简评陈维桓的笔记《微分几何讲义》
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gauge
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标题: 简评陈维桓的笔记《微分几何讲义》
作者: gauge
陈维桓整理的陈省身先生的讲课笔记《微分几何讲义》，不是一本优秀的微分几何书籍。我们将从各个不同的角度来作出评价。
其一，人们的评价。
其二，以此为教材的实际效果。
其三，该书的内容。
据我所知，从来没有什么懂几何的人对于该书给出过一个正面的评价。大家不约而同的给出的理由是：讲得很精彩，但是整理得很差劲。其实这是为圣人讳，从实际的情况来看，这本书的选材并不好。陈是几何的圣人，没有人愿意说哪怕半点不好的话。
本书的内容分作几个部分，微分流形的定义，微分形式，仿射联络，Riemann流形，活动标架法，复流形。覆盖了微分几何的基本内容。但是这本书没有对其中的任何一部分作出深入的探讨。比如对于Stokes公式，本书未进一步讲解deRham上同调。既然没有引入上同调，也就没有办法深入讲解陈先生最卓越的贡献：示性类。本来这是可以在仿射联络一章展开的，结果只能提及示性类。当然不排除偶尔有那么一两个所谓的高手可以由本书的讲解出发把deRham理论和示性类搞清楚。总体上来说，本书的内容实际上是相当基本的，也就是说是微分几何的一个入门书籍而已。
本书也没有什么有趣、精彩的定理，这使得本书对于阅读者没有多少吸引力。这与本书的风格有关，覆盖面广而且内容都停留在基本知识的层面上。本书基于陈先生的讲座，当年的听众不大懂得代数拓扑，陈先生的目的是向大家介绍微分几何的基本内容，从当年的角度看，这无可厚非。但是如今早已跨过这一初级阶段，本书早就不适合作为中国几何方向研究生的教材了。如果夸张一点，我们甚至可以说本书阻碍了中国学生掌握微分几何也不为过。据我观察，以此书来学习微分几何的人，至少有80%的人都没有学懂微分几何。这说明此书不利于学习，后面我们会简单的分析一下为什么此书并不适合于学习。微分几何本来是有趣、直观的，然而本书没有做到这一点。
第一章，微分流形。在我看来，对于微分流形、切向量的介绍应该使得不懂点集拓扑的人也可以很快搞懂。然而本书没有做到这一点。
对于微分流形的定义，本书没有解释，微分流形是一些局部欧氏空间粘起来的，而定义中的坐标变换就表示如何粘贴这些局部的小块。我相信这是记录者的问题。
本书对于切向量、切空间的定义过于繁琐，使得很多人都不能顺利掌握这一概念，或者要花很多时间。然而如果不这样处理，而是像一般的微分几何书上的处理方式，读者可以很快地理解切向量。本书以函数芽的形式来介绍切向量，是所有处理此问题的方式中最复杂的一种。当然这种处理有利于推广到代数几何，但是对于微分几何来说，这是永远都不需要的。我知道有几个学几何的研究生，学完了这本书还没搞清楚到底什么是切向量。不知道是不是某些人认为的：高手钻研此书。
无论人们要掌握的概念多么复杂难解，最终的理解都是通过直观的自然语言来完成的。一本好的书就需要这样一些经过作者提炼过的自然语言。如果你永远都停留在严格的数学语言中，恐怕只能被称为：还没有搞懂。国内的数学教材，相当大一部分，或者说几乎所有的书都是这样，由定义到定理，作者舍不得说任何一点口水话。其实，这些口水话恰恰是精华。本质上的情形是，不是他们吝惜笔墨，而是讲不出来，没那个能力。他们永远都做不到深入浅出，他们掉入数学的深坑却永远都没有爬上来俯视一番。这些口水话告诉你作者的观点、动机。
第二章的目的是外积，本书从多重线性代数的角度来处理。这也是普通的。陈维桓写了不下五本微分几何的书，都是这种初级程度的。可笑的是，在讲述外积时，其中一本居然以另一本为参考资料，于是该书没有对外积作详细的讲述。对于一个基本概念，不在书中将起描述清楚，而是参考另一本类似的书，不知道陈维桓怎么想的，难道是为了使得这几本书看起来多少有点不一样？
第三章，微分形式。我们已经说过，本书停留在基本知识的程度上，所以对于deRham定理也只能提及，而不能深入。
第四章，仿射联络。一个不足之处是没有讲解联络与平行移动之间的关系，结果读者看不到几何，只看到代数运算。
第五章，黎曼几何。这一章极为初等。你绝不可能通过这一章学会黎曼几何。
第六章，李群与活动标架。活动标架是几何计算的一个基本工具。然而还有两种方式，其一是局部坐标，物理学家、广义相对论都是用局部坐标来做计算。另一种是整体方式。这几种方式本质上等价。我知道有些人非要认为只有活动标架法可以算出来某些结果。请问，Yau或者Tian是不是只用活动标架法？共形几何中的调和坐标系如何用活动标架法来表示？
第七章，复流形。内容同样很少。
上面只是简单的提出了此书框架上的不足，我们还可以分析得更细致一些，指出哪些地方的细节处理不好之内，不过本人没有兴趣了。
实际上，作为微分几何入门内容的几个主要组成部分，每一个都必须要专门的一本书才能讲的比较清楚。比如，微分拓扑，示性类，黎曼几何，子流形等等。远非这样一本书可以完成。所以，这本书写成这个样子也没有什么奇怪的。不论如何，这本书充其量也就是微分几何的一个皮毛而已。你也不可能由此管窥全豹。既然每一部分都只是一个基础，那么为什么不找一本相应的书来学习？相比较而言，苏竞存的《流形上的拓扑》就要好得多。虽然这本书也不是非常好，但你总可以学到一点有趣的几何。实际上，大家认为苏竞存而不是陈维桓的书是一本不错的微分几何中文教材。
一本入门的书，结果大部分的人都不能较快的掌握其内容，虽然微分几何本身有一定的难度是一个因素，但为什么还有很多学习上比较容易的书籍呢？这说明本书无疑是失败的。有人宁愿去啃Hartshone的代数几何也不愿意读陈维桓的微分几何。
陈先生在教材方面的名著是Complex manifolds without potential theory，而不是陈维桓的笔记。
当然这本书也不是一无是处。至少，如果你通过此书学懂了微分几何的话，或者说你仅仅依靠此书就真的学懂了的话，就可以认为自己比大多数人有耐力或者要聪明一点。
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陈维桓整理的陈省身先生的讲课笔记《微分几何讲义》，不是一本优秀的微分几何书籍。我们将从各个不同的角度来作出评价。
其一，人们的评价。
其二，以此为教材的实际效果。
其三，该书的内容。
据我所知，从来没有什么懂几何的人对于该书给出过一个正面的评价。大家不约而同的给出的理由是：讲得很精彩，但是整理得很差劲。其实这是为圣人讳，从实际的情况来看，这本书的选材并不好。陈是几何的圣人，没有人愿意说哪怕半点不好的话。
本书的内容分作几个部分，微分流形的定义，微分形式，仿射联络，Riemann流形，活动标架法，复流形。覆盖了微分几何的基本内容。但是这本书没有对其中的任何一部分作出深入的探讨。比如对于Stokes公式，本书未进一步讲解deRham上同调。既然没有引入上同调，也就没有办法深入讲解陈先生最卓越的贡献：示性类。本来这是可以在仿射联络一章展开的，结果只能提及示性类。当然不排除偶尔有那么一两个所谓的高手可以由本书的讲解出发把deRham理论和示性类搞清楚。总体上来说，本书的内容实际上是相当基本的，也就是说是微分几何的一个入门书籍而已。
本书也没有什么有趣、精彩的定理，这使得本书对于阅读者没有多少吸引力。这与本书的风格有关，覆盖面广而且内容都停留在基本知识的层面上。本书基于陈先生的讲座，当年的听众不大懂得代数拓扑，陈先生的目的是向大家介绍微分几何的基本内容，从当年的角度看，这无可厚非。但是如今早已跨过这一初级阶段，本书早就不适合作为中国几何方向研究生的教材了。如果夸张一点，我们甚至可以说本书阻碍了中国学生掌握微分几何也不为过。据我观察，以此书来学习微分几何的人，至少有80%的人都没有学懂微分几何。这说明此书不利于学习，后面我们会简单的分析一下为什么此书并不适合于学习。微分几何本来是有趣、直观的，然而本书没有做到这一点。
第一章，微分流形。在我看来，对于微分流形、切向量的介绍应该使得不懂点集拓扑的人也可以很快搞懂。然而本书没有做到这一点。
对于微分流形的定义，本书没有解释，微分流形是一些局部欧氏空间粘起来的，而定义中的坐标变换就表示如何粘贴这些局部的小块。我相信这是记录者的问题。
本书对于切向量、切空间的定义过于繁琐，使得很多人都不能顺利掌握这一概念，或者要花很多时间。然而如果不这样处理，而是像一般的微分几何书上的处理方式，读者可以很快地理解切向量。本书以函数芽的形式来介绍切向量，是所有处理此问题的方式中最复杂的一种。当然这种处理有利于推广到代数几何，但是对于微分几何来说，这是永远都不需要的。我知道有几个学几何的研究生，学完了这本书还没搞清楚到底什么是切向量。不知道是不是某些人认为的：高手钻研此书。
无论人们要掌握的概念多么复杂难解，最终的理解都是通过直观的自然语言来完成的。一本好的书就需要这样一些经过作者提炼过的自然语言。如果你永远都停留在严格的数学语言中，恐怕只能被称为：还没有搞懂。国内的数学教材，相当大一部分，或者说几乎所有的书都是这样，由定义到定理，作者舍不得说任何一点口水话。其实，这些口水话恰恰是精华。本质上的情形是，不是他们吝惜笔墨，而是讲不出来，没那个能力。他们永远都做不到深入浅出，他们掉入数学的深坑却永远都没有爬上来俯视一番。这些口水话告诉你作者的观点、动机。
第二章的目的是外积，本书从多重线性代数的角度来处理。这也是普通的。陈维桓写了不下五本微分几何的书，都是这种初级程度的。可笑的是，在讲述外积时，其中一本居然以另一本为参考资料，于是该书没有对外积作详细的讲述。对于一个基本概念，不在书中将起描述清楚，而是参考另一本类似的书，不知道陈维桓怎么想的，难道是为了使得这几本书看起来多少有点不一样？
第三章，微分形式。我们已经说过，本书停留在基本知识的程度上，所以对于deRham定理也只能提及，而不能深入。
第四章，仿射联络。一个不足之处是没有讲解联络与平行移动之间的关系，结果读者看不到几何，只看到代数运算。
第五章，黎曼几何。这一章极为初等。你绝不可能通过这一章学会黎曼几何。
第六章，李群与活动标架。活动标架是几何计算的一个基本工具。然而还有两种方式，其一是局部坐标，物理学家、广义相对论都是用局部坐标来做计算。另一种是整体方式。这几种方式本质上等价。我知道有些人非要认为只有活动标架法可以算出来某些结果。请问，Yau或者Tian是不是只用活动标架法？共形几何中的调和坐标系如何用活动标架法来表示？
第七章，复流形。内容同样很少。
上面只是简单的提出了此书框架上的不足，我们还可以分析得更细致一些，指出哪些地方的细节处理不好之内，不过本人没有兴趣了。
实际上，作为微分几何入门内容的几个主要组成部分，每一个都必须要专门的一本书才能讲的比较清楚。比如，微分拓扑，示性类，黎曼几何，子流形等等。远非这样一本书可以完成。所以，这本书写成这个样子也没有什么奇怪的。不论如何，这本书充其量也就是微分几何的一个皮毛而已。你也不可能由此管窥全豹。既然每一部分都只是一个基础，那么为什么不找一本相应的书来学习？相比较而言，苏竞存的《流形上的拓扑》就要好得多。虽然这本书也不是非常好，但你总可以学到一点有趣的几何。实际上，大家认为苏竞存而不是陈维桓的书是一本不错的微分几何中文教材。
一本入门的书，结果大部分的人都不能较快的掌握其内容，虽然微分几何本身有一定的难度是一个因素，但为什么还有很多学习上比较容易的书籍呢？这说明本书无疑是失败的。有人宁愿去啃Hartshone的代数几何也不愿意读陈维桓的微分几何。
陈先生在教材方面的名著是Complex manifolds without potential theory，而不是陈维桓的笔记。
当然这本书也不是一无是处。至少，如果你通过此书学懂了微分几何的话，或者说你仅仅依靠此书就真的学懂了的话，就可以认为自己比大多数人有耐力或者要聪明一点。
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