分析（complex analysis）也被称复变函数,定义域与值域均为复数集的函数

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January 16
绕不开的复分析
1

数学中有很多相互对应的数学分支， 从大的视角来看有纯数学和应用数学，几何和代数。具体到几何和代数有欧式几何和非欧几何、线性方程和非线性方程。按照研究的数学结构则有算法数学和分析数学，分析数学里还分实分析和复分析等。这些领域在数学史上的相对重要性随着时代的要求发生变化，有各自的辉煌和暗淡的历史。

有时候看一些数学家的所专注领域的介绍，根本理解不了，复分析就是这样一个领域。前面获得伯格曼数学奖的数学家大多是复分析领域的精英，在二十世纪数学家排名(前100位)中有很多数学家，如阿尔福斯（Ahlfors，1907—1996）和Nelivanna等都把复分析作为自己的主要工作内容，虽然该领域有一个美丽的公式为大家所熟知：e^iπ＋1＝0，但这么多数学家乐于此道，不全是为了追求美。

复分析（complex analysis）也被称复变函数，是实变函数微积分的推广和发展，所研究的是定义域与值域均为复数集的函数。就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，我们也可以说复变函数是十九世纪数学最独特的创造。当时的数学家公认复变函数是最丰饶的数学分支，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

复数并不是复杂的数，其概念起源于求方程的根。16世纪时，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在近三百年的时间里，人们对这类数不能理解，被当时的人们称作不可能的数。最早的复变函数的方程出现在法国数学家达朗贝尔的一篇关于流体力学的论文中，后来欧拉也发现了它们。所以复分析也被认为是为流体力学而诞生的。正如后面所介绍的那样，在数学家的努力下，复分析在其它学科得到了广泛的应用，而且在数学的许多分支也都应用了它的理论。

图注：数学家们在十八世纪末就认识到平面上的点可与复数一一对应。为了向数学家致敬，把复平面(Complex plane)又叫高斯平面，把这种复数表示成的矢量图叫做阿尔冈（1777-1885）图（Argand diagram），把图中的公式叫做欧拉公式。而把这种在复分析中用几何方法来说明、解决问题的内容叫作几何函数论 。

运用欧拉公式很容易就能计算出一个复数的n 次方：（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n =e^inx =cos(nx)+isin(nx) 这个公式是数学家棣莫佛首先发现的，现被称作棣莫佛定理，该定理也可以应用到双曲函数。在《Heroes in my Heart》中简单提到过这位老英雄。

2

1833年，28岁的汉密尔顿在爱尔兰皇家学会的一次讲演中，把复数a+ib表示成（a,b）这样的序数对，并给出了a+ib的加法和乘法的几何解释。


.

(a，b）+(c，d) = (a+c，b+d)

(a，b)·(c，d) = (ac-bd，ad+bc)

.

后来的十年时光里，汉密尔顿试图寻找三维空间复数时，他发现自己被迫要牺牲乘法交换率，所以汉密尔顿把二维复数扩展到了四维，即定义z=a + ib + jc + kd （其中i^2=j^2=k^2=ijk=-1，ij=k，ji=-k ，jk=i， kj=-i ，ki=j， ik=-j）

.


又过了大约十年，1854年同样是28岁的贝恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)在Gottingen大学进行了他划时代的就职讲演，他认为几何本质上是由一个n维有序数组的集合与该集合上特定的规则组成，而且变量上的任何关系都可以看成是“空间”，他的这一思想推广了空间的含义。后来黎曼转向理论物理的研究，为爱因斯坦建立广义相对论扫清了障碍。 1866年7月20日，黎曼过早地离开了人世，也过早地离开了数学。

.

如今，听到黎曼的名字很容易想起的是黎曼球面，黎曼球面是最简单的黎曼曲面，它可以显示为三维实空间中的单位球面与极点N(0，0，1)到平面z = 0的球极投影，可以将该平面等同于复平面z= x + iy，黎曼球面上存在的圆，如果不过N点，那么对应复平面上的一个圆；如果过N点，则对应复平面上的一条直线。(见CG科普电影数学漫步-9中给出的证明)




.“黎曼与柯西及魏尔斯特拉斯被公认为复变函数论三大奠基人，但他们的出发点及研究方向各有不同：柯西代表分析方向，黎曼代表几何方向，魏尔斯特拉斯代表函数论方向，在黎曼发表他的博士论文之前，柯西已对复变函数论进行了30年之久的研究，他已得出复变函数的合理定义，得出柯西-黎曼方程，还发现了复变函数的积分，并得出其积分定理，得出留数、柯西积分公式以及幂级数展开式，他和他的后继者对于多值函数也有所涉及，但柯西并不太理解多值函数，他甚至对极点与支点的区别也不太清楚，他遗留下的这个领域正是黎曼发挥他的创造性的地方。”——摘自胡作玄所著《黎曼》

3

在前面两节，我介绍了复数逐渐为人们所接受的历史，还从黎曼几何发展史的角度简单的介绍了复变函数论的建立。今天我们再换一个物理（很意外，居然法国科学家居多）视角。从18世纪开始，微积分的应用包括了热力学，天体力学，流体力学以及光、电和磁学的研究。我们来看看在微积分扩展到多参数函数的过程中的一段历史故事。

在天体力学上，人们导入了偏微分方程用来描述行星运动，运动的粒子（开始时，物理学家在计算时把行星当作粒子看待，直到格林定理在1828年被表述）的相互作用可以表示为微分方程，而其解就可能是该粒子的运行的轨道。那时的微分方程式越来越多而且复杂，提高行星运动理论的精度，成为了天体力学的一个主要课题。由于难以求出微分方程的确切解，这导致了逼近方法的建立。（事实上，行星并不是沿圆滑的椭圆形轨道运行的，而是在这以轨道上摇摆着前行，20世纪，人们才发现可以用混沌理论解释太阳系动力学）1747年，欧拉在他的《无穷小分析引论》中，探讨了用三角级数逼近行星运动的轨迹。1788年，法国数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)的长达500页的《分析力学》一书中没有一个图。

这种用截取幂级数来得到近似函数，用保留尽可能多的项来取得更佳的逼近的想法受到了一些数学家的批判。1860年，法国天文学家查尔斯·德洛内(1816—1872)就给出了近60种方法来评估他给出的一个巨大的方程式。

而在电磁学领域，19世纪的中期产生了许多关于电和磁的实验和理论，在此之前，法国物理学家库仑(1736—1806)通过实验发现两个电荷间的力与两电荷所带电量的乘积成正比，与两者距离的平方成反比，物理学家尝试在重力学中的建立的模型和假设应用到静电现象中去，虽然与万有引力公式形式相同，但与引力不同的是静电力有正负之分。之后，法国物理学家安培(1775—1836)于1826年使用数学方法证明了：同静电力一样，电磁力也满足平方反比定律。他的实验发现有电流滴圈，就像普通的磁铁那样，有吸引和排斥作用。根据这一发现，他推测磁体的微粒中，也存在着很小滴电流。如果这些微粒的电流都在同一方向流动，即产生磁力。

1873年，麦克斯韦继法拉第之后，(James Clerk Maxwel，1831—1879）发表了论文《电和磁》，论文中主要的概念是电场和磁场，他回避了以太本质和空间本质的探讨，假设了场(action)的存在以及场与场之间、场与媒介之间存在着相互作用。

麦克斯韦认为空间是一个具有弹性的连续体。因为空间是连续的所以能够从点到点运动；因为空间具有弹性，所以媒介本身可以贮存(zhùcún)动能和势能。他大量使用了势能理论和微分几何（由黎曼开创的新领域），并分别又用四元数符号的形式给出了他的方程式。而我们现在所看到的矢量形式的麦克斯韦方程式是由三维向量代数创始人之一的亥维塞(Heaviside Oliver，1850 — 1925) 给出的。
(图注一：人类在很早的时候，就开始了行星运动规律的研究。图注二：云层中的放电现象。)
8:05 PM | Blog it | 几何分析
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