球面几何及其应用（II）
430062 湖北大学数学与计算机科学学院 李光汉
４ 球面几何和欧拉定理
由于同半径的球面都是相似的，在不影响研究的具体问题时，我们通常取单位球面作为研究平台。本节我们介绍球面几何定理在欧拉定理中的应用，而且所涉及的球面都是单位球面。
4.1 球面多边形的内角和
在第一讲中我们已经知道，单位球面上，任意二点 、 的距离是连接这两点的不超过 的大圆弧 的长。因此我们可以定义球面凸 边形 是指 ( )和 均由长度不超过 的大圆弧连接而成的图形。特别地，球面三角形 是指 、 、 分别由长度不超过 的大圆弧 、 和 连接而成的图形。球面三角形的内角是指构成该角的两条大圆弧的切线的夹角。由第一讲命题2.2我们知道，球面三角形的内角和大于 ，即
引理4.1 在单位球面上任给球面三角形 ，其面积为 ，则三角形的三内角和为 ，即
。
球面三角形的内角和公式可以推广到球面凸多边形上去。
推论4.２ 在单位球面上任给球面凸 边形 ，其面积为 ，则该 边形的 个内角和为 ，即
。 (#)
证明(用归纳法) 当 时，它就是引理1.1，球面三角形的内角和定理。假设推论４.2对于单位球面上的球面凸 边形成立，现在考虑单位球面上的球面凸 边形，设之为 ，其面积为 。用大圆弧把 、 连接起来，并使得 的弧长不超过 。由于多边形是凸的，这时大圆弧 一定位于凸多边形的内部。于是原来的球面凸 边形 被分成球面三角形 和球面凸 边形 。设球面三角形 的顶点 所对应的三角形内角记为 ,顶点 所对应的内角记为 ，而球面凸 边形 的顶点 所对应的球面多边形的内角记为 ，顶点 所对应的球面多边形的内角记为 。由前面的做法显然有
， ，
其面积有下列关系
。
故由归纳假设知
此即我们证明了推论4.2成立。
4.2 欧拉定理的证明
首先我们来定义空间中的凸(胞)腔.
定义4.1 空间中的一个凸二维(胞)腔是指平面上的一个凸集, 它的边界含有有限多条线段,称为棱, 这些线段相会于点，称为顶点。一个凸三维（胞）腔是指空间中的一个凸集，它的边界是有限多个二维（胞）腔的集合，这些二维(胞)腔称为面。它所有二维（胞）腔的棱和顶点也称为该三维（胞）腔的棱和顶点。一个凸三维（胞）腔的边界顶点数用 表示，棱数用 表示，二维（胞）腔数，即面数用 表示。于是我们有下面关于三维（胞）腔的顶点数、棱数和面数的欧拉公式
命题4.3（欧拉定理） 三维（胞）腔的顶点数 ，棱数 和面数 有下列关系：
。 （$）
证明 设 是所给的凸三维(胞)腔的边界,显然它由 个平面凸多边形构成, 而每个凸多边形都是一个二维(胞)腔(见定义4.1)。设 是 内一点，即它不在所给凸三维（胞）腔的边界上，把边界 投影到以 为中心的单位球面 上。由于 是凸的， 这是可能的。实际上，可以取 的一个二维（胞）腔的一条棱，该棱和 点决定一个平面， 平面和单位球面 的交线即为该棱在单位球面上的投影。通过此法每条棱在单位球面上都有投影，从而三维（胞）腔的整个边界 都投影到了单位球面上。根据上面的做法及凸集理论，球面上每点刚好被覆盖一次，这样就得到了单位球面上由球面凸多边形构成的网络 。这时 是由 个球面凸多边形构成的。而且每个球面凸多边形都是所给的原凸三维（胞）腔的边界 的二维（胞）腔在单位球面上的投影。因此单位球面上的网络 所含的球面凸多边形的个数、边（或棱）数和顶点数分别与 所含的平面凸多边形的个数（即三维胞腔的面数）、边（或棱）数和顶点数相同。用 表示第 个球面凸多边形。对每个球面凸多边形 ，由球面凸多边形的内角和定理（#）有
。 （%）
其中 为该球面凸多边形的边数, 为该球面凸多边形的面积。对于固定的 ， 是该球面凸多边形的 个内角。
现对一切球面凸多边形 求和，则因为每个顶点处的诸角和是 （球面上一点处，过该点的大圆弧的切线在一个平面上），由于共有 个顶点，从而所有多边形的内角和应为 ，即
。
由于每条棱为两个多边形共有，故
即 。
显然又有
且 整个单位球面的面积 。
于是（%）式对 求和有
。
整理即得（$）式，从而完成了欧拉定理的证明。
4.3 空间中正多面形的讨论
此小节我们利用欧拉定理($)式讨论空间中的正多面形的个数问题。
给定空间中一个任意的凸多面形，它是一个凸三维(胞)腔的边界，设其面数、边（棱）数和顶点数分别为 、 和 。设 为该多面形上具有 边（棱）凸二维(胞)腔的个数，也就是边（棱）数为 的面的个数。显然 且
。 （1）
由于每边属于两个相邻的多边形，所以
（即所有多边形的边数和）。 （2）
设 为多边形上有 条棱相会的顶点的个数。由于空间中的一个多面形至少有4个面，故过每个顶点至少有3条棱，即有
。 （3）
由于每条棱有两个顶点，于是有
（即汇聚于所有顶点的边数的总和）。 （4）
把（1）、（2）和（3）代入欧拉定理（$）式得
。 （5）
把（1）、（3）和（4）代入欧拉定理（$）式得
。 （6）
上述两式相加得
,
或者
。
把求和中的 、 和 、 写成单项并合并有
。
由于上式右端全为非负的数，故有
推论4.4 每一个凸多面形(或多面体)或者有三角形的面，或者有三棱形的顶点，也可能兼有二者。
以2乘以（5）式，再与（6）式相加得
，
或者
。
移项使方程两边只含有正项得
。
于是
。
与此类似也有
。
由这两个不等式可以得到空间中的凸多面形有如下限止：
推论4.5 (i) 每个凸多面形必含有三棱、或四棱或五棱的顶点。
(ii) 每个凸多面形必有三角形、四角形或五角形的面。
正因为一个凸多面形有上述限止，空间中的正多面形必然不会有任意多的边数。下面我们就利用欧拉定理来讨论空间中的正多面形的个数问题。
设一个正多面形的各面有相同的边数 ，它的各顶点有相同的棱数 ，于是
， 。
此时（2）、（4）式和欧拉定理($)式变为
和 。
已知 、 由上式便可解得
,
,
。
故当 时，分母都是 ，因此 。同样，当 时， 。我们把一切可能的 和 的取值列成下表：
多面形
3 3 4 4 6 正四面形
3 4 6 8 12 正八面形
3 5 12 20 30 正二十面形
4 3 8 6 12 正六面形
5 3 20 12 30 正十二面形
我们把上述表格用一个定理来表述即为
命题4.6 空间中只有五种正多面形，即正四面形、正六面形、正八面形、正十二面形和正二十面形。
５ 球面坐标系与导航问题
本节我们给出球面几何在飞行导航系统中的一个应用。
在民航飞行中常常会遇到这样一个问题：同一个点的坐标，使用我国民航总局制定的航图查出来的坐标值，与使用杰普逊公司的航图查出来的往往不是完全相同，有着或多或少的差别。比如，在一个机场，当输入停机位置的全球定位系统（Global Positioning System - GPS）的坐标时，飞机明明停在跑道的南侧停机坪上，但是在中国飞行图（Ｆlying Maps of China – FMC）上却显示飞机到了跑道的北侧。而实际跑道北侧根本就没有飞机的影子。这是什么原因造成的呢？如下我们可以看到，由于使用了不同的球面坐标系，才导致了上述差异。
为了说明上述原因，我们首先了解球面坐标系。在飞行中所涉及的有地理坐标系（即通常的经纬度坐标系，也称球面坐标系）和平面坐标系。经纬度坐标系可以确定地球上任何一点的位置。如果我们将地球看作一个椭球体，经纬网线就是加在这个椭球表面的地理坐标参照系格网。穿过椭球（或地球）自转的子午面与椭球表面的交线称为子午线或经线，其中穿过英国格林尼治天文台的子午线称为起始子午线。通过椭球旋转中心且与旋转轴垂直的赤道面与椭球（或地球）的交线称为赤道，其他与旋转轴垂直但不通过旋转中心的平面与椭球的交线称为纬线。经度是任一子午面与起始子午面的夹角，从起始子午面向东为东经，向西为西经。从椭球（或地球）上某点 做椭球的切平面，过 点做垂直于切平面的法线（显然这个法线并不过椭球或地球的中心），法线与赤道面的夹角称为纬度，赤道向北称为北纬，向南称为南纬。
由于经纬度坐标系是一种球面坐标系，而度并不是衡量长度的单位，不能用它来测量长度和面积，所以我们需要通过一定的数学方法将这样的球面坐标系投影到二维平面上，进而形成平面坐标系，也就是航图－－地图中采用的坐标系。这样我们才能对距离、面积进行测量和计算。把形状不是几何椭球体的地球进行数模化，我们可以得到用严格数学公式表示的地球数学模型－－参考椭球体。随着人们对地球的不断认识和探索，对于地球形状的数学模型也在不断改进，不同时期采用的地球数学模型造成不同时期的坐标基础不同。还有一点，对于任何一种对地球表面的平面坐标表示方法(即地图投影)都会在形状、面积、距离，或者方向上产生不同的变形，每一种投影都有其各自的适用方面。即使是同一个地球模型，不同的投影方法得到的平面坐标不尽相同。
用不同的投影方法、不同的参考椭球体模型进行距离和面积的测算所得到的结果也就不尽相同。主要原因如上所述：第一是我们所采用的地球数学模型即参考椭球体不同；第二是把地球表面－－一个曲面投影到平面的方法不同。
现在我们回到当初的问题：GPS与FMC有何不同？由于1978年以来我国一直使用参照前苏联从1953年起采用的克拉索夫斯基椭球体建立的我国1954北京坐标系，而目前杰普逊公司以及大多数国家和GPS都不是采用我们的1954北京坐标系，而是采用的WGS84坐标系（1984年国际测量大会通过的模拟地球的椭球体），它是一个地心坐标系，即以地心作为椭球体中心建立起的一个坐标体系。正因为如此，同一个点，我国的航图和使用杰普逊公司的航图查出来的坐标值往往会有些差异。
６ 球面几何和光学成象
本节我们给出球面反射规律在光学中的应用。
球面(单球面)既是一个简单的光学构造，又是组成许多光学仪器的基本部件。单球面镜只是一个圆球面的一部分．球面镜的曲率半径即为该圆球面的球半径，圆球的中心就是作为该球面一部分的球面镜的曲率中心，球面镜只有参照光轴。任何通过曲率中心达到球面的直线都可以作为球面镜的参照光轴。直线与球面的交点称为反射镜的顶点，球面镜曲率中心和顶点的连线就称作球面镜的轴，如图（１）所示： 为一球面． 为曲率中心， 为顶点． 为球面( )的轴。
图（１） 凸球面镜 图（２） 凹透镜、主焦点 和焦点距
一般光学系统成象的基础是光在球面上的反射和折射。为了了解光系统的成象规律，我们就来看看球面反射和光学成象的关系。
平行于球面轴的光线投射到镜面时，必然发生反射，对于凹面镜，反射光线将向主轴上一点会聚（图（２）），凹面镜从顶点 到主焦点 的方向和反向线行进方向一致；对于凸面镜，反射光线将成为发散光线而背离主轴，反射光线的反向延长线必同主光轴交于一点 ，其顶点 到主焦点 的方向和反射光线的行进方向相反。如下就是光学成象中普遍适用的球面反射规律：
（１） 平行于主光轴的近轴入射光线，经球面反射后，其反射光线通过主焦点；
（２） 过主焦点的入射光线，经球面反射后，其反射光线和主光轴平行；
（３） 通过或指向球面曲率中心的入射光线，在投射到球面后，其反射光线沿原方向返回；
（４） 过反射镜顶点的入射光线，其反射光线位于以主光轴为法线的另一侧，反射角等于入射角。
参考文献
1 项武义. 古典几何学讲义. 北京: 科学出版社, 1983
2 Ｈ. 霍普夫著. 吴大任译. 整体微分几何. 北京: 科学出版社, 1987
3 陈建国. 定位与导航. 厦门航空公司, 2005
4 马文蔚. 柯景凤. 物理学. 高等教育出版社, 1981
430062 湖北大学数学与计算机科学学院 李光汉
４ 球面几何和欧拉定理
由于同半径的球面都是相似的，在不影响研究的具体问题时，我们通常取单位球面作为研究平台。本节我们介绍球面几何定理在欧拉定理中的应用，而且所涉及的球面都是单位球面。
4.1 球面多边形的内角和
在第一讲中我们已经知道，单位球面上，任意二点 、 的距离是连接这两点的不超过 的大圆弧 的长。因此我们可以定义球面凸 边形 是指 ( )和 均由长度不超过 的大圆弧连接而成的图形。特别地，球面三角形 是指 、 、 分别由长度不超过 的大圆弧 、 和 连接而成的图形。球面三角形的内角是指构成该角的两条大圆弧的切线的夹角。由第一讲命题2.2我们知道，球面三角形的内角和大于 ，即
引理4.1 在单位球面上任给球面三角形 ，其面积为 ，则三角形的三内角和为 ，即
。
球面三角形的内角和公式可以推广到球面凸多边形上去。
推论4.２ 在单位球面上任给球面凸 边形 ，其面积为 ，则该 边形的 个内角和为 ，即
。 (#)
证明(用归纳法) 当 时，它就是引理1.1，球面三角形的内角和定理。假设推论４.2对于单位球面上的球面凸 边形成立，现在考虑单位球面上的球面凸 边形，设之为 ，其面积为 。用大圆弧把 、 连接起来，并使得 的弧长不超过 。由于多边形是凸的，这时大圆弧 一定位于凸多边形的内部。于是原来的球面凸 边形 被分成球面三角形 和球面凸 边形 。设球面三角形 的顶点 所对应的三角形内角记为 ,顶点 所对应的内角记为 ，而球面凸 边形 的顶点 所对应的球面多边形的内角记为 ，顶点 所对应的球面多边形的内角记为 。由前面的做法显然有
， ，
其面积有下列关系
。
故由归纳假设知
此即我们证明了推论4.2成立。
4.2 欧拉定理的证明
首先我们来定义空间中的凸(胞)腔.
定义4.1 空间中的一个凸二维(胞)腔是指平面上的一个凸集, 它的边界含有有限多条线段,称为棱, 这些线段相会于点，称为顶点。一个凸三维（胞）腔是指空间中的一个凸集，它的边界是有限多个二维（胞）腔的集合，这些二维(胞)腔称为面。它所有二维（胞）腔的棱和顶点也称为该三维（胞）腔的棱和顶点。一个凸三维（胞）腔的边界顶点数用 表示，棱数用 表示，二维（胞）腔数，即面数用 表示。于是我们有下面关于三维（胞）腔的顶点数、棱数和面数的欧拉公式
命题4.3（欧拉定理） 三维（胞）腔的顶点数 ，棱数 和面数 有下列关系：
。 （$）
证明 设 是所给的凸三维(胞)腔的边界,显然它由 个平面凸多边形构成, 而每个凸多边形都是一个二维(胞)腔(见定义4.1)。设 是 内一点，即它不在所给凸三维（胞）腔的边界上，把边界 投影到以 为中心的单位球面 上。由于 是凸的， 这是可能的。实际上，可以取 的一个二维（胞）腔的一条棱，该棱和 点决定一个平面， 平面和单位球面 的交线即为该棱在单位球面上的投影。通过此法每条棱在单位球面上都有投影，从而三维（胞）腔的整个边界 都投影到了单位球面上。根据上面的做法及凸集理论，球面上每点刚好被覆盖一次，这样就得到了单位球面上由球面凸多边形构成的网络 。这时 是由 个球面凸多边形构成的。而且每个球面凸多边形都是所给的原凸三维（胞）腔的边界 的二维（胞）腔在单位球面上的投影。因此单位球面上的网络 所含的球面凸多边形的个数、边（或棱）数和顶点数分别与 所含的平面凸多边形的个数（即三维胞腔的面数）、边（或棱）数和顶点数相同。用 表示第 个球面凸多边形。对每个球面凸多边形 ，由球面凸多边形的内角和定理（#）有
。 （%）
其中 为该球面凸多边形的边数, 为该球面凸多边形的面积。对于固定的 ， 是该球面凸多边形的 个内角。
现对一切球面凸多边形 求和，则因为每个顶点处的诸角和是 （球面上一点处，过该点的大圆弧的切线在一个平面上），由于共有 个顶点，从而所有多边形的内角和应为 ，即
。
由于每条棱为两个多边形共有，故
即 。
显然又有
且 整个单位球面的面积 。
于是（%）式对 求和有
。
整理即得（$）式，从而完成了欧拉定理的证明。
4.3 空间中正多面形的讨论
此小节我们利用欧拉定理($)式讨论空间中的正多面形的个数问题。
给定空间中一个任意的凸多面形，它是一个凸三维(胞)腔的边界，设其面数、边（棱）数和顶点数分别为 、 和 。设 为该多面形上具有 边（棱）凸二维(胞)腔的个数，也就是边（棱）数为 的面的个数。显然 且
。 （1）
由于每边属于两个相邻的多边形，所以
（即所有多边形的边数和）。 （2）
设 为多边形上有 条棱相会的顶点的个数。由于空间中的一个多面形至少有4个面，故过每个顶点至少有3条棱，即有
。 （3）
由于每条棱有两个顶点，于是有
（即汇聚于所有顶点的边数的总和）。 （4）
把（1）、（2）和（3）代入欧拉定理（$）式得
。 （5）
把（1）、（3）和（4）代入欧拉定理（$）式得
。 （6）
上述两式相加得
,
或者
。
把求和中的 、 和 、 写成单项并合并有
。
由于上式右端全为非负的数，故有
推论4.4 每一个凸多面形(或多面体)或者有三角形的面，或者有三棱形的顶点，也可能兼有二者。
以2乘以（5）式，再与（6）式相加得
，
或者
。
移项使方程两边只含有正项得
。
于是
。
与此类似也有
。
由这两个不等式可以得到空间中的凸多面形有如下限止：
推论4.5 (i) 每个凸多面形必含有三棱、或四棱或五棱的顶点。
(ii) 每个凸多面形必有三角形、四角形或五角形的面。
正因为一个凸多面形有上述限止，空间中的正多面形必然不会有任意多的边数。下面我们就利用欧拉定理来讨论空间中的正多面形的个数问题。
设一个正多面形的各面有相同的边数 ，它的各顶点有相同的棱数 ，于是
， 。
此时（2）、（4）式和欧拉定理($)式变为
和 。
已知 、 由上式便可解得
,
,
。
故当 时，分母都是 ，因此 。同样，当 时， 。我们把一切可能的 和 的取值列成下表：
多面形
3 3 4 4 6 正四面形
3 4 6 8 12 正八面形
3 5 12 20 30 正二十面形
4 3 8 6 12 正六面形
5 3 20 12 30 正十二面形
我们把上述表格用一个定理来表述即为
命题4.6 空间中只有五种正多面形，即正四面形、正六面形、正八面形、正十二面形和正二十面形。
５ 球面坐标系与导航问题
本节我们给出球面几何在飞行导航系统中的一个应用。
在民航飞行中常常会遇到这样一个问题：同一个点的坐标，使用我国民航总局制定的航图查出来的坐标值，与使用杰普逊公司的航图查出来的往往不是完全相同，有着或多或少的差别。比如，在一个机场，当输入停机位置的全球定位系统（Global Positioning System - GPS）的坐标时，飞机明明停在跑道的南侧停机坪上，但是在中国飞行图（Ｆlying Maps of China – FMC）上却显示飞机到了跑道的北侧。而实际跑道北侧根本就没有飞机的影子。这是什么原因造成的呢？如下我们可以看到，由于使用了不同的球面坐标系，才导致了上述差异。
为了说明上述原因，我们首先了解球面坐标系。在飞行中所涉及的有地理坐标系（即通常的经纬度坐标系，也称球面坐标系）和平面坐标系。经纬度坐标系可以确定地球上任何一点的位置。如果我们将地球看作一个椭球体，经纬网线就是加在这个椭球表面的地理坐标参照系格网。穿过椭球（或地球）自转的子午面与椭球表面的交线称为子午线或经线，其中穿过英国格林尼治天文台的子午线称为起始子午线。通过椭球旋转中心且与旋转轴垂直的赤道面与椭球（或地球）的交线称为赤道，其他与旋转轴垂直但不通过旋转中心的平面与椭球的交线称为纬线。经度是任一子午面与起始子午面的夹角，从起始子午面向东为东经，向西为西经。从椭球（或地球）上某点 做椭球的切平面，过 点做垂直于切平面的法线（显然这个法线并不过椭球或地球的中心），法线与赤道面的夹角称为纬度，赤道向北称为北纬，向南称为南纬。
由于经纬度坐标系是一种球面坐标系，而度并不是衡量长度的单位，不能用它来测量长度和面积，所以我们需要通过一定的数学方法将这样的球面坐标系投影到二维平面上，进而形成平面坐标系，也就是航图－－地图中采用的坐标系。这样我们才能对距离、面积进行测量和计算。把形状不是几何椭球体的地球进行数模化，我们可以得到用严格数学公式表示的地球数学模型－－参考椭球体。随着人们对地球的不断认识和探索，对于地球形状的数学模型也在不断改进，不同时期采用的地球数学模型造成不同时期的坐标基础不同。还有一点，对于任何一种对地球表面的平面坐标表示方法(即地图投影)都会在形状、面积、距离，或者方向上产生不同的变形，每一种投影都有其各自的适用方面。即使是同一个地球模型，不同的投影方法得到的平面坐标不尽相同。
用不同的投影方法、不同的参考椭球体模型进行距离和面积的测算所得到的结果也就不尽相同。主要原因如上所述：第一是我们所采用的地球数学模型即参考椭球体不同；第二是把地球表面－－一个曲面投影到平面的方法不同。
现在我们回到当初的问题：GPS与FMC有何不同？由于1978年以来我国一直使用参照前苏联从1953年起采用的克拉索夫斯基椭球体建立的我国1954北京坐标系，而目前杰普逊公司以及大多数国家和GPS都不是采用我们的1954北京坐标系，而是采用的WGS84坐标系（1984年国际测量大会通过的模拟地球的椭球体），它是一个地心坐标系，即以地心作为椭球体中心建立起的一个坐标体系。正因为如此，同一个点，我国的航图和使用杰普逊公司的航图查出来的坐标值往往会有些差异。
６ 球面几何和光学成象
本节我们给出球面反射规律在光学中的应用。
球面(单球面)既是一个简单的光学构造，又是组成许多光学仪器的基本部件。单球面镜只是一个圆球面的一部分．球面镜的曲率半径即为该圆球面的球半径，圆球的中心就是作为该球面一部分的球面镜的曲率中心，球面镜只有参照光轴。任何通过曲率中心达到球面的直线都可以作为球面镜的参照光轴。直线与球面的交点称为反射镜的顶点，球面镜曲率中心和顶点的连线就称作球面镜的轴，如图（１）所示： 为一球面． 为曲率中心， 为顶点． 为球面( )的轴。
图（１） 凸球面镜 图（２） 凹透镜、主焦点 和焦点距
一般光学系统成象的基础是光在球面上的反射和折射。为了了解光系统的成象规律，我们就来看看球面反射和光学成象的关系。
平行于球面轴的光线投射到镜面时，必然发生反射，对于凹面镜，反射光线将向主轴上一点会聚（图（２）），凹面镜从顶点 到主焦点 的方向和反向线行进方向一致；对于凸面镜，反射光线将成为发散光线而背离主轴，反射光线的反向延长线必同主光轴交于一点 ，其顶点 到主焦点 的方向和反射光线的行进方向相反。如下就是光学成象中普遍适用的球面反射规律：
（１） 平行于主光轴的近轴入射光线，经球面反射后，其反射光线通过主焦点；
（２） 过主焦点的入射光线，经球面反射后，其反射光线和主光轴平行；
（３） 通过或指向球面曲率中心的入射光线，在投射到球面后，其反射光线沿原方向返回；
（４） 过反射镜顶点的入射光线，其反射光线位于以主光轴为法线的另一侧，反射角等于入射角。
参考文献
1 项武义. 古典几何学讲义. 北京: 科学出版社, 1983
2 Ｈ. 霍普夫著. 吴大任译. 整体微分几何. 北京: 科学出版社, 1987
3 陈建国. 定位与导航. 厦门航空公司, 2005
4 马文蔚. 柯景凤. 物理学. 高等教育出版社, 1981
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