http://tieba.baidu.com/f?kz=291499798 关于梯度、散度和旋度 fishwoodok 154位粉丝 1楼 根据有关吧友要求，贴出。 2007-11-27 15:18 回复 fishwoodok 154位粉丝 2楼 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。 标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。 2007-11-27 15:19 回复 fishwoodok 154位粉丝 3楼 下面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示。 2007-11-27 15:20 回复 fishwoodok 154位粉丝 4楼 梯度是矢量，其大小为该点函数的最大变化率，即该点的最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数增加的方向。 2007-11-27 15:20 回复 fishwoodok 154位粉丝 5楼 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 2007-11-27 15:21 回复 fishwoodok 154位粉丝 6楼 梯度和一个单位向量点积给出了表面在该向量的方向上的斜率。这称为方向导数。 2007-11-27 15:22 回复 fishwoodok 154位粉丝 7楼 一个标量函数的梯度记为： 2007-11-27 15:23 回复 fishwoodok 154位粉丝 8楼 右侧第一项表示了在x方向的方向导数，余类推。 2007-11-27 15:27 回复 fishwoodok 154位粉丝 9楼 三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，Q，R）。注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。 对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行以下操作： 1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同； 2、将这个值赋予这个点 对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。 2007-11-27 15:29 回复 fishwoodok 154位粉丝 10楼 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量，物理意义为通量源密度。 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源） 2007-11-27 15:31 回复 fishwoodok 154位粉丝 11楼 旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从斯托克斯公式里理解 旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场。 旋度计算是两个向量之间的“叉乘”，其结果是矢量。其方向满足右手法则。 2007-11-27 15:34 回复 fishwoodok 154位粉丝 12楼 因公式难贴，旋度计算请查有关教科书 2007-11-27 15:43 回复 电磁缘 2位粉丝 13楼 请问美鱼吧主,梯度是指连续倾斜的还是指有阶梯的倾斜. 2007-11-27 18:28 回复 fishwoodok 154位粉丝 14楼 梯度是矢量 ，不知道什么是“连续倾斜的还是指有阶梯的倾斜” 2007-11-27 21:36 回复 fishwoodok 154位粉丝 15楼 你不会认为是像梯田那样的“梯度”吧？ 2007-11-27 21:43 回复 电磁缘 2位粉丝 16楼 是有些相似,有人说重力有梯度就是这个意思. 2007-11-27 22:54 回复 CloudK CloudK 283位粉丝 17楼 迈克斯维方程组中的计算和应用是比较多的。高斯公式和斯拖克斯公式都是关于散度和旋度的计算工具。 2007-11-28 00:35 回复 peng_56 4位粉丝 18楼 关于梯度可以这样理解： 对于一座山，它的每一点的海拔高度φ就是一标量场。那么，某一点海拔高度φ向山顶方向的位置变化率就是梯度。这个标量场的φ是连续的，当然梯度也是连续倾斜的。梯度可以表示为7楼的形式，但用张量形式表示就更简练：即“φ,i”，式中，“，”表示普通微分，i=1,2,3（三维时）表示φ在空间3个方向微分的分量。 2007-11-28 10:39 回复 凹凸曼 血染图腾 190位粉丝 19楼 知道了~ 2007-11-28 11:21 回复 peng_56 4位粉丝 20楼 再谈谈散度： 散度可以理解为一个流场中，某点的流速v在各方向的变化率之和，是一个标量。根据这个定义可以知道，如果在流场中取一小空间，其散度不为零的话，就说明有流入或流出的流体。当散度为零的话，说明该小空间的流体是连续的，没有多余的流体流入流进。所以，连续体的连续式就是以此式为零。 在我帖子“由场方程导出测地线方程 http://post.baidu.com/f?kz=291581885”中用到了“根据发散定律：v(k,;k)=0”,就是根据了此。 由“v(k,;k)=0”可知，散度在张量中也是很简单的形式。式中v(k,;k)括号中逗号前一个“k”为v的上标，逗号后的“;k”为v的下标。而“;”在该例中为协变微分，一般用普通微分就行。在张量运算中，这儿的上下两个指标k表示自动求和，同时表示了v是一个标量。 2007-11-28 11:29 回复 fishwoodok 154位粉丝 21楼 同意20楼。 再举例：对质量问题而言，如果在所研究的区域里，没有新的质量生成，则其散度为0。 2007-11-28 19:08 回复 fishwoodok 154位粉丝 22楼 如果对张量不熟悉，也可以用Laplace及Harmilton算符表示。 2007-11-28 19:13 回复 125.42.214.* 25楼 此帖有些刻薄－－－－至少是在已经证明【物质】是连续性的之前^_^ 2007-11-28 21:59 回复 西子畔灵隐韬光 7位粉丝 26楼 不是很懂，但是很喜欢这样的讨论 以后有什么问题希望不灵赐教！ 2007-11-29 00:25 回复 219.130.196.* 27楼 请教peng_56,该何理解旋度呢？ 2008-10-22 17:29 回复 短命郭嘉 18位粉丝 28楼 严重警告楼上：不要挖坟。 2008-10-22 18:54 回复 问一下G 0位粉丝 29楼 请问一下短命郭嘉，下面两个贴子怎么不严重警告了。 http://tieba.baidu.com/f?kz=159188664 http://tieba.baidu.com/f?kz=262021031 2008-10-23 19:37 回复 LostAbaddon 78位粉丝 30楼 我感觉这种帖子的这种形式的回帖挖坟还是允许的。 总不能禁止别人问问题吧。 不过，恶意挖坟就另当别论了。 2008-10-24 14:51 回复 短命郭嘉 18位粉丝 31楼 吧规中没有关于挖坟的规则，只有： 6--顶起不受欢迎帖（删帖包括删除该不受欢迎主帖，发帖后一周时间内收到的不违规的非楼主回复帖少于五帖的主题帖为不受欢迎帖） 本人对28楼的警告表示歉意，并对27楼吧友道歉。 2008-10-24 16:27 回复 折翼海贼 50位粉丝 32楼 旋度是表征向量场各点处的涡旋程度的吗？那不就和曲率半径的意义一样了吗？ 旋度真难理解啊，哪位高人再指点一下啊，小弟不胜感激涕零！
