十八世纪后半期和十九世纪前半期形式化理论体系物理学从力学和力学概念的发展中获得解放的重要前题，有时也是重要的方面，而力学概念的发展也刺激了这种解放。

拉格朗日研究了由n个质点构成的系统。这些质点的位置用ｎ个因子来描述，每因子又由三个数组成，则位置即被3n个坐标 x1y1z1，x2y2z2，…，xnynzn 来描述。如果通过具有相应下标的q1，q2，…，qn 表示上述每个坐标，那么系统的位形就可以用具有3n个坐标q的点来代表，或者说用具有3n个分量的矢量q来代表。这样，系统从一个位置到另一个位置的变化就可以表示为q点的位移，或表示为具有分量dq1，dq2，…，dqn的3n维矢量dq。假若系统在三维空间中运动，它的位置的变化可以用3n维的轨迹来代表，而3n维轨迹则是q点位移的结果。

在拉格朗日的力学中，广义坐标不仅可以是质点系的笛卡尔坐标。而且也可以是描绘该系统位形的任何一种参数。对一个受到引力或弹性力作用的质点系统来说，每一时刻作用在系统中各点上的力（因而也就是加速度）由广义坐标所决定。物体的速度不影响加速度，并且当已知系统位形时，速度有可能取不同的值。如果速度可以取不同的数值，那么，既使已知加速度（即力），下一时刻系统的位形也是不确定的。所以为确定系统在未来每一时刻的行为不仅必须给出已知时刻的坐标，而且还要给出速度。有这两种量就可以详尽无遗地描述出系统的状态。

状态的概念是同古典物理学的基本前提紧密相关的，这一点要引起注意。当我们从原始的、直接给出的、不可分割的混乱的图景中区分出个别的物体和运动的时候，我们是把在空间中改变自己位置的物体的一系列自身同一的状态认为是某种过程，这是力学最原始的表象。力学之原始形象则是坐标随时间改变的自身同一的物体。坐标的变化并不能为怀疑运动客体与自身同一提供任何根据。我们完全完全可以“识别出”在每一个相继时刻的物体。这一力学的基本前提（运动客体的自身同一性）是以坐标的连续变化加以保证的。倘若原则上能够把物体在一个位置和另一位置的间隔上的每一个点都记录下来，那么就可以断言出现在我们面前的是同一个物体。物理客体这种个体性（在上述情况下运动客体的个体性）是由每一个接继的状态同已知状态的单值的依存关系所保证的，也就是说可以由以下这种可能性所保证；即知道物体在某一时刻的状态就可以预见每一个相继时刻的状态（同样是原则上的）。这样，所谓状态这一概念标志若干物理量的综合，而这种综合以单值的形式同每一个相继时刻的，每一个相似的综合联系在一起。根据这种状态的连续性和单值的依存关系就可推出运动的微分方程。当已知初始条件时借助此方程就能绝对准确地预言物体以后的全部运动。在把这种关系运用于物体系统时，拉格朗日就把力学系统的个体性和自身同一性这些具有质的特征的概念，翻译成分析的语言，而这些概念则是由它们和状态之单值的连继的依存关系所保证。引入广义坐标和广义速度（公式）后运动微分方程表现出古典机械论的决定论的观念。

现在我们讨论一下为描述或者说为预见系统后继状态所必须的广义坐标（和广义速度）的数目问题。假若系统由一个质点构成，此时广义坐标和普通坐标一致，即广义坐标数 f 等于3。若系统有两个质点，那么需要6个广义坐标，f=6，即第一个质点要三个普通坐标，第二质点也是三个。若这两个质点彼此是以不变的距离相联系（即有一个约束条件）这时有5个广义坐标就足够了。数f 总等于系统自由度数。每个质点在三维空间要三个数，n个质点的自由度数是3n 减去K个约束条件 f=3n－K。给出与广义坐标数目相同的广义速度，不仅可以确定位置，也可以确定系统状态。

借助于广义坐标对任何计算系统都能够求得运动方程。拉格朗日在引入了函数（等于封闭系统的动能和势能之差）之后，得到了运动方程。后来赫姆霍茨称这个函数为动势。用动势（拉格朗日函数）把运动方程改写为下形式：

所论系统有多少个自由度（f=3n－K），就有多少个拉格朗日方程。

在引入广义坐标qi 和广义速度之后，下一步就是引入广义动量 pi，它是拉格朗日函数Ｌ对广义速度的一阶导数。，，等等，pi 被叫作广义动量是因为在笛卡尔坐标系中（q1=x，q2=y，q3=z）它与动量在三个坐标轴上的投影一致。然而它被称之为广义动量这是因为例如在极坐标中q1=ρ，q2=φ，。p1具有动量的量纲，而p2具有动量矩的量纲。

借助于广义动量可以得到替代f个拉格朗日方程（二阶）的2f个一阶方程。如果用哈米顿函数H=T+U代替拉格朗日函数，这些方程就可以采取极为简单的对称形式。

拉格朗日方程和哈米顿方程在物理学中特别是在电动力学中获得广泛地应用。可是从历史的观点上来看，物理学在此情况下从力学中所得到的东西正是它向力学所提供的东西。当非力学的参量能够以坐标的身份出现时，这种被推广后的运动方程的形式就成为物理学发展的历史成果了。

物理学的影响使力学的基本原理相对性原理改变了形式。我们先来看看牛顿运动方程。在它里面作为纯力学量出现的是质点的空间坐标。质点相对于某个坐标系运动，并且在坐标变换时，即从一个惯性系过渡到另一个惯性第时，运动方程是协变的。下面再看具有广义坐标的拉格朗日方程。它可以描述其他非力学的过程。当坐标变换时拉格朗日方程是否还保持协变性呢？麦克斯韦的电动力学和以后的爱因斯坦相对论指出：如果所论系统是匀速直线运动，则方程是协变的。这样一来，相对性原理就推广到非力学的过程，并且使古典物理这获得了最终的形式。当然古典物理学为此是要付出代价的，这就是说要放弃不变的空间距离和时间间隔，而代之以不变的四维间隔。此时相对性原理仍旧是统一宏观物理学和力学的普遍原理。从这种意义上说相对论是世界之古典图景的总结。不过这种情况下，力学规律是否还能保持原来那种基本的，作为出发点的，最普遍规律的地位吗？虽然一方面不能把物理学归结为力学规律然而另一方面物理学原理又无法同力学规律分割开来。

当谈到区分力学和物理学，谈到物理学不能归结为力学的特性，总而言之，说到它们之间的相互关系的时候，必须考虑到“力学”的概念和“力学的”概念本身在历史上的变化。这两个词的含意是在变化着的，并且随着物理思想的改变而改变。力学发展的每一个历史阶段都是以被物理思想所决定的终极概念区别于另一个历史阶段。而这种物理思想总要直接影响到力学的特性。笛卡尔力学的物理前提是空间和物质的同一。牛顿力学的物理前提是作用于自然界所有物体的引力概念。骤然看来在拉格朗日和哈密顿力学中，似乎缺乏物理前提，力学只具有四维解析几何的形式化的性质，但是这只是意味着从物理上解释方程时，它里面的量可以和被守恒定律所联系的不同的物理量相对应。狭义相对论的力学是同新的物理前提电动力学的概念和规律联系在一起的。

这样，当我们谈论把这样或那样的物理学原理能够归结或不能够归结为力学的时候，不仅应该考虑到在物理学中力学概念这样或那样的作用，还要考虑到物理学概念对力学的影响。单纯地把“非力学的物理”和“力学的物理”加以对比就会忽视了那种相互作用。实际上物理学同力学间的联系是很曲折的，必须以这种态度来研究相对论物理之力学的和非力学特性的问题。

是否可以把这些概念在历史的所有的变更都归拢在一起进而从整体上对“力学”和物理学的“力学的”特性加以讨论呢？我们要把这个问题放在同其他问题的联系中加以考察，这就是说最好把全部历史的变更都归拢在一起来讨论相对性原理，或者说讨论适用于伽利略牛顿的古典原理和爱因斯坦的狭义，广义相对论的，普遍的相对性概念。伽利略牛顿原理适应于缓慢的惯性运动；狭义相对论适用于可以和电磁振荡传播的速度相比拟的惯性运动；广义相对论适用在引力场中质点或质点系的加速运动。上述情况都是指坐标以这样或那样的方式随时间而变化；都是指某种被个体化的，在每一时刻定域于空间中的物理客体，而此客体在保持自身不变的同时从空间的一个点转移到另一个点。换言之，这里所研究的正是自身同一客体的一个个相继的处所。这个客体能够以任意速度（古典的相对性原理）或以被某个恒定的（狭义相对论）或以引力场所决定的（时空弯曲、广义相对论）的速度通过这些处所。无论取那一种观念只要指明自身同一客体相对它作运动的那个物体，则自身同一客体运动的概念就是有意义的。这些参考物和相应的坐标空间都是平等的，即从一个坐标空间过渡到另一个坐标空间时，某些量要保持不变（相应的变换不变量），也就是说这种过渡并不表现在运动着的系统内部的物理过程的进程之中。这个论题（即能否提所谓位置、速度、加速度的相对性）能够用到哪种坐标变换上面还应当由实验指出，把现已知晓的相对性理论都归拢起来这才是相对性原理的意义所在。

现在我们着手总结力学的概念了。在笛卡尔的力学中，所谓物体的运动是指从物理学上区别于周围的物体运动。当笛卡尔把物体对与其相接触的空间的运动归昝为空间，他这种做法则是力求把物体从环绕它的空间划分出来，又要把二者视为同一。牛顿认为运动的物体有不变的惯性质量，因此他能够不考虑物体的长、宽、高而把物体看成是质点具有一定质量的，不计尺寸大小的粒子。拉格朗日和哈米顿方程可以描述很复杂的客体的运动，它的自身同一性和个体性是以复杂的解析表示的不变性所保证。在相对论力学中所表现的是视为同一质点的属性的极为复杂的关系。但是所有情况，无论是具有静止质量的粒子还是用能量作为视为同一根据的光子，在较为广阔的普遍的意义上来看力学所研究的还是粒子和系统的相对运动。从这种意义说，每一个相对论的坐标表象其意义就是“力学的”表象。

在研究相对论原理之具体的可以互相替代相互补充的变更和力学的具体形式的时候，我们就能对爱因斯坦相对论是所谓“力学论”还是“物理论”的问题作出回答了。这个理论是力学的理论；然而这里所谓的力学就是物理概念本身长时间影响的结果。它所研究的决非具体的，狭隘意义的机械运动，而是无比复杂的物理客体的运动。

是否有可能提出那种在最普遍意义上排除力学，继而排除物理过程之相对论坐标表象的，绝对“非力学”的物理学呢？看来这种物理学可能提不出来。然而可以，甚至有可能建立这样一种物理理论，在这种理论中，自身同一的粒子的运动，即它的坐标表象将被解释为宏观的近似。这一问题在上一章曾提起过这里只限于对前述假设（即在那种不包括已然指明的物理理论但是却显示其原则上可能性的著作中的提示）进行一定程度的具体化。除去在上一章提到弗兰克尔的著作以外，我们还要讲一下狄拉克的一系列著作[8]在这些著作中，根据量子统计的数量关系提出了相对主义的基本前提。已然出现了一些比较起来是单义的并且经过仔细推敲的概念，即时间、空间量子化的观念。[9]这种观念同样容许把自身同一的粒子的运动说成是在一系列时间，空间的单元中非同一的过程的近似情况。按其明确性和应用范围的大小来说上述观念无法和海森堡的Ｓ矩阵理论相提并论。海森堡之排除哈米顿的形式主义的理论同样也准许把相对主义解释为量子统计关系的近似情况。

量子化的时空观念（连同另外一些以这种或那种方式和它联系在一起的，综合相对论量子物理的设想）能够成为对作为物理学基础的力学进行历史评价的出发点（所谓力学是在最广泛的意义上来说），同时（更确切地说从而）量子化的时空容许从历史上最广泛意义上的相对性原理作出评价。

量子化的时空，不只和狭义相对论对立，而且也同更为普遍的原理对立。[10]。离散的空间之测量学是绝对的，它由基元的纲格数目所确定。连续空间的测量学取决于首次作出二难推理的黎曼所谓的“约束力”。[11]广义相对论根据时空和引力场的关系（即时空和位于空间中的质量的关系）研究时空测量学。这种观点是与测量学无关的绝对量子空间相对立。但是可以设想：量子空间和时间之微观的，绝对的特性是同宏观的相对主义，同宇宙测量学和场在宏观尺度上的依存关系结合在一起的。如果相对论关系代表宏观近似，那么这些关系同物理过程的力学解释一起就成为已经找到的这种近似的历史原因和适用范围进行历史分析的对象了。

根据相对论关系的绝对准确性得到的物理理论并不能为作出上述评价提供根据。对古典物理学进行相对论的总结使得历史地看待伽利略牛顿相对性原理及基本牛顿定律的物理现象的力学解释。但是，为了历史地评价古典物理学这是很不够的。如果古典物理学仍然基于自身同一的物体运动，那么，爱因斯坦的相对性原理也依然是古典伽利略牛顿原理由古典电动力学产生的自然结论。这样廿世纪的相对论物理也就成为古典物理的终结了。

量子物理学是新的，非古典物理学的起点。因此在广泛地运用古典概念和在空间中运动的自身同一粒子的形象的时候，也要指明这些概念和形象在微观世界范围内的相对性。看来今后相对论量子力学和相对论量子电动力学原理的发展将导致单一的理论。这种理论更彻底地排除了古典的概念，并且把力学的形象自身同一的粒子的运动认为是一种合理的近似。这里所说的不是从一种相对性原理向另一种相对性原理的过渡，也不是从运用恒定的质量和不加限制的速度的力学解释向着另一种更普遍，更严格的力学解释的过渡。现在所说的是相对论本身的相对化和对其（同时还有物理学中的力学所解释）宏观尺度的限制。

　

　

注释：

1.《牛顿自然哲学著作选》 (美)?.S. 赛耶. 集体翻译　上海人民出版社 1974版 25页

2. 同上书 19页

3. [法]Ｅｎｃｙｃｌｏｐｅｄｉｅ　ｏｕ　ｄｉｃｔｉｏｎｎａｉｒｅ　ｒａｉｓｏｎｎｅ，ｔ.ＩＶ．ｐ．１０１０．Ｐａｒｉｓ，１７５４[e上有撇]

４．Кель（身世不详）

５．Ｐｌｕｋｅｒ　１８０１－－１８７８　德国数学家、物理学家

６．Ｇｒａｓｓｍａｎｎ　１８０９－－１８７７　德国数学家

７．Ф．Клейн　Лекции　о　развитии　математики　в　ＸＩＸ　столетии　М－Л，１９３７，стр．２０９－２２１

８《Ｎａｔｕｒｅ》，１６８，９０６，１９５１；Ｐｒｏｃ．Ｒｏｙ．Ｓｏｃ．，Ａ２０９，２９１，１９５１；Ａ２１２，３３０，１９５２；Ｎａｔｕｒｗｉｓｓ．Ｒｕｎｄｓｃｈａｎ，６，１１，４４１，１９５３．

９．Ｓｉｌｂｅｅｒｓｔｅｉｎ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｓｐａｃｅ－Ｔｉｍｅ．Ｔｏｒｏｎｔｏ，１９３６；А．Соколов　и　Д．Иваненко．　Квантовая　теория　поля．　М．－Л．，１９５２，стр．５９３－６００

１０．И．Е．Тамм．　Вступительное　слово　на　заседании　отделения　физико－матемтических　наук　СССР　３０　Ноября　１９５５　г．Сб．《Эйнштейн　И　современная　физика》，Ｍ，．１９５６，стр．９１－９２．

１１．Б．Риман．　О　гипотезах，лежащих　в　основании　геометрии　　　《Об　основаниях　геметрии》．Сб．классич．работ，Ｍ．，１９５６，стр．３２３－３２４?

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普通坐标方程如何转变成极坐标和参数坐标方程呢？_数学_科学技术_雅虎 ...2007年7月26日 ... 形象地说，就是用方位和距离定位的一种办法。比如，有人问您北京在哪里？你可以回答说：离我这里500公里，方向在正东方。问路的人就可以根据您的回答找到北京 ...
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《古典物理学原理》

　

第二章、相对性原理
　

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相对性原理是力学的基本原理。对自然的研究和对自然力量的利用从一开始就是同使物体个体化（Individualization）联系在一起的。一个物体到另外一些物体的距离随时间发生变化。当这些“另外的”物体依然是所论物体的不可分割开来的背景的时候，我们就无法用数列对应于该物体的位置和位置的改变，也就是不能对物体的位置和速度施行参数化。给定一个物体，它相对于一些物体运动，标志出这些物体，然后用数列与这些距离相对应，于是这些物体就成为参照物，而给定物体到这些物体的距离的全体就成为参照空间。对应于距离的数之全体组成为一有序系统。这样同参照物联系在一起的坐标系，也就被引进来了。所谓处所的相对性原理就是坐标系的平等性；从一个坐标系转换到另一个坐标系的可能性；以及给出坐标变换时刚体内部的特性和刚体内部的各质点的距离及其结构的不变性。

力学的全部发展过程（包括其形成过程）一直同参照系统变更时扩大物理客体不变性概念的范围联系在一起的。在十七世纪不仅已然判明物体的结构与坐标系的选择无关，而且也明确了从一个坐标系过渡到另一个相对它作匀速直线运动的坐标系时，力和加速度之间关系的不变性。这就是用现代物理语言陈述的伽利略伟大发现的内容。它是近代自然科学的真正起点。倘若地球不是一个被赋予特权的参考物，倘若宇宙间根本就没有这种物体，这就表明空间中所有的点和所有的方向都是平等的，即空间是均匀的，各向同性的。这就是近代自然科学的中心思想，它发现于十七世纪并一直延续到今。

牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，在其根据运动三定律得到的第五个结论里面清楚地陈述了相对性原理。但是，牛顿力学没有绝对运动的概念是不行的。绝对运动概念是同力和加速度联系在一起的。从运动学来看，力的作用不是单值的。比如在一个计算系统中力引起某个加速度，那么在另一个相对于前者是以加速运动的系统中它却可以引起另一种加速度，当然也包括加速度为零的情况。因此只有根据动力学的效应，根据引起绝对加速度的系统中的力才能把绝对运动加以标志。牛顿用把水盛在旋转着的桶中的著名的实验作为证明存在着绝对运动和绝对空间的判定实验。这时水将沿着水桶的边缘升高；倘若水桶不动，而其周围的空间绕着水桶旋转的话，这种现象或许不会发生[1]。对牛顿来说离心力的存在是有利于绝对运动的决定性的论据。《自然哲学的数学原理》的全部内容和牛顿建立起来的宇宙体系都是同这种思想联系在一起的，即不能用任何一种具体的物质所产生的作用来解释离心力。在解释离心力发生时，这一著名的牛顿现象并没有提供转动与具体的物理实体有关系的根据。因之牛顿把转动和加速运动都认为是相对于空间本身的。然而不管把这个结论形而上学地加以绝对化的企图如何，它本身还是同十七到十九世纪的天文学、力学和物理学的认识相适应的。

由于提出绝对空间这一概念使得牛顿能比笛卡尔的相对主义又向前作了一系列发展。按照牛顿的理解，所谓绝对运动并不是相对于一些个别的物体，而是相对于空间。牛顿所主张的这种绝对静止的空的空间可以看成充满整个宇宙的，数目不定的，离散存在的物质和“宇宙气”的总代表。是否可以把天体的总和看成是那种“被赋予特权”的参考物甚至就看成是上述那种空间呢？这里还要再谈一下那种不可分割开来的实在。所谓物体相对于空间运动本身就意味着把一个被个体化的物体同一个不可分割的背景（即把物体加以个体化之后所声剩下来的整个宇宙）加以对照。牛顿认为加速度就是相对这一没有被明确的背景而言的。然而在每一个具体的动力学的课题中他必须应用和具体的物体联系在一起的某个计算系统。因而在给出动力学课题的范围后必须把相对静止的物体和与具体物体无关的，作为绝对空间出现的，被赋于特权的计算系统加以区分。在《原理》一书中这部分内容放在基本定义之后进行了叙述。[2]

这里我们暂且把这种未予明确的绝对空间的概念放在一旁，先来谈谈相对运动概念。这个个概念在应用到自由度数很大甚至无限大的系统时就会受到限制。可是只要我们回到那种不可分割的，整体连续的表象，只要我们放弃单个物体位置和运动的参数变化以及为些所必备的坐标系，那么绝对运动和相对运动的对立就被撤消了。对某一宏观体积中质点的热运动来说，相对性的概念就没有什么用途。不过当我们规定系统的自由度数不太大，并且可以不间断地记录每一质点的位置和速度，那么相对性的概念还可以保持下来。这样，要是可以把宇宙气体（不去研究里面个别质点的位置和速度）同连续介质组成一体的话，牛顿的绝对空间或许就获得唯理论的意义。当绝对空间具有洛仑兹那种全部充满空间以太的特征的时候，绝对空间也同样会获得唯理论的意义。（尽管已为后来的一系列实验所驳倒）

力学中关键性的冲突（即绝对运动和相对运动的对立）在其原来的意义上是从物理学里面面撤除了。然而另外的冲突立即出现。这就是贯穿于全物理学的连续统和力学模型的对立。所谓连续统，在物理学中可以设想成为不考虑位置和速度的离散存在质点的统计集合，即统计连续化的结果，也可以设想成为实际上不是由离散存在的成分所组成的，确实是整体连续的介质。所谓力学模型就是相对于确定的计算系统以一定的速度和位置出现的，离散存在的物体。在物理学中我们运用空间的连续图景，场的连续图景或是那种假设的连续介质的图景，在此图景中不研究离散存在的成份，并且忽略其坐标和速度，即不考虑那些只在涉及到参照系的选择才有意义的量。但是力学的概念仍然同时出现在物理学中。

在力学中除去空间中物体处所的相对概念之外也有另外一些不必指明参考系统也仍旧有意义的概念。首先就是那种连续的背景，所谓被个体化的物体就是用这种背景衬托出来的。牛顿认为加速度就是相对于这个背景而言的，并且认为它就是绝对空间。以划分出各物体及其运动为开始的，对宇宙的科学的认识，对于失去确定参照物支持的，当作盛放物体的空的容器的空间仍旧保持那种不可分割的但又不加以明确的概念。在划分出一个个物体之后，那种不可分割的“剩余物”，对牛顿来说似乎是力学规律所必备的前提。笛卡尔用前所未有的彻底性否定任何一种质的差异，同时又把空间和物质看成是同一个东西，而且又要把他所谓的到处遍布的空间物质和恰好占据其位置但又被视为同一的单个物体加以对照。这样一来笛卡尔就很难说清楚到底用什么办法把物体同包围它的介质区分开来。把物体客体个体化的问题是笛卡尔物理学的障碍。这个障碍由于使用笛卡尔的相对主义的运动概念而被迥避。所谓物体在“真正的意义”上的运动是指相对于紧贴着它的另处的物而发生运动，并且就是用这种运动来对它们加以区分。当然，问题故然被迥避，但没有得到解决。然而一旦否定物质和空间的差异则相对其它物体运动的概念就变得没有任何内容了。笛卡尔的相对论无法解决机械论的自然科学的根本问题，即离散存在物的物体个体化的问题，因此它也就不会在历史上成为原子论的基础。

连续统的观念可以说是十七十八世纪科学中的一种孤立的观念，本质上其主要内容是和离散存在的物体及其坐标、速度、加速度有关的力学理论体系。连续统是力学的终极概念之一。在这里那种不可分割的存在，即所谓背景依然保持不变。作为力学主要对象的，离散存在的物体正是在这样的背景上被衬托出来。在这里也可以寻求力的动理学的答案。那些十七十八世纪的理论家们在思索运用于力学终极概念的意义的时候，其思想大多集中于连续统的问题。连续统学说和离散存在物体的力学相比较在风格上完全是另外一种情况。这种学说具有更多的自然哲学的特性。由于这里没有参数化的基础，即坐标表象，所以数学也就不会渗透到它里面去了。这样一来，离散存在物体的运动规律就成为力学的基本内容，连续统则起着终极概念的作用。力学所要回答的问题是质点为什么会在一定的时刻处于空间一定的点上。当已知作用于质点上的力，即知道力场，根据运动方程就可以发现质点正好就处于那个点上。场方程超出了力学范围，力学把场认为是已知的，且和所论物体无关。由此就得到运动方程和场方程的线性特征。在第一种情况我们假定场是给定的，与所论质点的运动无关，第二种情况是假定质点（即场源）是给定的，并且同场无关。

在物理学中，力学的终极概念得到了因果解释。对物理学来说，力的概念（力场的概念）是个必须加以分析的概念。物理学确定了力的数值，在个别情况下，当质点无摩擦地运动时（即摩擦力可以忽略时）力可以是坐标的函数。这种函数的形式应由引力论、弹性理论、电动力学理论中对引力、弹性力、电力、磁力的研究给出，并且这种研究与力学不同，完全按另一种方式进行，这些力已不再是终极概念，恰恰相反，现代科学的任务正是要用物理的或数学的方法把它们从另外的量推演出来。

划分物理学和力学的界限也就把场方程和运动方程加以区分。或许正如前面所指出的那样，既然忽略了离散存在质点和场的相互作用，所以场方程和运动方程都是线性的。在用抽象的理论认证某个质点的时候在力学上就把这个质点看成是一种纯属被动的实体，而力也就施加在它上面，同时又和这个质点本身无关，这也正是解决力学问题的前提。在场论中力场被相应地看成所谓被动的一面，看成是不依赖于场的粒子（即场源）的函数。根据力来确定运动，根据力与坐标的关系确定力是牛顿在《自然哲学的数学原理》中所提出的两个问题。在解决第一个问题时，牛顿依据的是他所阐明的运动公理。同时在《原理》中还解决了另一个问题，确定了把力（引力）和坐标联系起来的函数的形式。如所周知，这是古典物理学的出发点。以后物理学的其他部门就是按牛顿的引力场的式样构成的。

在物理学发展的影响下，当力学把标量也包括到自己的基本概念之中的时候，已知力和初始条件就能决定质点位置的牛顿运动方程将要被另一种方程所取代。下面，我们略为详细地叙述一下这种进化。

牛顿第二定律可以直接地表示为运动方程的形式。其内容是动量的一阶导数等于力。在笛卡尔坐标系中，牛顿第二定律用三个微分方程表出：

上述方程也可以说成是平衡方程。这一改变在发表于1743年《动力学》一书中为达朗贝尔原理所指出。在这本著作中，达朗贝尔利用了所谓遗失的力的概念。他所研究的是运动被某种种约束所限制的质点系。作用在质点上的力可以被两个分力所替代，其中一个分力指向与约束一致的运动的路线。倘若质点是自由的，它将要沿着由两个分力构成的平行四边形对角线的方向运动。而实际上质点似乎只在一个分力的作用下运动，另一个力好象是丢掉了。达朗贝尔就把它称之为遗失的力。被遗失的力没有引起质点的加速度，就在系统中无影无踪了，它已被约束反作用所抵销。可以指出：所谓遗失的力就是作用在质点上的力和惯性力的合力。作用在质点上的外力（即其来源不在所论系统之中）和被约束条件所决定的反作用力还有惯性力处于平衡之中。换句话说，遗失的力（外力与惯性力的合力）被约束反作用所平衡。

达朗贝尔所引入的惯性力曾被叫做虚构的力。引入这个力之后每一个动力学问题都被归结为一个静力学问题。每一个运动方程都与平衡方程相对应，这个平衡方程以具有所谓虚构的惯性力而区别于运动方程。

所谓实在的力和虚构的力之间的区别是相对的。倘若把达朗贝尔所引入的力认为是施加于所论物之上的力，则该力就是虚构的；倘若把力认为是施加于其他物体上的力，则达朗贝尔引入的力就是实在的。倘若把坐标原点从一个物体移到另一个物体上面，那么虚构的力就将是实在的，而实在的力则将是虚构的。

根据牛顿第二定律可得出作用于运动物体上的力与加速度乘以质量并冠以负号之和为零。第二项，即加速度和质量之积并冠以负号可以认为是惯性力。倘若认为这个力是施加于运动物体的，那么作用在物体上的力是平衡的。达朗贝尔的著作发表后，系统力学就开始迅速地发展起来。

每一系统是用属于该系统的全体质点在此时的位形[Configuration]加以表征，这样的位形可以看成是多维空间的一个点。拉格朗日在其《分析力学》中给出了系统状态及其运动的坐标表象之普适方法，即广义坐标法，并且找到了一个量，这个量是坐标和速度的函数，在系统运动时，该量有不变性。

就科学思维能力和风格的影响来说只有极少数的科学发现可以同广义坐标方法相提并论。把空间中质点的位置，即古典力学的原始的形象和被当成是多维“空间”的点的系统的位形相对应，从几何的观点来说这是在拉格朗日把四维时空引入科学之后所采取的下一个步骤。当达朗贝尔在《百科全书》[3]的量度一文中写到他的一些“机敏的熟人”把时间看成是第四维时候，他可能就是指拉格朗日和其他一些人。但是，把第四维的概念引入科学还是当拉格朗日在《分析力学》中用四维解析几何的形式阐明古典力学原理之后。也正是由于《分析力学》才把ｎ维空间的观念引入到科学之中。多维空间的理论由于柯西（Couehy）、凯尔[4]、普留凯尔（Pluker）[5]、黎曼（Reimmsnn），特别是格拉斯曼（Grassmaum）[6]之在《广延性的理论》[7]（1844）中的努力在形式化方面得到了很大发展。这一发展以新的、有力的研究方法丰富了数学的内容，使变革几何学的原理成为可能，同时为相对论，量子力学准备了富有成效的多维几何学的解释。

推动这一发展的首要因素就是拉格朗日把力学系统的状态看成是多维空间的点这一天才的设想和促使数学家继续建立形式化理论的观念，然而，此时不能把物理思想的概念和形式化的理论体系的概念单纯地加以对应。从历史上来说，这种单纯地与形式化的理论体系的概念相对应既是十八世纪后半期和十九世纪前半期形式化理论体系物理学从力学和力学概念的发展中获得解放的重要前题，有时也是重要的方面，而力学概念的发展也刺激了这种解放。

拉格朗日研究了由n个质点构成的系统。这些质点的位置用ｎ个因子来描述，每因子又由三个数组成，则位置即被3n个坐标 x1y1z1，x2y2z2，…，xnynzn 来描述。如果通过具有相应下标的q1，q2，…，qn 表示上述每个坐标，那么系统的位形就可以用具有3n个坐标q的点来代表，或者说用具有3n个分量的矢量q来代表。这样，系统从一个位置到另一个位置的变化就可以表示为q点的位移，或表示为具有分量dq1，dq2，…，dqn的3n维矢量dq。假若系统在三维空间中运动，它的位置的变化可以用3n维的轨迹来代表，而3n维轨迹则是q点位移的结果。

在拉格朗日的力学中，广义坐标不仅可以是质点系的笛卡尔坐标。而且也可以是描绘该系统位形的任何一种参数。对一个受到引力或弹性力作用的质点系统来说，每一时刻作用在系统中各点上的力（因而也就是加速度）由广义坐标所决定。物体的速度不影响加速度，并且当已知系统位形时，速度有可能取不同的值。如果速度可以取不同的数值，那么，既使已知加速度（即力），下一时刻系统的位形也是不确定的。所以为确定系统在未来每一时刻的行为不仅必须给出已知时刻的坐标，而且还要给出速度。有这两种量就可以详尽无遗地描述出系统的状态。

状态的概念是同古典物理学的基本前提紧密相关的，这一点要引起注意。当我们从原始的、直接给出的、不可分割的混乱的图景中区分出个别的物体和运动的时候，我们是把在空间中改变自己位置的物体的一系列自身同一的状态认为是某种过程，这是力学最原始的表象。力学之原始形象则是坐标随时间改变的自身同一的物体。坐标的变化并不能为怀疑运动客体与自身同一提供任何根据。我们完全完全可以“识别出”在每一个相继时刻的物体。这一力学的基本前提（运动客体的自身同一性）是以坐标的连续变化加以保证的。倘若原则上能够把物体在一个位置和另一位置的间隔上的每一个点都记录下来，那么就可以断言出现在我们面前的是同一个物体。物理客体这种个体性（在上述情况下运动客体的个体性）是由每一个接继的状态同已知状态的单值的依存关系所保证的，也就是说可以由以下这种可能性所保证；即知道物体在某一时刻的状态就可以预见每一个相继时刻的状态（同样是原则上的）。这样，所谓状态这一概念标志若干物理量的综合，而这种综合以单值的形式同每一个相继时刻的，每一个相似的综合联系在一起。根据这种状态的连续性和单值的依存关系就可推出运动的微分方程。当已知初始条件时借助此方程就能绝对准确地预言物体以后的全部运动。在把这种关系运用于物体系统时，拉格朗日就把力学系统的个体性和自身同一性这些具有质的特征的概念，翻译成分析的语言，而这些概念则是由它们和状态之单值的连继的依存关系所保证。引入广义坐标和广义速度（公式）后运动微分方程表现出古典机械论的决定论的观念。

现在我们讨论一下为描述或者说为预见系统后继状态所必须的广义坐标（和广义速度）的数目问题。假若系统由一个质点构成，此时广义坐标和普通坐标一致，即广义坐标数 f 等于3。若系统有两个质点，那么需要6个广义坐标，f=6，即第一个质点要三个普通坐标，第二质点也是三个。若这两个质点彼此是以不变的距离相联系（即有一个约束条件）这时有5个广义坐标就足够了。数f 总等于系统自由度数。每个质点在三维空间要三个数，n个质点的自由度数是3n 减去K个约束条件 f=3n－K。给出与广义坐标数目相同的广义速度，不仅可以确定位置，也可以确定系统状态。

借助于广义坐标对任何计算系统都能够求得运动方程。拉格朗日在引入了函数（等于封闭系统的动能和势能之差）之后，得到了运动方程。后来赫姆霍茨称这个函数为动势。用动势（拉格朗日函数）把运动方程改写为下形式：

所论系统有多少个自由度（f=3n－K），就有多少个拉格朗日方程。

在引入广义坐标qi 和广义速度之后，下一步就是引入广义动量 pi，它是拉格朗日函数Ｌ对广义速度的一阶导数。，，等等，pi 被叫作广义动量是因为在笛卡尔坐标系中（q1=x，q2=y，q3=z）它与动量在三个坐标轴上的投影一致。然而它被称之为广义动量这是因为例如在极坐标中q1=ρ，q2=φ，。p1具有动量的量纲，而p2具有动量矩的量纲。

借助于广义动量可以得到替代f个拉格朗日方程（二阶）的2f个一阶方程。如果用哈米顿函数H=T+U代替拉格朗日函数，这些方程就可以采取极为简单的对称形式。

拉格朗日方程和哈米顿方程在物理学中特别是在电动力学中获得广泛地应用。可是从历史的观点上来看，物理学在此情况下从力学中所得到的东西正是它向力学所提供的东西。当非力学的参量能够以坐标的身份出现时，这种被推广后的运动方程的形式就成为物理学发展的历史成果了。

物理学的影响使力学的基本原理相对性原理改变了形式。我们先来看看牛顿运动方程。在它里面作为纯力学量出现的是质点的空间坐标。质点相对于某个坐标系运动，并且在坐标变换时，即从一个惯性系过渡到另一个惯性第时，运动方程是协变的。下面再看具有广义坐标的拉格朗日方程。它可以描述其他非力学的过程。当坐标变换时拉格朗日方程是否还保持协变性呢？麦克斯韦的电动力学和以后的爱因斯坦相对论指出：如果所论系统是匀速直线运动，则方程是协变的。这样一来，相对性原理就推广到非力学的过程，并且使古典物理这获得了最终的形式。当然古典物理学为此是要付出代价的，这就是说要放弃不变的空间距离和时间间隔，而代之以不变的四维间隔。此时相对性原理仍旧是统一宏观物理学和力学的普遍原理。从这种意义上说相对论是世界之古典图景的总结。不过这种情况下，力学规律是否还能保持原来那种基本的，作为出发点的，最普遍规律的地位吗？虽然一方面不能把物理学归结为力学规律然而另一方面物理学原理又无法同力学规律分割开来。

当谈到区分力学和物理学，谈到物理学不能归结为力学的特性，总而言之，说到它们之间的相互关系的时候，必须考虑到“力学”的概念和“力学的”概念本身在历史上的变化。这两个词的含意是在变化着的，并且随着物理思想的改变而改变。力学发展的每一个历史阶段都是以被物理思想所决定的终极概念区别于另一个历史阶段。而这种物理思想总要直接影响到力学的特性。笛卡尔力学的物理前提是空间和物质的同一。牛顿力学的物理前提是作用于自然界所有物体的引力概念。骤然看来在拉格朗日和哈密顿力学中，似乎缺乏物理前提，力学只具有四维解析几何的形式化的性质，但是这只是意味着从物理上解释方程时，它里面的量可以和被守恒定律所联系的不同的物理量相对应。狭义相对论的力学是同新的物理前提电动力学的概念和规律联系在一起的。

这样，当我们谈论把这样或那样的物理学原理能够归结或不能够归结为力学的时候，不仅应该考虑到在物理学中力学概念这样或那样的作用，还要考虑到物理学概念对力学的影响。单纯地把“非力学的物理”和“力学的物理”加以对比就会忽视了那种相互作用。实际上物理学同力学间的联系是很曲折的，必须以这种态度来研究相对论物理之力学的和非力学特性的问题。

是否可以把这些概念在历史的所有的变更都归拢在一起进而从整体上对“力学”和物理学的“力学的”特性加以讨论呢？我们要把这个问题放在同其他问题的联系中加以考察，这就是说最好把全部历史的变更都归拢在一起来讨论相对性原理，或者说讨论适用于伽利略牛顿的古典原理和爱因斯坦的狭义，广义相对论的，普遍的相对性概念。伽利略牛顿原理适应于缓慢的惯性运动；狭义相对论适用于可以和电磁振荡传播的速度相比拟的惯性运动；广义相对论适用在引力场中质点或质点系的加速运动。上述情况都是指坐标以这样或那样的方式随时间而变化；都是指某种被个体化的，在每一时刻定域于空间中的物理客体，而此客体在保持自身不变的同时从空间的一个点转移到另一个点。换言之，这里所研究的正是自身同一客体的一个个相继的处所。这个客体能够以任意速度（古典的相对性原理）或以被某个恒定的（狭义相对论）或以引力场所决定的（时空弯曲、广义相对论）的速度通过这些处所。无论取那一种观念只要指明自身同一客体相对它作运动的那个物体，则自身同一客体运动的概念就是有意义的。这些参考物和相应的坐标空间都是平等的，即从一个坐标空间过渡到另一个坐标空间时，某些量要保持不变（相应的变换不变量），也就是说这种过渡并不表现在运动着的系统内部的物理过程的进程之中。这个论题（即能否提所谓位置、速度、加速度的相对性）能够用到哪种坐标变换上面还应当由实验指出，把现已知晓的相对性理论都归拢起来这才是相对性原理的意义所在。

现在我们着手总结力学的概念了。在笛卡尔的力学中，所谓物体的运动是指从物理学上区别于周围的物体运动。当笛卡尔把物体对与其相接触的空间的运动归昝为空间，他这种做法则是力求把物体从环绕它的空间划分出来，又要把二者视为同一。牛顿认为运动的物体有不变的惯性质量，因此他能够不考虑物体的长、宽、高而把物体看成是质点具有一定质量的，不计尺寸大小的粒子。拉格朗日和哈米顿方程可以描述很复杂的客体的运动，它的自身同一性和个体性是以复杂的解析表示的不变性所保证。在相对论力学中所表现的是视为同一质点的属性的极为复杂的关系。但是所有情况，无论是具有静止质量的粒子还是用能量作为视为同一根据的光子，在较为广阔的普遍的意义上来看力学所研究的还是粒子和系统的相对运动。从这种意义说，每一个相对论的坐标表象其意义就是“力学的”表象。

在研究相对论原理之具体的可以互相替代相互补充的变更和力学的具体形式的时候，我们就能对爱因斯坦相对论是所谓“力学论”还是“物理论”的问题作出回答了。这个理论是力学的理论；然而这里所谓的力学就是物理概念本身长时间影响的结果。它所研究的决非具体的，狭隘意义的机械运动，而是无比复杂的物理客体的运动。

是否有可能提出那种在最普遍意义上排除力学，继而排除物理过程之相对论坐标表象的，绝对“非力学”的物理学呢？看来这种物理学可能提不出来。然而可以，甚至有可能建立这样一种物理理论，在这种理论中，自身同一的粒子的运动，即它的坐标表象将被解释为宏观的近似。这一问题在上一章曾提起过这里只限于对前述假设（即在那种不包括已然指明的物理理论但是却显示其原则上可能性的著作中的提示）进行一定程度的具体化。除去在上一章提到弗兰克尔的著作以外，我们还要讲一下狄拉克的一系列著作[8]在这些著作中，根据量子统计的数量关系提出了相对主义的基本前提。已然出现了一些比较起来是单义的并且经过仔细推敲的概念，即时间、空间量子化的观念。[9]这种观念同样容许把自身同一的粒子的运动说成是在一系列时间，空间的单元中非同一的过程的近似情况。按其明确性和应用范围的大小来说上述观念无法和海森堡的Ｓ矩阵理论相提并论。海森堡之排除哈米顿的形式主义的理论同样也准许把相对主义解释为量子统计关系的近似情况。

量子化的时空观念（连同另外一些以这种或那种方式和它联系在一起的，综合相对论量子物理的设想）能够成为对作为物理学基础的力学进行历史评价的出发点（所谓力学是在最广泛的意义上来说），同时（更确切地说从而）量子化的时空容许从历史上最广泛意义上的相对性原理作出评价。

量子化的时空，不只和狭义相对论对立，而且也同更为普遍的原理对立。[10]。离散的空间之测量学是绝对的，它由基元的纲格数目所确定。连续空间的测量学取决于首次作出二难推理的黎曼所谓的“约束力”。[11]广义相对论根据时空和引力场的关系（即时空和位于空间中的质量的关系）研究时空测量学。这种观点是与测量学无关的绝对量子空间相对立。但是可以设想：量子空间和时间之微观的，绝对的特性是同宏观的相对主义，同宇宙测量学和场在宏观尺度上的依存关系结合在一起的。如果相对论关系代表宏观近似，那么这些关系同物理过程的力学解释一起就成为已经找到的这种近似的历史原因和适用范围进行历史分析的对象了。

根据相对论关系的绝对准确性得到的物理理论并不能为作出上述评价提供根据。对古典物理学进行相对论的总结使得历史地看待伽利略牛顿相对性原理及基本牛顿定律的物理现象的力学解释。但是，为了历史地评价古典物理学这是很不够的。如果古典物理学仍然基于自身同一的物体运动，那么，爱因斯坦的相对性原理也依然是古典伽利略牛顿原理由古典电动力学产生的自然结论。这样廿世纪的相对论物理也就成为古典物理的终结了。

量子物理学是新的，非古典物理学的起点。因此在广泛地运用古典概念和在空间中运动的自身同一粒子的形象的时候，也要指明这些概念和形象在微观世界范围内的相对性。看来今后相对论量子力学和相对论量子电动力学原理的发展将导致单一的理论。这种理论更彻底地排除了古典的概念，并且把力学的形象自身同一的粒子的运动认为是一种合理的近似。这里所说的不是从一种相对性原理向另一种相对性原理的过渡，也不是从运用恒定的质量和不加限制的速度的力学解释向着另一种更普遍，更严格的力学解释的过渡。现在所说的是相对论本身的相对化和对其（同时还有物理学中的力学所解释）宏观尺度的限制。

　

　

注释：

1.《牛顿自然哲学著作选》 (美)?.S. 赛耶. 集体翻译　上海人民出版社 1974版 25页

2. 同上书 19页

3. [法]Ｅｎｃｙｃｌｏｐｅｄｉｅ　ｏｕ　ｄｉｃｔｉｏｎｎａｉｒｅ　ｒａｉｓｏｎｎｅ，ｔ.ＩＶ．ｐ．１０１０．Ｐａｒｉｓ，１７５４[e上有撇]

４．Кель（身世不详）

５．Ｐｌｕｋｅｒ　１８０１－－１８７８　德国数学家、物理学家

６．Ｇｒａｓｓｍａｎｎ　１８０９－－１８７７　德国数学家

７．Ф．Клейн　Лекции　о　развитии　математики　в　ＸＩＸ　столетии　М－Л，１９３７，стр．２０９－２２１

８《Ｎａｔｕｒｅ》，１６８，９０６，１９５１；Ｐｒｏｃ．Ｒｏｙ．Ｓｏｃ．，Ａ２０９，２９１，１９５１；Ａ２１２，３３０，１９５２；Ｎａｔｕｒｗｉｓｓ．Ｒｕｎｄｓｃｈａｎ，６，１１，４４１，１９５３．

９．Ｓｉｌｂｅｅｒｓｔｅｉｎ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｓｐａｃｅ－Ｔｉｍｅ．Ｔｏｒｏｎｔｏ，１９３６；А．Соколов　и　Д．Иваненко．　Квантовая　теория　поля．　М．－Л．，１９５２，стр．５９３－６００

１０．И．Е．Тамм．　Вступительное　слово　на　заседании　отделения　физико－матемтических　наук　СССР　３０　Ноября　１９５５　г．Сб．《Эйнштейн　И　современная　физика》，Ｍ，．１９５６，стр．９１－９２．

１１．Б．Риман．　О　гипотезах，лежащих　в　основании　геометрии　　　《Об　основаниях　геметрии》．Сб．классич．работ，Ｍ．，１９５６，стр．３２３－３２４?

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