从变量数学到现代数学（续三）
作者:张顺燕（北京大学数学科学学院 北京 100871）
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5?黎曼关于几何学的假设.
第一位创建广义的新几何学体系的数学家是黎曼.他必须通过就职演讲，才能担任无报酬的哥廷根大学的讲师职位.他提交了三个题目由教授会选择，他希望他们选中前两个中的一个，这是他已经准备好了的.但是他轻率地提出的第三个题目正是高斯仔细考虑了60年或更长时间的问题——几何基础，而这个题目他没有准备.使黎曼大吃一惊的是，高斯指定第三个题目.“所以我又处在绝境中了，”他给父亲写信说，“因为我不得不作出这个题目.我恢复了对电、磁、光和引力的研究，我已经进行到可能没有丝毫怀疑地发表它.我越来越相信高斯已经在这个题目上工作了许多年，并对一些朋友谈到过它.”?
黎曼的就职演讲（1854年6月10日）得到热情接受.这篇演讲无论就数学还是就文笔来说，都是杰作.它改革了几何学的研究,并且被认为是整个数学史上篇幅最短，内容最丰富的文章.在演讲的结尾，他说，这样一种研究的价值也许在于能使我们从先入之见中解放出来，需要用某种不同于欧几里得几何学的几何学来研究物理定律的日子必将到来.这些预见在他死后五十年，由于爱因斯坦的广义相对论而实现了.?
对黎曼的简单扼要的论文的任何解释，都不能说明这篇论文的全部内涵.有三点最基本的贡献需要指出.这就是流形的概念，度量的定义和流形的曲率的概念.?
黎曼的思想后来被德国的赫姆霍尔兹和英国的克利福德解释和扩充了，从而引起人们更广泛的注意.赫姆霍尔兹得出关于我们所生活的物质空间的概念，即一个3维常曲率流形的概念.由此得出物质空间的三种可能性：曲率是正的，负的或零.曲率为零导致欧氏空间，曲率为正导致球面空间，曲率为负导致伪球面空间.这样赫姆霍尔兹成功地将罗巴切夫斯基的非欧几何置于黎曼假设的前提之下.而且,球面几何同样被证明为一种平行线不存在的非欧几何.这样，两种否定欧几里得平行公设的理论均导致我们的物质空间的可能几何学.?
1876年，克利福德在一篇短文中指出，空间的有限部分确实具有零曲率，但对于空间非常小的部分，我们并不真正知道所有的空间公理是否适用.事实上，他提出了与常曲率概念相矛盾的新猜测.他写道：?
1）空间的小部分有一种类似于曲面上的小山的性质，而这曲面平均来说是平坦的.这就是说，几何学的普通定律对这些小的部分是不成立的.?
2）呈弯曲的或扭变的这种性质以波浪方式连续地从空间的一部分传到另一部分.?
3）空间曲率的这种变化，确实如我们称之为物质运动的那种现象中所发生的情况一样，不管这种物质是有重量的，还是像空气一样稀薄.?
4）在这个物理世界中，只有（可能的）遵循连续性规律的这种变化，而无其他.?
在20世纪早期，在相对论的发展中，这些思想处于中心地位.??
6?爱尔兰根纲领.
正如前面指出的，由于非欧几何的诞生，几何学从其传统的束缚中解放出来了，从而大批新的几何学诞生了.于是出现了这样的问题：什么是几何学？几何学是研究什么的？?
1872年，在受尔兰根大学哲学教授评议会上，F.克莱因按惯例作其专业领域的就职演讲.演讲以他本人和挪威数学家S.李在群论方面的工作为基础，给“几何学”下了一个著名定义.就其本质而言，是对当时存在的几何学进行了整理，并为几何学的研究开辟了新的、富有成果的途径.这个演讲连同他提倡的几何学研究的规划，已成为人们所熟悉的爱尔兰根纲领. 克莱因的基本观点是，每一种几何都由变换群所刻划，并且每种几何要做的就是考虑这个变换群下的不变量.此外，一种几何的子几何是原来变换群下的子群下的一族不变量.在这个定义下，相应于给定变换群的几何的所有定理仍然是子群中的定理.?
克莱因也提出对一一对应连续变换下具有连续逆变换的不变量进行研究.这是现在叫做同胚的一类变换，在这类变换下不变量的研究是拓扑学的主题.把拓扑学作为一门重要的几何学科，这在1872年是一个大胆的行动.
克莱因的综合与整理指引了几何思想有50年之久.?
按照克莱因的说法，存在七种相关的平面几何，其中包括欧几里得几何，双曲几何和椭圆几何.1910年英国数学家沙默维尔作了进一步细分，把平面几何的数目从七种增加到九种.?
但是，不是所有的几何都能纳入到克莱因的分类方案中的.今日的代数几何和微分几何都不能置于克莱因的方案之下.虽然克莱因的观点不能无所不包，但它确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，并提示很多可供研究的问题.?
他所强调的变换下不变的观点已经超出数学之外而进入到力学和理论物理中去了.变换下不变的物理问题，或者物理定律的表达方式不依赖于坐标系的问题，在人们注意到麦克斯韦方程在洛仑兹变换（仿射几何的四维子群）下的不变性后，在物理思想中都变得很重要.这种思想路线引向了相对论.?
回顾几何与代数的差别，我们可以这样说，?
几何学基本上是研究不变量的，而代数学基本上是研究结构的.
7?几何基础的研究.
19世纪中期，几何学研究的对象仍未超过3维.但是，越来越广泛地使用分析和代数的工具，使人们认识到，不能将几何的维数限制在3.许多数学家开始将他们的公式和理论推广到n维.格拉斯曼于1844年率先用几何观点研究n维向量空间.不幸的是，他的工作到19世纪末才受到重视.那时，皮亚诺给出了有限维向量空间的一套公理体系，为高维几何学的研究提供了基础.嘉当将格拉斯曼的研究应用到了微分流形的研究中.?
随着许多新几何学的诞生，到19世纪末，许多数学家感到，就像分析学正在做的那样，是重新构建整个几何学的根基的时候了.?
直到19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正.19世纪末，几何领域中最敏锐的思想家日益关心《几何原本》缺乏真正的严密性问题.非欧几何的创立更加激发人们去探索古典几何的正确而又完备的叙述.?
《几何原本》的主要缺陷是什么呢？?
首先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义.有的不过是几何对象，如点，线，面等的一种直观描述，有的含混不清.这些定义在后面的论证中实际上是无用的.?
其次，欧几里得的公设和公理是远不够用的.因而在《几何原本》许多命题的论证中不得不借助直观，或者或明或暗地引用了他的公设或公理无法证明的东西.例如，公设2)断定直线可被无限延长，但是它不一定意味着直线是无限长的，而只意味着，它是无端的，或无界的.连接球面上两点的大圆的弧可沿着大圆无限延长，但它不是无限长的.德国数学家黎曼在1854年所作的著名演讲“关于几何学基础的假定”中区别了直线的无界和无限长，而成为黎曼几何诞生的起点.?
19世纪末期，德国数学家D.希尔伯特于1889年发表了《几何基础》.书中成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，这就是希尔伯特公理体系.他从叙述21条公理开始，其中涉及6个本原的或不定义的术语，即作为元素的点，直线和平面，以及它们之间的三种关系：“属于”，“介于”和“全等于”.他把公理分为五类，分别处理关联，顺序，全等，平行和连续性.?
§4 证明的限度
我们必须知道.我们必将知道.
希尔伯特
我们必须认识到，绝对的证明只是个目标而不是现实，是一个我们所追求，但很可能永远达不到的目标……
M.克莱因?
1?希尔伯特的梦想.
到今天为止，人类还没有证明歌德巴赫猜想，也没有证明孪生素数有无穷多对.当然还有许多其他猜想也没有被证明.我们不禁提问：这些猜想最终能被证明吗？对此，希尔伯特在1900年巴黎的著名演讲中明确表述：
“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决.”
在1925年的一篇文章中，他进一进强调了这一观点：?
“作为可以用来处理基本问题的方法的一个例子，我更乐于选取一切数学问题均可解决这样一种观点.我们都相信这一点，吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是：在我们中间常常听到这样的呼声，这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知！”
第一次世界大战后，德国数学家一直没有收到任何国际会议的邀请，1928年意大利数学家在筹备第7次国际数学家大会时，向德国数学家发出了邀请.但许多德国数学家拒绝参加，其中包括著名的直觉主义者布劳沃，尽管他是荷兰人，却狂热地支持德国的民族主义.希尔伯特毅然决定参加，他以个人名义率领由67个数学家组成的代表团出席了在意大利波伦亚举行的国际数学家大会.当希尔伯特步入会场时，霎时间，全场鸦雀无声，接着是一阵热烈的掌声，每个代表都从座位上站起来表示欢迎.他在会上作了精彩的演说，他的演说有两点具有长远意义.?
其一是，他强调国际数学家的合作精神.希尔伯特说：?
“我感到万分高兴，在一个漫长而艰难的时期以后，全世界数学家又在这里欢聚一堂.为了我们无比热爱的这门科学的繁荣，我们应该这样做，并且也只能这样做.?
应该看到，作为数学家，我们是站立在精确科学研究的高山之巅.除了义不容辞地担当起这个崇高的职责，我们别无其他选择.任何形式的限制，尤其是民族的限制，都是与数学的本质格格不入的.在科学研究中人为地制造民族的或种族的差异，是对科学极端无知的表现，其理由是不值一驳的.?
数学不分种族……对于数学家来说,整个文明世界就是一个国家.”
其二是，希尔伯特提出对一个公理化的，形式的逻辑系统应该提什么要求.他相信最终将产生出全部数学的完全公理化.?
1930年1月23日，希尔伯特到达退休年龄，荣誉象雨点似地飞来.最使他激动的是来自他的故乡——哥尼斯堡的荣誉.哥尼斯堡准备授予他“荣誉市民”的称号.在受礼仪式上，他发表了另一篇著名的演说：?
“认识自然和生命是我们崇高的任务.……逻辑科学有了显著的发展，现在公理化的方法已提供了一种对所有的科学问题进行理论处理的普遍技巧.……?
数学是调节理论和实践、思想和经验之间差异的工具.它建起了一座连通双方的桥梁并在不断地加固它.事实上，全部现代文明中有关理性认识和制服自然的部分都有赖于数学！”?
在报告的结尾，希尔伯特坚定地说了最后一句话：?
“我们必须知道.我们必将知道.”
无论从哪个角度看这都是伟大而具有决定意义的诗句.这种坚强的信念代表了绝大多数数学家的信念，但今天我们只能遗憾地称它为希尔伯特的梦想了.这梦想是如此地诱人，又如此地似真.它主要包含如下两条：?
1）每一个明确的数学问题必须能被正确的解决；
2）全部数学都能实现完全的公理化.
2?数学的公理化.
虽然古希腊人对数学作出许多贡献，但他们对此学科作出的最大贡献或许是他们用公理化方法对数学所作的整理.此后的两千年中，公理化方法没有得到进一步的发展.直到19世纪，数学发展中的三个重大事件才导致数学家们对公理化方法作深一步的研究.这就是前面提到的三个重大事件：非欧几何的发现，非交换代数的发现，以及以分析的算术化为顶峰的实数理论的建立.?
由于19世纪许多数学家的工作，公理化的方法逐渐变得清晰而精细.希尔伯特的《几何基础》对欧几里得几何公设作了通俗而又严格的发展，于1899年发表，为重建公理化方法作出了重大贡献.希尔伯特把公理化思想明确而严格地确立了下来.他对公理化提出了一些逻辑上的要求：?
1）完备性.完备性指，所有的定理都可以从这组公理中推导出来.?
完备性的要求出现得很自然，每门科学都有这一要求，因为人们总希望科学能回答一切问题，数学也不例外.负数的引进，无理数的引进，以及复数的引进都是为了满足完备性的要求.若一组公理是完备的，那么所有的定理就都能从这组公理中推导出来.要是从中去掉一个公理，一些定理将得不到证明.?
2）独立性.称一组公理中的一个公理是独立的,如果它不是其它公理的逻辑推论;整个公理组是独立的,如果它的每一个公理都是独立的.?
数学史上关于公理的独立性的最著名的研究是关于欧几里得的平行公设的研究.我们知道，最后证明欧几里得的平行公设的独立性的是罗巴切夫斯基非欧几何的发现及其相容性的证明.?
独立性的证明不是绝对必要的.一组公理显然不会因为缺少独立性而无用，但数学家们偏爱独立性，因为他们要把理论建立在最少的假定之上.一组不独立的公理集自然不满足这一要求.?
有些著名的公设集在最初发表时，人们并不知道它包含了不独立的公设.例如，希尔伯特起初为欧几里得几何安排的公设集就是如此.后来发现，这组公设集中有两条公设就蕴含在其它公设中.这两条不独立的公设的发现并没有使希尔伯特的公设失去效力，只不过把这两条公设变成定理罢了.?
3）相容性.其含义是，从这组公理出发不能推出相互矛盾的定理来.这是一组公理集的最重要、最基本的性质.没有这条性质，这组公理集就毫无价值.?
3?哥德尔的不完全性定理.
几乎在希尔伯特发表哥尼斯堡演讲的同时，有一项研究工作完成了，它的结论给希尔伯特用来告别科学生涯而宣告的特定的认识论目标以致命的一击.?
1930年11月17日，《数学物理月刊》收到一篇稿件：“论《数学原理》和有关系统中的形式不可判定命题”.论文的作者是年仅25岁的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔，他当时在维也纳大学.论文发表时并没有受到重视，但仅仅过了几年，就受到了专家们的普遍重视，被认为是数学和逻辑的基础方面的划时代文献.?
哥德尔的论文指出了公理化过程的局限性，这是人们所始料未及的.他的论文的主要影响有四个方面：
1）它摧毁了数学的所有重要领域能被完全公理化这一强烈的信念；?
2）它扑灭了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望；?
3）它使得人们不得不必须重新评价普遍认可的数学哲学；?
4）它把一个新的、强有力且内容丰富的分析技术引到了基础研究之中.?
20世纪早期公理化方法有了蓬勃的发展，人们期望，数学的各个分支都能建立完全的公设集.例如，一般认为，皮亚诺关于自然数系建立的公设集是完全的.但是，哥德尔的论文动摇了这些期望.歌德尔证明了下面的定理：?
哥德尔第一定理 对于包含自然数系的任何相容的形式体系F,存在F中的不可判定命题；即存在F中的命题S，使得S和非S都不是在F中可证的.?
由此得到，自然数系的任何公设集，如果是相容的就不是完全的.换言之，不管我们能为自然数采用什么样的相容的公设集，总存在关于自然数的命题S，使得S和非S都不能从这些公设得到证明.这可是令人吃惊的，出乎意料的发现.?
这说明数学命题的真和能够被证明是两回事了.从最本质的意义上说，哥德尔所做的就是永远粉碎了真与证明同一的信念.其绝妙之处在于，指出在给定的逻辑框架或系统中，真命题与在同一系统中使用逻辑方法实际可证明的命题之间存在着不可逾越的鸿沟.?
那么，有没有办法去确定一个命题是不是可判定的呢？也没有！1936年美国逻辑学家车敕证明了下面的定理：?
车敕定理 对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，不存在有效的方法，决定F中的哪些命题在F中是可证的.?
这真是使人失望.?
希尔伯特一直想证明数学的内部相容性，但这也无望解决，因为哥德尔还证明了下面的定理：?
哥德尔第二定理 对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明.[JP]?
由此得到，在F的不可判定问题中，F的相容性就是其中的一个.希尔伯特原来的希望是彻底破灭了.?
哥德尔的两条定理指出，任何一个数学分支都做不到完全的公理推演，而且没有一个数学分支能保证自己没有内部矛盾.这真是使数学难堪，数学的真理性又何在呢？?
哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中最重要的定理之一.人类对于宇宙和数学地位的认识被迫作出了根本性的改变.数学不再是精确论证的顶峰，不再是真理的化身，数学有它自己的局限性.?
撇开这些局限性不谈，数学对人类的贡献仍然是巨大的.它是人类最杰出的智慧结晶，也是人类最富创造性的产物.
作者:张顺燕（北京大学数学科学学院 北京 100871）
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5?黎曼关于几何学的假设.
第一位创建广义的新几何学体系的数学家是黎曼.他必须通过就职演讲，才能担任无报酬的哥廷根大学的讲师职位.他提交了三个题目由教授会选择，他希望他们选中前两个中的一个，这是他已经准备好了的.但是他轻率地提出的第三个题目正是高斯仔细考虑了60年或更长时间的问题——几何基础，而这个题目他没有准备.使黎曼大吃一惊的是，高斯指定第三个题目.“所以我又处在绝境中了，”他给父亲写信说，“因为我不得不作出这个题目.我恢复了对电、磁、光和引力的研究，我已经进行到可能没有丝毫怀疑地发表它.我越来越相信高斯已经在这个题目上工作了许多年，并对一些朋友谈到过它.”?
黎曼的就职演讲（1854年6月10日）得到热情接受.这篇演讲无论就数学还是就文笔来说，都是杰作.它改革了几何学的研究,并且被认为是整个数学史上篇幅最短，内容最丰富的文章.在演讲的结尾，他说，这样一种研究的价值也许在于能使我们从先入之见中解放出来，需要用某种不同于欧几里得几何学的几何学来研究物理定律的日子必将到来.这些预见在他死后五十年，由于爱因斯坦的广义相对论而实现了.?
对黎曼的简单扼要的论文的任何解释，都不能说明这篇论文的全部内涵.有三点最基本的贡献需要指出.这就是流形的概念，度量的定义和流形的曲率的概念.?
黎曼的思想后来被德国的赫姆霍尔兹和英国的克利福德解释和扩充了，从而引起人们更广泛的注意.赫姆霍尔兹得出关于我们所生活的物质空间的概念，即一个3维常曲率流形的概念.由此得出物质空间的三种可能性：曲率是正的，负的或零.曲率为零导致欧氏空间，曲率为正导致球面空间，曲率为负导致伪球面空间.这样赫姆霍尔兹成功地将罗巴切夫斯基的非欧几何置于黎曼假设的前提之下.而且,球面几何同样被证明为一种平行线不存在的非欧几何.这样，两种否定欧几里得平行公设的理论均导致我们的物质空间的可能几何学.?
1876年，克利福德在一篇短文中指出，空间的有限部分确实具有零曲率，但对于空间非常小的部分，我们并不真正知道所有的空间公理是否适用.事实上，他提出了与常曲率概念相矛盾的新猜测.他写道：?
1）空间的小部分有一种类似于曲面上的小山的性质，而这曲面平均来说是平坦的.这就是说，几何学的普通定律对这些小的部分是不成立的.?
2）呈弯曲的或扭变的这种性质以波浪方式连续地从空间的一部分传到另一部分.?
3）空间曲率的这种变化，确实如我们称之为物质运动的那种现象中所发生的情况一样，不管这种物质是有重量的，还是像空气一样稀薄.?
4）在这个物理世界中，只有（可能的）遵循连续性规律的这种变化，而无其他.?
在20世纪早期，在相对论的发展中，这些思想处于中心地位.??
6?爱尔兰根纲领.
正如前面指出的，由于非欧几何的诞生，几何学从其传统的束缚中解放出来了，从而大批新的几何学诞生了.于是出现了这样的问题：什么是几何学？几何学是研究什么的？?
1872年，在受尔兰根大学哲学教授评议会上，F.克莱因按惯例作其专业领域的就职演讲.演讲以他本人和挪威数学家S.李在群论方面的工作为基础，给“几何学”下了一个著名定义.就其本质而言，是对当时存在的几何学进行了整理，并为几何学的研究开辟了新的、富有成果的途径.这个演讲连同他提倡的几何学研究的规划，已成为人们所熟悉的爱尔兰根纲领. 克莱因的基本观点是，每一种几何都由变换群所刻划，并且每种几何要做的就是考虑这个变换群下的不变量.此外，一种几何的子几何是原来变换群下的子群下的一族不变量.在这个定义下，相应于给定变换群的几何的所有定理仍然是子群中的定理.?
克莱因也提出对一一对应连续变换下具有连续逆变换的不变量进行研究.这是现在叫做同胚的一类变换，在这类变换下不变量的研究是拓扑学的主题.把拓扑学作为一门重要的几何学科，这在1872年是一个大胆的行动.
克莱因的综合与整理指引了几何思想有50年之久.?
按照克莱因的说法，存在七种相关的平面几何，其中包括欧几里得几何，双曲几何和椭圆几何.1910年英国数学家沙默维尔作了进一步细分，把平面几何的数目从七种增加到九种.?
但是，不是所有的几何都能纳入到克莱因的分类方案中的.今日的代数几何和微分几何都不能置于克莱因的方案之下.虽然克莱因的观点不能无所不包，但它确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，并提示很多可供研究的问题.?
他所强调的变换下不变的观点已经超出数学之外而进入到力学和理论物理中去了.变换下不变的物理问题，或者物理定律的表达方式不依赖于坐标系的问题，在人们注意到麦克斯韦方程在洛仑兹变换（仿射几何的四维子群）下的不变性后，在物理思想中都变得很重要.这种思想路线引向了相对论.?
回顾几何与代数的差别，我们可以这样说，?
几何学基本上是研究不变量的，而代数学基本上是研究结构的.
7?几何基础的研究.
19世纪中期，几何学研究的对象仍未超过3维.但是，越来越广泛地使用分析和代数的工具，使人们认识到，不能将几何的维数限制在3.许多数学家开始将他们的公式和理论推广到n维.格拉斯曼于1844年率先用几何观点研究n维向量空间.不幸的是，他的工作到19世纪末才受到重视.那时，皮亚诺给出了有限维向量空间的一套公理体系，为高维几何学的研究提供了基础.嘉当将格拉斯曼的研究应用到了微分流形的研究中.?
随着许多新几何学的诞生，到19世纪末，许多数学家感到，就像分析学正在做的那样，是重新构建整个几何学的根基的时候了.?
直到19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正.19世纪末，几何领域中最敏锐的思想家日益关心《几何原本》缺乏真正的严密性问题.非欧几何的创立更加激发人们去探索古典几何的正确而又完备的叙述.?
《几何原本》的主要缺陷是什么呢？?
首先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义.有的不过是几何对象，如点，线，面等的一种直观描述，有的含混不清.这些定义在后面的论证中实际上是无用的.?
其次，欧几里得的公设和公理是远不够用的.因而在《几何原本》许多命题的论证中不得不借助直观，或者或明或暗地引用了他的公设或公理无法证明的东西.例如，公设2)断定直线可被无限延长，但是它不一定意味着直线是无限长的，而只意味着，它是无端的，或无界的.连接球面上两点的大圆的弧可沿着大圆无限延长，但它不是无限长的.德国数学家黎曼在1854年所作的著名演讲“关于几何学基础的假定”中区别了直线的无界和无限长，而成为黎曼几何诞生的起点.?
19世纪末期，德国数学家D.希尔伯特于1889年发表了《几何基础》.书中成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，这就是希尔伯特公理体系.他从叙述21条公理开始，其中涉及6个本原的或不定义的术语，即作为元素的点，直线和平面，以及它们之间的三种关系：“属于”，“介于”和“全等于”.他把公理分为五类，分别处理关联，顺序，全等，平行和连续性.?
§4 证明的限度
我们必须知道.我们必将知道.
希尔伯特
我们必须认识到，绝对的证明只是个目标而不是现实，是一个我们所追求，但很可能永远达不到的目标……
M.克莱因?
1?希尔伯特的梦想.
到今天为止，人类还没有证明歌德巴赫猜想，也没有证明孪生素数有无穷多对.当然还有许多其他猜想也没有被证明.我们不禁提问：这些猜想最终能被证明吗？对此，希尔伯特在1900年巴黎的著名演讲中明确表述：
“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决.”
在1925年的一篇文章中，他进一进强调了这一观点：?
“作为可以用来处理基本问题的方法的一个例子，我更乐于选取一切数学问题均可解决这样一种观点.我们都相信这一点，吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是：在我们中间常常听到这样的呼声，这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知！”
第一次世界大战后，德国数学家一直没有收到任何国际会议的邀请，1928年意大利数学家在筹备第7次国际数学家大会时，向德国数学家发出了邀请.但许多德国数学家拒绝参加，其中包括著名的直觉主义者布劳沃，尽管他是荷兰人，却狂热地支持德国的民族主义.希尔伯特毅然决定参加，他以个人名义率领由67个数学家组成的代表团出席了在意大利波伦亚举行的国际数学家大会.当希尔伯特步入会场时，霎时间，全场鸦雀无声，接着是一阵热烈的掌声，每个代表都从座位上站起来表示欢迎.他在会上作了精彩的演说，他的演说有两点具有长远意义.?
其一是，他强调国际数学家的合作精神.希尔伯特说：?
“我感到万分高兴，在一个漫长而艰难的时期以后，全世界数学家又在这里欢聚一堂.为了我们无比热爱的这门科学的繁荣，我们应该这样做，并且也只能这样做.?
应该看到，作为数学家，我们是站立在精确科学研究的高山之巅.除了义不容辞地担当起这个崇高的职责，我们别无其他选择.任何形式的限制，尤其是民族的限制，都是与数学的本质格格不入的.在科学研究中人为地制造民族的或种族的差异，是对科学极端无知的表现，其理由是不值一驳的.?
数学不分种族……对于数学家来说,整个文明世界就是一个国家.”
其二是，希尔伯特提出对一个公理化的，形式的逻辑系统应该提什么要求.他相信最终将产生出全部数学的完全公理化.?
1930年1月23日，希尔伯特到达退休年龄，荣誉象雨点似地飞来.最使他激动的是来自他的故乡——哥尼斯堡的荣誉.哥尼斯堡准备授予他“荣誉市民”的称号.在受礼仪式上，他发表了另一篇著名的演说：?
“认识自然和生命是我们崇高的任务.……逻辑科学有了显著的发展，现在公理化的方法已提供了一种对所有的科学问题进行理论处理的普遍技巧.……?
数学是调节理论和实践、思想和经验之间差异的工具.它建起了一座连通双方的桥梁并在不断地加固它.事实上，全部现代文明中有关理性认识和制服自然的部分都有赖于数学！”?
在报告的结尾，希尔伯特坚定地说了最后一句话：?
“我们必须知道.我们必将知道.”
无论从哪个角度看这都是伟大而具有决定意义的诗句.这种坚强的信念代表了绝大多数数学家的信念，但今天我们只能遗憾地称它为希尔伯特的梦想了.这梦想是如此地诱人，又如此地似真.它主要包含如下两条：?
1）每一个明确的数学问题必须能被正确的解决；
2）全部数学都能实现完全的公理化.
2?数学的公理化.
虽然古希腊人对数学作出许多贡献，但他们对此学科作出的最大贡献或许是他们用公理化方法对数学所作的整理.此后的两千年中，公理化方法没有得到进一步的发展.直到19世纪，数学发展中的三个重大事件才导致数学家们对公理化方法作深一步的研究.这就是前面提到的三个重大事件：非欧几何的发现，非交换代数的发现，以及以分析的算术化为顶峰的实数理论的建立.?
由于19世纪许多数学家的工作，公理化的方法逐渐变得清晰而精细.希尔伯特的《几何基础》对欧几里得几何公设作了通俗而又严格的发展，于1899年发表，为重建公理化方法作出了重大贡献.希尔伯特把公理化思想明确而严格地确立了下来.他对公理化提出了一些逻辑上的要求：?
1）完备性.完备性指，所有的定理都可以从这组公理中推导出来.?
完备性的要求出现得很自然，每门科学都有这一要求，因为人们总希望科学能回答一切问题，数学也不例外.负数的引进，无理数的引进，以及复数的引进都是为了满足完备性的要求.若一组公理是完备的，那么所有的定理就都能从这组公理中推导出来.要是从中去掉一个公理，一些定理将得不到证明.?
2）独立性.称一组公理中的一个公理是独立的,如果它不是其它公理的逻辑推论;整个公理组是独立的,如果它的每一个公理都是独立的.?
数学史上关于公理的独立性的最著名的研究是关于欧几里得的平行公设的研究.我们知道，最后证明欧几里得的平行公设的独立性的是罗巴切夫斯基非欧几何的发现及其相容性的证明.?
独立性的证明不是绝对必要的.一组公理显然不会因为缺少独立性而无用，但数学家们偏爱独立性，因为他们要把理论建立在最少的假定之上.一组不独立的公理集自然不满足这一要求.?
有些著名的公设集在最初发表时，人们并不知道它包含了不独立的公设.例如，希尔伯特起初为欧几里得几何安排的公设集就是如此.后来发现，这组公设集中有两条公设就蕴含在其它公设中.这两条不独立的公设的发现并没有使希尔伯特的公设失去效力，只不过把这两条公设变成定理罢了.?
3）相容性.其含义是，从这组公理出发不能推出相互矛盾的定理来.这是一组公理集的最重要、最基本的性质.没有这条性质，这组公理集就毫无价值.?
3?哥德尔的不完全性定理.
几乎在希尔伯特发表哥尼斯堡演讲的同时，有一项研究工作完成了，它的结论给希尔伯特用来告别科学生涯而宣告的特定的认识论目标以致命的一击.?
1930年11月17日，《数学物理月刊》收到一篇稿件：“论《数学原理》和有关系统中的形式不可判定命题”.论文的作者是年仅25岁的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔，他当时在维也纳大学.论文发表时并没有受到重视，但仅仅过了几年，就受到了专家们的普遍重视，被认为是数学和逻辑的基础方面的划时代文献.?
哥德尔的论文指出了公理化过程的局限性，这是人们所始料未及的.他的论文的主要影响有四个方面：
1）它摧毁了数学的所有重要领域能被完全公理化这一强烈的信念；?
2）它扑灭了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望；?
3）它使得人们不得不必须重新评价普遍认可的数学哲学；?
4）它把一个新的、强有力且内容丰富的分析技术引到了基础研究之中.?
20世纪早期公理化方法有了蓬勃的发展，人们期望，数学的各个分支都能建立完全的公设集.例如，一般认为，皮亚诺关于自然数系建立的公设集是完全的.但是，哥德尔的论文动摇了这些期望.歌德尔证明了下面的定理：?
哥德尔第一定理 对于包含自然数系的任何相容的形式体系F,存在F中的不可判定命题；即存在F中的命题S，使得S和非S都不是在F中可证的.?
由此得到，自然数系的任何公设集，如果是相容的就不是完全的.换言之，不管我们能为自然数采用什么样的相容的公设集，总存在关于自然数的命题S，使得S和非S都不能从这些公设得到证明.这可是令人吃惊的，出乎意料的发现.?
这说明数学命题的真和能够被证明是两回事了.从最本质的意义上说，哥德尔所做的就是永远粉碎了真与证明同一的信念.其绝妙之处在于，指出在给定的逻辑框架或系统中，真命题与在同一系统中使用逻辑方法实际可证明的命题之间存在着不可逾越的鸿沟.?
那么，有没有办法去确定一个命题是不是可判定的呢？也没有！1936年美国逻辑学家车敕证明了下面的定理：?
车敕定理 对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，不存在有效的方法，决定F中的哪些命题在F中是可证的.?
这真是使人失望.?
希尔伯特一直想证明数学的内部相容性，但这也无望解决，因为哥德尔还证明了下面的定理：?
哥德尔第二定理 对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明.[JP]?
由此得到，在F的不可判定问题中，F的相容性就是其中的一个.希尔伯特原来的希望是彻底破灭了.?
哥德尔的两条定理指出，任何一个数学分支都做不到完全的公理推演，而且没有一个数学分支能保证自己没有内部矛盾.这真是使数学难堪，数学的真理性又何在呢？?
哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中最重要的定理之一.人类对于宇宙和数学地位的认识被迫作出了根本性的改变.数学不再是精确论证的顶峰，不再是真理的化身，数学有它自己的局限性.?
撇开这些局限性不谈，数学对人类的贡献仍然是巨大的.它是人类最杰出的智慧结晶，也是人类最富创造性的产物.
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