http://166.111.121.20:9080/mathjournal/YYFH200003/yyfh200003009.caj.pdf
第2 卷第3 期
2000 年9 月
应用泛函分析学报
ACTA ANAL YS IS FUNCT IONAL IS A PPL ICA TA
Vo l12 No13
Sep tember, 2000
文章编号: 100921327 (2000) 0320271205
双曲复空间的拓扑结构与应用
于学刚
(通化师范学院数学物理研究所, 吉林通化 134002)
摘要: 双曲复空间与M inkow sk i 空间相对应, 具有时空方向异性的特点. 以双曲复空间为原空间, 可以抽象
出一类双曲拟、虚度量空间和多拓扑结构.
关键词: 迷向元; 虚距离; 多拓扑
中图分类号: O189111
收稿日期: 2000202- 26
基金项目: 吉林省教委科学基金资助
1 引 言
Cliffo rd (几何) 代数中, 引入一种虚单位j ( j 2= 1, j
3 = - j ) 所对应的双曲复空间H (r
o
,
jct) 与M inkow sk i 空间相对应[ 1 ]. 利用Cliffo rd (几何) 代数可以讨论近代物理学的有关内
容. 近几年, 在相对论、量子力学、D irac 旋量以及场论等领域都有与Cliffo rd 代数相关的讨
论[ 2 ].
双曲复空间H (r
o
, jct) 由拟光区. 和拟时区(及拟空区)C 构成:
H = C ∪ . (1)
. 为连续迷向区, 物理上对应静质量为零的光量子和各种场; C 在拟时区对应静质量为m 0
的实物粒子. 利用双曲复数的性质在M inkow sk i 空间如能刻划. 的邻近关系和局域性质,
以及找出. 和C 的几何关联, 可以为粒子和场的耦合提供一种新的数学工具.
2 双曲复空间的方向奇异性
双曲复空间为非欧几何空间, 具有方向异性的特点.
定义1 双曲复空间H 中, 对PX ∈C, H∈. , n∈R , R 为实域. 则形如nX 的元素称
为同类元, 形如nH的元素称为同类迷向元.
双曲复空间具有如下性质:
性质1 若H
n、Hm
∈. , 且为同类迷向元, 则: H
n - H
m ∈. , 亦为同类迷向元.
性质2 若X n、X m ∈C, 且为同类元, 则X n- X m ∈C, 亦为同类元.
性质3 H 为平直空间, C i
< C 为连通区域, PX n、X m ∈C i, 如:
X n - X m = nH∈ . (2)
则连接X n , X m 的直线平行或垂直. . 如:
X n - X m = X k ∈ C (3)
则连接X n、X m 的直线不平行且不垂直. .
例1 如图1, 在二维双曲复空间C2 中, 取X 1= 2+ 6j , X 2= 1+ 5j , X 3= 3+ 5j , X 4= 3
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
图1
+ 7j , X 5= 1+ 7j. 则X 1、X 2 及X 4 的连线平行于.
1,
X 1、X 3 及X 5 的连线垂直于.
1. 有关系: X 1- X 2= 1+ j
∈.
1, X 1 - X 3= - 1+ j ∈.
2, X 1 - X 4= - 1- j ∈.
3,
X 1- X 5= 1- j ∈.
4.
由此可见, 双曲复空间与传统的复Euclidean 空间
不同, 它具有时空方向异性的特点, 这个特点揭示了双
曲复空间C 区域和. 区域的内在关联. 由(2) 式, . 中
任一时空元素均可用C 中两个沿特定方位的时空元素
的代数差来表示, 所以具有连续奇点的迷向区域一些性
质匀可转移到无奇点的C 区域去讨论, 从而可以形成一
套与C 区域相关联的描述. 区域性质的系统理论.
3 双曲度量空间
在四维双曲复空间可引入双曲四元数[ 3 ]:
X L = r
o
+ j ct (4)
P L = p
t
+ j
E
c
(5)
X L 和P L 具有复数和向量的双重性质. 对(4) 和(5) 分别取内积:
- X
3
L X L = c2 t2 - r2 = M 2 (6)
- P
3
L P L = E 2
c2 - p 2 = m 20
c2 (7)
(6) 对应四维坐标空间的时空间隔, (7) 对应四维动量空间的能量动量关系式. M 2、m 20
c2 均
为不随坐标变换而改变的不变量. 当M = m 0= 0, 在双曲复空间对应. 区域. 参照(6) 和
(7) 在双曲复空间可抽象出一类双曲半拟距度量空间.
定义2 H = C∪. 为双曲复空间, 取双变量实值函数Q∶H ×H →R , 使得:
(1) Q(X , Y ) ≥0, 且Q(X , Y ) = 0, 当且仅当X - Y ∈. .
(2) Q(X , Y ) = Q(Y , X ) , 则H 与Q在一起称为一个双曲半拟距度量空间, 记为(h, Q).
由于双曲复空间具有奇异性质, 一般情况在同一连通区域C i 中, 三个元素X 、Y、Z , 并
不满足三角关系式:
Q(X , Y ) ≤ Q(Y , Z ) + Q(X , Z ) (8)
但X 、Y、Z 为同类元时, 满足(8). 将(8) 并入定义2 中, 构成双曲拟距度量空间, Q称拟距
离.
显然, 利用拟距度量空间不能刻划. 区域的邻近关系和局域性质. 为了刻划. 区域的
邻近关系, 利用(2) 式可抽象出一类虚距度量空间.
定义3 在拟距度量空间(h, Q) 中, 当Q= 0, 对应. , 取双变量实值函数d ∶. ×. →R ,
满足:
1) d (X , Y ) ≥0, 且d (X , Y ) = 0, 当且仅当X - Y = 0
2) d (X , Y ) = d (Y , X )
3) d (X , Y ) ≤d (Y , Z ) + d (X , Z )
272 应 用 泛 函 分 析 学 报第2 卷
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
则称d (X , Y ) 为X 与Y 之间的双曲虚距离, 而. 与d 在一起称为一个双曲虚距空间, 记为
( l, d ).
在(2) 式中取d = ûnû , 满足定义3, 为双曲复空间的虚距离.
物理中, 光干涉条件可写作:
rn - rm = nK (9)
其中rn , rm ∈C, K∈. , n∈R , 当n= 0, ±1, ⋯, 为干涉时光强最大的点; n= ± 1
2
, ± 3
2
, ⋯, 为
干涉时光强最小的点. (9) 式中ûnû可看作虚距离.
量子力学中, 能级跃迁公式:
E n - Em = n ¶X (n = 0, ± 1, ⋯) (10)
其中E n , Em ∈C, X∈. , n¶ ∈R , 可取ûnû¶ 为虚距离.
4 双曲复空间的拓扑结构
由双曲复域H 的拟距度量空间(h, Q) 和虚距度量空间( l, d ) , 可抽象出一类双曲多拓扑
空间.
定义4 H 为双曲复域, 取PX 、X 0∈H , 如果有:
1) 对应h, E为一正数, 满足0< Q(X , X 0) < E的点X 的集合;
2) h 中, 满足Q(X , X 0) = 0; 对应l, 取正数D, 满足d (X , X 0) < D 的点X 的集合; 则称
点X 0 的, 对应h 和l 中的拟、虚邻域, 记作:U = [ (X 0, E, D) ûh: 0≤Q(X , X 0) < E; l: 0< d (X ,
X 0) < D].
H 中由定义4 可给出三类拟、虚邻域.
第一类邻域: . 中, 满足Q(X , X 0) = 0, d (X , X 0) < D的点X 的集合, 是. 对应l 的虚邻域.
第二类邻域: C 中, 满足Q(X , X 0) = 0, d (X , X 0) < D的点X 的集合, 是C 对应l 的虚邻域.
第三类邻域: C 中, 满足0< Q(X , X 0) < E的点X 的集合, 是C 对应h 的拟邻域.
图2
定义5 C 区域, 集合S 1= {X ûX , X 0∈C, Q(X , X 0) =
0, d (X , X 0) < D}; S 2= {X ûX , X 0∈C, Q(X , X 0) < E}, 如存
在S = S 1∪S 2, 称C 中X 0 为中心, 对应h 中E为拟半径, l
中D为虚半径的拟虚开球.
图2 对应C 中二维拟、虚开球.
在双曲复域H 中可引入五类开集, 且分别构成一个
同类拓扑空间.
定义6 设子集U 1
< .
1, 如对PX n、X m ∈U 1, 在h 中
Q(X n , X m ) = 0, l 中d (X n , X m ) > 0, 使得B 1 (X n , d ) < U 1, 称
U 1 为H 第一类开集, {U 1}为第一类开集族.
定义7 设子集U 2
< . Ê , 如对PX n、X m ∈U 2, 在h 中
Q(X n , X m ) = 0, l 中d (X n , X m ) > 0; 使得B 2 (X n , d ) < U 2, 称U 2 为第二类开集, {U 2}为第二类
开集族.
定义8 设子集U 3
< C, 如对PX n、X m ∈U 3, 且经过X n 与X m 两点的直线平行. É (或
垂直. Ê ) , 在h 中Q(X n , X m ) = 0, l 中d (X n , X m ) > 0, 使得B 3 (X n , d ) < U 3, 则称U 3 为H 的
第3 期于学刚: 双曲复空间的拓扑结构与应用273
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第三类开集, {U 3}为第三类开集族.
定义9 设子集U 4
< C, 如对PX n、X m ∈U 4, 且经过X n、X m 两点直线平行. Ê (或垂直
. É ) , 在h 中Q(X n , X m ) = 0, l 中d (X n , X m ) > 0, 使得B 4 (X n , d ) < U 4, 则称U 4 为H 第四类开
集, {U 4}为第四类开集族.
定义10 设子集U 5= C, 如对PX n、X m ∈U 5, 在h 中Q(X n , X m ) > 0, 使得B 5 (X n , Q) <
U 5, 则称U 5 为H 第五类开集, {U 5}为第五类开集族.
定义11 设S 是H 中一个同类开集, S是S 一个同类子集族, 其中成员叫作S 的同类
开集, 如S满足下列三个条件, 它就叫集合S 的一个同类拓扑.
1) S 与<是同类开集, <为空集
2) 两个同类开集的交是一个同类开集
3) 任意个同类开集的并是同类开集
集合S 与S在一起叫H 的一个同类拓扑空间.
显然, H 构成多拓扑空间, 称H —拓扑, 记作(H , S). 由于五类拓扑在拟距空间和虚距
空间中分别是可度量化的, 所以可引入不同类的拓扑基和集族, 并分别讨论它们的拓扑性质.
5 拓扑分类和应用
在四维双曲复空间, 按各类拓扑在物理上的应用, 可命名(. É , S
1) , (. Ê , S
2) 分别为逆
丛场拓扑和协丛场拓扑, 适用于电磁场理论; (C, S
3)、(C, S
4) 分别命名为逆丛场粒子拓扑和
协丛场粒子拓扑, 适用于粒子和场的耦合; (C, S
5) 命名为粒子拓扑, 适用于一般质点系粒子.
场拓扑和场粒子拓扑, 在现代物理中有广泛的应用. 80 年代, 弗尔德曼已注意到四维
空间和其他维空间有着本质上的区别, 是它不具有某种“光滑性”的特点. 提出四维空间拓
扑学中至少有两种微分结构, 并预测它可能是某些深刻而重要的物理原理的反映[ 4 ].
注意到例1 中, X 1- X 2 和X 1- X 5 相互垂直, 并具有相互复共轭关系. 在双曲复空间相
互复共轭的两个元素可分别引入逆变和协变微分算符[ 5 ]:
□ =
5
5X L
= ¨ + j
1
c
5
5t
□3 =
5
5X
L = ¨ - j
1
c
5
5t
(11)
作内积可给出L ap lace 算符:
□2 = □3 □ = ¨ 2 -
1
c2
52
5t2 (12)
也就是说, 在C 区域任一时空点两个特定方位(相互垂直) 进行微分, 对应两种不同的微分
算符, 这与传统的Euclidean 空间具有本质上的区别.
在二维双曲复空间, 由(2)、(4) 及(5) 式, 取:
△X L = △x + j c△t = nH (13)
△P L = △p + j
△E
c
= nU (14)
其中H、U∈. , 取:
H=
K
2P+ j
K
2P (15)
274 应 用 泛 函 分 析 学 报第2 卷
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U= h
K + j
h
K (16)
将(13)、(14) 取内积, 有:
△X
3
L △P L = △P
3
L △X L = H3 U= U3 H= 0 (17)
(17) 式展开, 对应分量形式:
△x △p = n¶ (18)
△t△E = n¶ (19)
△p = △E
c
= n
h
K (20)
△x = c△t = n
K
2P (21)
△E = n¶X (22)
(21) 式与(9) 式相对应, (22) 式与(10) 式相对应. (18) 式至(22) 式均为(2) 式的分量形式.
可见, 双曲虚距度量空间和场粒子拓扑可用于讨论量子力学的物理问题.
参考文献:
[ 1 ] BaylisW illian E. Cliffo rd (geometric) A lgebrasw ith App lications to Physics, M athematics and Engineering[M ].
Birkh user, 1996.
[ 2 ] W h ite H, L logd R. Gauge field theo ries on Cliffo rd algebras[J ]. L etters inM athematical Physics, 1997, 41: 349
～ 370.
[ 3 ] 于学刚, 于学钎1 双曲复函与相对论[J ]1 数学物理学报, 1995, 15 (4) : 435～ 441.
[ 4 ] 周仲良(译) 1 美国数学的现在和未来[M ]1 上海: 复旦大学出版社, 19861
[ 5 ] 于学刚1 双曲型L agrangian 函数[J ]1 应用数学和力学, 1998, 19 (12) : 1094～ 1100.
Topolog ical Structure and Appl ication of Hyperbol ic
Complex Spaces
YU Xue2gang
R esearch Institu te of M ath2P hy sics, T ong hua T eachers Colleg e, T ong hua 134002, Ch ina
Abstract: The hyperbo lic comp lex space co rresponds w ith M inkow sk i space, and it has characteristic
wh ich the time2space direction is different in nautre. Regarding the hyperbo lic comp lex spaces as o riginal
spaces, we can abstract a class of the hyperbo lic quasi2imaginary distance metric spaces and multi2topo logy
structure.
Key words: iso trop ic element; imaginary distance; multitopo logy
CLC number: O 189111
第3 期于学刚: 双曲复空间的拓扑结构与应用275
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Vo l12 No13
Sep tember, 2000
文章编号: 100921327 (2000) 0320271205
双曲复空间的拓扑结构与应用
于学刚
(通化师范学院数学物理研究所, 吉林通化 134002)
摘要: 双曲复空间与M inkow sk i 空间相对应, 具有时空方向异性的特点. 以双曲复空间为原空间, 可以抽象
出一类双曲拟、虚度量空间和多拓扑结构.
关键词: 迷向元; 虚距离; 多拓扑
中图分类号: O189111
收稿日期: 2000202- 26
基金项目: 吉林省教委科学基金资助
1 引 言
Cliffo rd (几何) 代数中, 引入一种虚单位j ( j 2= 1, j
3 = - j ) 所对应的双曲复空间H (r
o
,
jct) 与M inkow sk i 空间相对应[ 1 ]. 利用Cliffo rd (几何) 代数可以讨论近代物理学的有关内
容. 近几年, 在相对论、量子力学、D irac 旋量以及场论等领域都有与Cliffo rd 代数相关的讨
论[ 2 ].
双曲复空间H (r
o
, jct) 由拟光区. 和拟时区(及拟空区)C 构成:
H = C ∪ . (1)
. 为连续迷向区, 物理上对应静质量为零的光量子和各种场; C 在拟时区对应静质量为m 0
的实物粒子. 利用双曲复数的性质在M inkow sk i 空间如能刻划. 的邻近关系和局域性质,
以及找出. 和C 的几何关联, 可以为粒子和场的耦合提供一种新的数学工具.
2 双曲复空间的方向奇异性
双曲复空间为非欧几何空间, 具有方向异性的特点.
定义1 双曲复空间H 中, 对PX ∈C, H∈. , n∈R , R 为实域. 则形如nX 的元素称
为同类元, 形如nH的元素称为同类迷向元.
双曲复空间具有如下性质:
性质1 若H
n、Hm
∈. , 且为同类迷向元, 则: H
n - H
m ∈. , 亦为同类迷向元.
性质2 若X n、X m ∈C, 且为同类元, 则X n- X m ∈C, 亦为同类元.
性质3 H 为平直空间, C i
< C 为连通区域, PX n、X m ∈C i, 如:
X n - X m = nH∈ . (2)
则连接X n , X m 的直线平行或垂直. . 如:
X n - X m = X k ∈ C (3)
则连接X n、X m 的直线不平行且不垂直. .
例1 如图1, 在二维双曲复空间C2 中, 取X 1= 2+ 6j , X 2= 1+ 5j , X 3= 3+ 5j , X 4= 3
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
图1
+ 7j , X 5= 1+ 7j. 则X 1、X 2 及X 4 的连线平行于.
1,
X 1、X 3 及X 5 的连线垂直于.
1. 有关系: X 1- X 2= 1+ j
∈.
1, X 1 - X 3= - 1+ j ∈.
2, X 1 - X 4= - 1- j ∈.
3,
X 1- X 5= 1- j ∈.
4.
由此可见, 双曲复空间与传统的复Euclidean 空间
不同, 它具有时空方向异性的特点, 这个特点揭示了双
曲复空间C 区域和. 区域的内在关联. 由(2) 式, . 中
任一时空元素均可用C 中两个沿特定方位的时空元素
的代数差来表示, 所以具有连续奇点的迷向区域一些性
质匀可转移到无奇点的C 区域去讨论, 从而可以形成一
套与C 区域相关联的描述. 区域性质的系统理论.
3 双曲度量空间
在四维双曲复空间可引入双曲四元数[ 3 ]:
X L = r
o
+ j ct (4)
P L = p
t
+ j
E
c
(5)
X L 和P L 具有复数和向量的双重性质. 对(4) 和(5) 分别取内积:
- X
3
L X L = c2 t2 - r2 = M 2 (6)
- P
3
L P L = E 2
c2 - p 2 = m 20
c2 (7)
(6) 对应四维坐标空间的时空间隔, (7) 对应四维动量空间的能量动量关系式. M 2、m 20
c2 均
为不随坐标变换而改变的不变量. 当M = m 0= 0, 在双曲复空间对应. 区域. 参照(6) 和
(7) 在双曲复空间可抽象出一类双曲半拟距度量空间.
定义2 H = C∪. 为双曲复空间, 取双变量实值函数Q∶H ×H →R , 使得:
(1) Q(X , Y ) ≥0, 且Q(X , Y ) = 0, 当且仅当X - Y ∈. .
(2) Q(X , Y ) = Q(Y , X ) , 则H 与Q在一起称为一个双曲半拟距度量空间, 记为(h, Q).
由于双曲复空间具有奇异性质, 一般情况在同一连通区域C i 中, 三个元素X 、Y、Z , 并
不满足三角关系式:
Q(X , Y ) ≤ Q(Y , Z ) + Q(X , Z ) (8)
但X 、Y、Z 为同类元时, 满足(8). 将(8) 并入定义2 中, 构成双曲拟距度量空间, Q称拟距
离.
显然, 利用拟距度量空间不能刻划. 区域的邻近关系和局域性质. 为了刻划. 区域的
邻近关系, 利用(2) 式可抽象出一类虚距度量空间.
定义3 在拟距度量空间(h, Q) 中, 当Q= 0, 对应. , 取双变量实值函数d ∶. ×. →R ,
满足:
1) d (X , Y ) ≥0, 且d (X , Y ) = 0, 当且仅当X - Y = 0
2) d (X , Y ) = d (Y , X )
3) d (X , Y ) ≤d (Y , Z ) + d (X , Z )
272 应 用 泛 函 分 析 学 报第2 卷
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则称d (X , Y ) 为X 与Y 之间的双曲虚距离, 而. 与d 在一起称为一个双曲虚距空间, 记为
( l, d ).
在(2) 式中取d = ûnû , 满足定义3, 为双曲复空间的虚距离.
物理中, 光干涉条件可写作:
rn - rm = nK (9)
其中rn , rm ∈C, K∈. , n∈R , 当n= 0, ±1, ⋯, 为干涉时光强最大的点; n= ± 1
2
, ± 3
2
, ⋯, 为
干涉时光强最小的点. (9) 式中ûnû可看作虚距离.
量子力学中, 能级跃迁公式:
E n - Em = n ¶X (n = 0, ± 1, ⋯) (10)
其中E n , Em ∈C, X∈. , n¶ ∈R , 可取ûnû¶ 为虚距离.
4 双曲复空间的拓扑结构
由双曲复域H 的拟距度量空间(h, Q) 和虚距度量空间( l, d ) , 可抽象出一类双曲多拓扑
空间.
定义4 H 为双曲复域, 取PX 、X 0∈H , 如果有:
1) 对应h, E为一正数, 满足0< Q(X , X 0) < E的点X 的集合;
2) h 中, 满足Q(X , X 0) = 0; 对应l, 取正数D, 满足d (X , X 0) < D 的点X 的集合; 则称
点X 0 的, 对应h 和l 中的拟、虚邻域, 记作:U = [ (X 0, E, D) ûh: 0≤Q(X , X 0) < E; l: 0< d (X ,
X 0) < D].
H 中由定义4 可给出三类拟、虚邻域.
第一类邻域: . 中, 满足Q(X , X 0) = 0, d (X , X 0) < D的点X 的集合, 是. 对应l 的虚邻域.
第二类邻域: C 中, 满足Q(X , X 0) = 0, d (X , X 0) < D的点X 的集合, 是C 对应l 的虚邻域.
第三类邻域: C 中, 满足0< Q(X , X 0) < E的点X 的集合, 是C 对应h 的拟邻域.
图2
定义5 C 区域, 集合S 1= {X ûX , X 0∈C, Q(X , X 0) =
0, d (X , X 0) < D}; S 2= {X ûX , X 0∈C, Q(X , X 0) < E}, 如存
在S = S 1∪S 2, 称C 中X 0 为中心, 对应h 中E为拟半径, l
中D为虚半径的拟虚开球.
图2 对应C 中二维拟、虚开球.
在双曲复域H 中可引入五类开集, 且分别构成一个
同类拓扑空间.
定义6 设子集U 1
< .
1, 如对PX n、X m ∈U 1, 在h 中
Q(X n , X m ) = 0, l 中d (X n , X m ) > 0, 使得B 1 (X n , d ) < U 1, 称
U 1 为H 第一类开集, {U 1}为第一类开集族.
定义7 设子集U 2
< . Ê , 如对PX n、X m ∈U 2, 在h 中
Q(X n , X m ) = 0, l 中d (X n , X m ) > 0; 使得B 2 (X n , d ) < U 2, 称U 2 为第二类开集, {U 2}为第二类
开集族.
定义8 设子集U 3
< C, 如对PX n、X m ∈U 3, 且经过X n 与X m 两点的直线平行. É (或
垂直. Ê ) , 在h 中Q(X n , X m ) = 0, l 中d (X n , X m ) > 0, 使得B 3 (X n , d ) < U 3, 则称U 3 为H 的
第3 期于学刚: 双曲复空间的拓扑结构与应用273
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第三类开集, {U 3}为第三类开集族.
定义9 设子集U 4
< C, 如对PX n、X m ∈U 4, 且经过X n、X m 两点直线平行. Ê (或垂直
. É ) , 在h 中Q(X n , X m ) = 0, l 中d (X n , X m ) > 0, 使得B 4 (X n , d ) < U 4, 则称U 4 为H 第四类开
集, {U 4}为第四类开集族.
定义10 设子集U 5= C, 如对PX n、X m ∈U 5, 在h 中Q(X n , X m ) > 0, 使得B 5 (X n , Q) <
U 5, 则称U 5 为H 第五类开集, {U 5}为第五类开集族.
定义11 设S 是H 中一个同类开集, S是S 一个同类子集族, 其中成员叫作S 的同类
开集, 如S满足下列三个条件, 它就叫集合S 的一个同类拓扑.
1) S 与<是同类开集, <为空集
2) 两个同类开集的交是一个同类开集
3) 任意个同类开集的并是同类开集
集合S 与S在一起叫H 的一个同类拓扑空间.
显然, H 构成多拓扑空间, 称H —拓扑, 记作(H , S). 由于五类拓扑在拟距空间和虚距
空间中分别是可度量化的, 所以可引入不同类的拓扑基和集族, 并分别讨论它们的拓扑性质.
5 拓扑分类和应用
在四维双曲复空间, 按各类拓扑在物理上的应用, 可命名(. É , S
1) , (. Ê , S
2) 分别为逆
丛场拓扑和协丛场拓扑, 适用于电磁场理论; (C, S
3)、(C, S
4) 分别命名为逆丛场粒子拓扑和
协丛场粒子拓扑, 适用于粒子和场的耦合; (C, S
5) 命名为粒子拓扑, 适用于一般质点系粒子.
场拓扑和场粒子拓扑, 在现代物理中有广泛的应用. 80 年代, 弗尔德曼已注意到四维
空间和其他维空间有着本质上的区别, 是它不具有某种“光滑性”的特点. 提出四维空间拓
扑学中至少有两种微分结构, 并预测它可能是某些深刻而重要的物理原理的反映[ 4 ].
注意到例1 中, X 1- X 2 和X 1- X 5 相互垂直, 并具有相互复共轭关系. 在双曲复空间相
互复共轭的两个元素可分别引入逆变和协变微分算符[ 5 ]:
□ =
5
5X L
= ¨ + j
1
c
5
5t
□3 =
5
5X
L = ¨ - j
1
c
5
5t
(11)
作内积可给出L ap lace 算符:
□2 = □3 □ = ¨ 2 -
1
c2
52
5t2 (12)
也就是说, 在C 区域任一时空点两个特定方位(相互垂直) 进行微分, 对应两种不同的微分
算符, 这与传统的Euclidean 空间具有本质上的区别.
在二维双曲复空间, 由(2)、(4) 及(5) 式, 取:
△X L = △x + j c△t = nH (13)
△P L = △p + j
△E
c
= nU (14)
其中H、U∈. , 取:
H=
K
2P+ j
K
2P (15)
274 应 用 泛 函 分 析 学 报第2 卷
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U= h
K + j
h
K (16)
将(13)、(14) 取内积, 有:
△X
3
L △P L = △P
3
L △X L = H3 U= U3 H= 0 (17)
(17) 式展开, 对应分量形式:
△x △p = n¶ (18)
△t△E = n¶ (19)
△p = △E
c
= n
h
K (20)
△x = c△t = n
K
2P (21)
△E = n¶X (22)
(21) 式与(9) 式相对应, (22) 式与(10) 式相对应. (18) 式至(22) 式均为(2) 式的分量形式.
可见, 双曲虚距度量空间和场粒子拓扑可用于讨论量子力学的物理问题.
参考文献:
[ 1 ] BaylisW illian E. Cliffo rd (geometric) A lgebrasw ith App lications to Physics, M athematics and Engineering[M ].
Birkh user, 1996.
[ 2 ] W h ite H, L logd R. Gauge field theo ries on Cliffo rd algebras[J ]. L etters inM athematical Physics, 1997, 41: 349
～ 370.
[ 3 ] 于学刚, 于学钎1 双曲复函与相对论[J ]1 数学物理学报, 1995, 15 (4) : 435～ 441.
[ 4 ] 周仲良(译) 1 美国数学的现在和未来[M ]1 上海: 复旦大学出版社, 19861
[ 5 ] 于学刚1 双曲型L agrangian 函数[J ]1 应用数学和力学, 1998, 19 (12) : 1094～ 1100.
Topolog ical Structure and Appl ication of Hyperbol ic
Complex Spaces
YU Xue2gang
R esearch Institu te of M ath2P hy sics, T ong hua T eachers Colleg e, T ong hua 134002, Ch ina
Abstract: The hyperbo lic comp lex space co rresponds w ith M inkow sk i space, and it has characteristic
wh ich the time2space direction is different in nautre. Regarding the hyperbo lic comp lex spaces as o riginal
spaces, we can abstract a class of the hyperbo lic quasi2imaginary distance metric spaces and multi2topo logy
structure.
Key words: iso trop ic element; imaginary distance; multitopo logy
CLC number: O 189111
第3 期于学刚: 双曲复空间的拓扑结构与应用275
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