庞加莱截面

三体问题

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庞加莱被誉为是“一只脚站在19世纪，一只脚站在20世纪”的跨世纪天才学者，“是最后一位传统科学家，也是第一位现代科学家”。他是一位科学上的集大成者，在数学、天体力学、物理学和科学哲学等领域，都做出了杰出的贡献。他通晓他的时代的全部数学，在每一个重要分支里都做出了富有创造性的工作。这使他成为世界数学界无可争辩的领袖。正是这位科学巨擘，在确定论思想浓重笼罩着全部科学界的时候，却把智慧的眼光投向早被驱赶出科学园地的混沌深渊。

庞加莱是在研究天体力学时，研究“三体问题”而发现混沌现象。1887年，瑞典国王奥斯卡二世(1829～1907)悬赏2500克朗，征求天文学中一个重要问题的答案。这个问题就是“太阳系是稳定的吗？”其实这是牛顿本人早就提出来的一个老问题了。牛顿以当时已观测到的木星和土星运动的不规则性以及彗星以极扁的轨道横穿所有行星的公转轨道所可能带来的干扰作用为依据，提出了太阳系的运动可能会陷入紊乱的担心。此后不少科学家都对这个问题进行过探索。直到1784年，拉普拉斯根据万有引力理论证明，太阳系是一个完善的自行调节的机械机构，行星之间的相互影响和彗星等外来天体所造成的摄动，最终都会自行得到改正。所以，太阳系作为一个整体是稳定的，它将无限期地继续做着目前的周期运动。但是看来，拉普拉斯的答案并没有消除科学界的这个疑虑，没有阻止100年后瑞典国王的悬赏征文。

庞加莱自然向奥斯卡国王的难题发起了进攻。但是这个问题是太困难了，它涉及到了怎样研究复杂动力系统的稳定性这个深刻的问题。连庞加莱这样的天才学者，也未能彻底攻克它。但是，他却为了做这一工作而创立了一个新的数学分支——拓扑学，并大大推进了人们对这个历史难题的认识。他因此获得了这项奖金。

在太阳系中，包含着十多个比月球大的巨大天体，这是造成解题困难的根本原因。如果太阳系仅仅由太阳和地球组成，这就是一个“二体系统”，问题则很简单，牛顿早已完全解决了它们的运动问题。它们的运动是简单而规则的周期运动，太阳和地球将围绕一个公共质心、以一年为周期永远运转下去；或者稍做简化地说，地球将以太阳为一个焦点，周而复始地沿椭圆轨道绕转。然而，当增加一个相当大的天体后，这就成了一个“三体系统”，它们的运动问题就大大复杂化了，要彻底解决这个问题，几乎是不可能的。对短时间内的运动状态，可以用数值计算的方法来确定；但是由于根据牛顿力学所列出的方程组不能解析地求解，所以系统长时间的运动状态是无法确定的。

为了减少解决“三体问题”的难度，庞加莱着眼于美国数学家希尔(Hill，George William 1838～1914)提出的一个极为简化的三体系统，即“希尔约化模型”。三体中有一个物体的质量非常小，它对其它两个天体不产生引力作用，就像由海王星、冥王星和一粒星际尘埃组成的一个宇宙体系一样。这两颗行星就像一个“二体系统”一样绕着它们的公共质心做周期运动；但这颗尘埃却受到两颗行星万有引力的作用，在两颗行星共同形成的旋转着的引力场中做复杂的轨道运动。这种运动不可能是周期的，也不可能是简单的，看上去简直是乱糟糟一团。


为了用几何方法直观地描绘运动的情况，可以用描述系统状态的状态参量为坐标张成的“相空间”来描绘运动过程。某一时刻系统的状态在相空间里用一个点表示；系统状态随时间的变化，即系统运动方程的解，对应于相空间的一条曲线，称为“相轨道”；如果物体做周期运动，它的相轨道就是一条闭合曲线；如果曲线不闭合，则表示物体的运动是非周期的。但是，为了确定系统的运动是不是周期性的，与其自始至终地跟踪系统运动的全过程，不如只观察系统的相轨道是否总会通过同一相点。设想通过相空间中一点A(初始状态)作一个横截面，如果系统的相轨道总在同一点A穿过截面，那么系统的运动就是周期性图3用庞加莱截面考察运动情况；相反，如果系统的相曲线1表示周期运动轨道每次都在不同点穿曲线2为非周期运动过这个截面，它的运动就是非周期的。这个截面现被称为“庞加莱截面”，它把对连续曲线(相轨道)的研究简化为对点的集合的研究，相当于对系统的全部运动过程进行不连续的抽样检验，从而简化了检测工作。

庞加莱把他的截面方法应用于“希尔约化模型”的研究，以观察尘埃粒子的运动。庞加莱震惊了，他发现尘粒的运动如此复杂而且违反直觉。它的轨线多次穿过截面所形成的交点竟连缀成无穷多交点的“栅栏”。他写道：

当人们试图描画由这两条曲线和它们的无穷次相交(每一次相交都对应于一个双渐近解)构成的图形时，这些相交形成一种格子、丝网或无限密集的网栅结构；这两条曲线从不会自相交叉，但为了无穷多次穿过丝网的网节，它们必须以一种很复杂的方式折叠回自身之上。这一图形的复杂性令人震惊，我甚至不想把它画出来。没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的概念了。

从截面上一点出发的系统，经过一个过程后，当它再穿过截面时，却在另一点交于庞加莱截面，简直无法预言它下一次将从哪一点穿过截面；实际上系统是以无规则的点的序列频频穿过庞加莱截面的。这就是混沌，庞加莱在“三体问题”中发现了混沌！这一发现表明，即使在“三体系统”，甚至是极为简化的“希尔约化模型”中，牛顿力学的确定性原则也受到了挑战，动力系统可能出现极其惊人的复杂行为。并不像人们原来认为的那样，动力系统从确定性的条件出发都可以得出确定的、可预见的结果；确定性动力学方程的某些解，出现了不可预见性，即走向混沌。

另外，数字3与上述物理特性发生巧合，同样与其它学科的一些重要数字发生了巧合。

例如，人类最重要的脑有3个，它们互相协调、互相分工，分别是左脑、右脑、小脑。这与质子及中子的组成十分相似，左脑与右脑相当于同种类的夸克，小脑则相当于另外一个种类的夸克，三者相互构成一个稳定体。

我对此十分好奇，为什么人类的大脑天生并非7个、8个部分，却偏偏只有3个部分呢？

同时十分有趣的是，我们知道大脑是支配身体行为的控制终端，如果我们将男人的大脑比喻成质子，女人的大脑比喻成中子，则男子与女子之间就像质子与中子一样存在相互结合的力，使两者神秘地结合起来。

在一般情况下一个男子与一个女子会产生一个稳定的系统个体，这与质子与中子在正常情况下相互结合产生较稳定的系统个体氢又是十分相似的。

这又是一个十分有趣的巧合。

数字3还与基因学科中的一个重要数字发生巧合。

基因学科表明，生物体内的蛋白质可比喻为生命舞台上的前台演员，而DNA就是后台的总导演。事实上，蛋白质的一级结构即氨基酸排列顺序，就是由核酸的碱基顺序决定的。

任何一个蛋白质都由不同种类的氨基酸排列组成。只是不同的蛋白质分子，氨基酸的排列顺序会有所不同。氨基酸的种类只由DNA的3个碱基作为一个密码子决定，我们称为三联体密码。

“三联体密码”所出现的数字3，与夸克的出现的数字3一样，虽然两者看似十分简单，却构成了世间的万事万物。只不过基因的三联体密码仅决定了生物的特性，而夸克则参与决定了世间所有物体的特性。