勾股定理（十）--- 坐标（续） [ 我爱莫扎特 ] 于:2009-05-21 13:22:50
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现在，让我们来看看微分几何中的坐标。
高斯在进行大地测量的时候，每天同各种各样奇形怪状的地形打交道，有必要建立一套方便准确的计算体系。当然，经典的笛卡尔坐标是可以用的，但有明显的缺点。地球上的地形，不管如何复杂，都是二维的图形，数学上叫“二维曲面”。二维笛卡尔坐标适用于欧式平面，而欧式平面特点是它是“平”的，是最理想的状况，用来对付“曲面”完全不合适。如果要用笛卡尔坐标，也必须是三维的。可这样一来，计算量大大增加。所谓杀鸡用牛刀，不仅仅是大材小用，用起来也颇不顺手。那有没有办法发明一套二维的但适用于曲面的坐标系统？
既然是微分几何，那我们在回答上面的问题前，先回顾一下微分的思想。
所谓微积分，通俗来讲，和做扬州狮子头差不多。微分是把一整块肉剁成肉馅儿，而积分是把肉馅儿再揉起来。至于微积分的基本定理---牛顿莱布尼茨公式说的是：剁碎再揉起来的肉圆儿和原来的猪肉一样重。当然，要是微积分真的和做肉丸子差不多容易，不光牛顿莱布尼茨不答应，估计曹冲小朋友也不会答应。咱们还得多说几句。
微分的本质，是局部线性化。具体来说，我们要细致的研究一个函数，需要先固定一个点，看看这个点附近（即局部）的函数性质如何。在这个点的附近的函数，虽然已经比原先的函数简化不少，但还是有各种不同的形状。怎么办呢？牛莱二位伟人大手一挥：“俺们直肠子，不爱那些弯弯绕绕的，这些统统当直线处理。”于是，这个点附近的函数被简化为函数在该点的切线（也就是所谓的线性化）。下图中直线高出的部分dy就是微分，而这条直线的斜率叫做“导数”。
就这么简单。但这段描述中至少包含三个重要的数学思想：
1，线性（linear）。
我们说一个函数f(x)是线性的，当它对任意实数a,b满足：f(ax+by)=a*f(x)+b*f(y)。
线性函数是最最简单的函数，比如一维的线性函数就是直线，而高维线性函数相当于矩阵。几何上，欧式空间就是线性空间。微积分中，不仅微分是线性的，积分也可以看作是从函数到实数的一个线性映射（即线性泛函）。人们对于线性已经有了非常深入透彻的理解，甚至可以略微夸张的说，到今天为止的大部分数学多多少少都是线性数学。如果一个问题能转化为线性问题，就能被搞定。而无法转化为线性的问题（所谓非线性问题），到今天人们也没什么特别好的办法。所以线性化常常是必须的手段，而困难之处在于怎样线性化又不丢失过多的信息。
2，局部（local）。
大自然是复杂的，为了了解自然，不仅要有宏观的把握，还要有微观的细致分析。微积分之前的数学（和自然科学），很少研究局部的性质。不是人们不想研究，而是缺乏数学工具。为此，人们只能采取掩耳盗铃的态度，大而化之的研究“理想”的事物。比如欧式平面就是理想化的大地。
微积分的诞生才使得人们有能力对事物进行局部的分析，所以微积分又被称为“数学分析”。此后的数学，尤其是近百年的数学，处处可看到“局部”的思想。很多数学对象，整体来看相当复杂，从局部入手就会清楚很多。而一些有趣的数学概念，可以先定义在局部对象上，再想办法拼接成更大更复杂的数学对象。不仅仅是几何，数学各个分支随处可见局部的概念。拓扑中有“局部紧”，泛函分析中有“局部凸”，抽象代数中有“局部域”，代数几何中有“局部戴德金环”，概率论中有“局部鞅”，等等。以后有机会我们还会谈到。
3，近似（approximate）。
数学上的近似，常常是用简单的数学对象去代替复杂的数学对象，而后再无穷逼近原来的对象。微积分中的极限概念，收敛概念是用作逼近的最好工具。
近似可以有不同的程度，如上面提到的微分是一阶近似，还可以接着做二阶近似，三阶近似等等，得到的近似函数不再是线性函数，而是多项式。而用来近似的函数也可以不是多项式。比如法国数学家傅立叶（Fourier）为了研究周期函数，就用三角函数来代替线性函数和多项式，得出了著名的傅立叶级数。
动画演示傅立叶级数，用三角函数逼近周期函数
如果理解了这三点，微分的思想就很清楚了。值得注意的是，也有处处连续但处处不能做微分的函数，也就是那些局部上非常复杂不能简化为直线的函数。十九世纪末的时候，人们花了很大的力气才找到这样的变态函数，可是后来的数学发展却让人们意识到这些函数虽然变态，却数量庞大，而且非常非常重要。一个典型的例子就是我们熟知的分形。
令人着迷的分形
分形的一个特点，是它的局部放大后和原来图形相似，当然无法局部线性化了。作为一种特殊的分形，布朗运动（Brownian Motion）被数学家（概率学家），物理学家，化学家，金融工作者等各界人士热情追捧，红了差不多一个世纪。
几何布朗运动，常常被人们用来模拟股票价格的走势
书归正传，回到几何上来。如果我们真正理解上面说的微分的思想，就很容易回答最初提出的问题。地球，尽管它的表面山川河流此起彼伏，但局部来看，确实可以看作是一块一块的“平面”拼接而成。事实上，欧式平面的最初诞生，也恰恰是因为人们普遍认为大地是平坦的。于是，尽管现在高斯面对的是复杂的曲面，却总可以把曲面上每个点的附近（局部）近似的看成是欧式平面。（注）如同笛卡尔坐标系那样的整体的坐标不再存在，取而代之的是每个点所在的“近似欧式平面”都有一个自己的局部坐标系。
纵横交错的网络线将曲面包络起来
具体来说，高斯用两组纵横交错的网络线（分别记作u和v）将曲面包络起来。每个点恰好有一条u线和一条v线经过，在这点上u和v所指的方向就是该点附近的“欧式平面”的坐标轴方向。需要指出的是，u和v常常不垂直，但这并不太重要。
每点的附近有自己的坐标系
与笛卡尔坐标系不同的是，高斯局部坐标系中的u，v方向一直在随着点的不同而变化。这有点像在北京和上海问路。在北京，问路的回答常常是“向北走，过两个街口往东拐”，这是典型的笛卡尔坐标系，因为北京的路整齐划一，如同棋盘。而在上海，回答变成“向前走，往左转，过两条马路再向右转”，这就是局部坐标系，原因么，见识过上海的道路就明白了。
如果说笛卡尔式的整体坐标系和物理中的惯性系有内在联系的话，高斯坐标系的“每个点有自己的坐标系”的想法已经隐隐显现出后世爱因斯坦的“每个事件有自己的时钟”的影子。这绝非偶然，我们在后面的叙述中会越来越清楚这一点。
注：
把曲面上每个点的附近（局部）近似的看成是欧式平面。这句话相当于是二维的局部线性化，因为欧式平面是二维线性空间。不过二维的情况略微复杂些，这句话可以有两种不太一样的理解，每种理解都对应着一个微分几何学的重要概念，以后会提到。
我爱莫扎特:目录（续）
现在，让我们来看看微分几何中的坐标。
高斯在进行大地测量的时候，每天同各种各样奇形怪状的地形打交道，有必要建立一套方便准确的计算体系。当然，经典的笛卡尔坐标是可以用的，但有明显的缺点。地球上的地形，不管如何复杂，都是二维的图形，数学上叫“二维曲面”。二维笛卡尔坐标适用于欧式平面，而欧式平面特点是它是“平”的，是最理想的状况，用来对付“曲面”完全不合适。如果要用笛卡尔坐标，也必须是三维的。可这样一来，计算量大大增加。所谓杀鸡用牛刀，不仅仅是大材小用，用起来也颇不顺手。那有没有办法发明一套二维的但适用于曲面的坐标系统？
既然是微分几何，那我们在回答上面的问题前，先回顾一下微分的思想。
所谓微积分，通俗来讲，和做扬州狮子头差不多。微分是把一整块肉剁成肉馅儿，而积分是把肉馅儿再揉起来。至于微积分的基本定理---牛顿莱布尼茨公式说的是：剁碎再揉起来的肉圆儿和原来的猪肉一样重。当然，要是微积分真的和做肉丸子差不多容易，不光牛顿莱布尼茨不答应，估计曹冲小朋友也不会答应。咱们还得多说几句。
微分的本质，是局部线性化。具体来说，我们要细致的研究一个函数，需要先固定一个点，看看这个点附近（即局部）的函数性质如何。在这个点的附近的函数，虽然已经比原先的函数简化不少，但还是有各种不同的形状。怎么办呢？牛莱二位伟人大手一挥：“俺们直肠子，不爱那些弯弯绕绕的，这些统统当直线处理。”于是，这个点附近的函数被简化为函数在该点的切线（也就是所谓的线性化）。下图中直线高出的部分dy就是微分，而这条直线的斜率叫做“导数”。
就这么简单。但这段描述中至少包含三个重要的数学思想：
1，线性（linear）。
我们说一个函数f(x)是线性的，当它对任意实数a,b满足：f(ax+by)=a*f(x)+b*f(y)。
线性函数是最最简单的函数，比如一维的线性函数就是直线，而高维线性函数相当于矩阵。几何上，欧式空间就是线性空间。微积分中，不仅微分是线性的，积分也可以看作是从函数到实数的一个线性映射（即线性泛函）。人们对于线性已经有了非常深入透彻的理解，甚至可以略微夸张的说，到今天为止的大部分数学多多少少都是线性数学。如果一个问题能转化为线性问题，就能被搞定。而无法转化为线性的问题（所谓非线性问题），到今天人们也没什么特别好的办法。所以线性化常常是必须的手段，而困难之处在于怎样线性化又不丢失过多的信息。
2，局部（local）。
大自然是复杂的，为了了解自然，不仅要有宏观的把握，还要有微观的细致分析。微积分之前的数学（和自然科学），很少研究局部的性质。不是人们不想研究，而是缺乏数学工具。为此，人们只能采取掩耳盗铃的态度，大而化之的研究“理想”的事物。比如欧式平面就是理想化的大地。
微积分的诞生才使得人们有能力对事物进行局部的分析，所以微积分又被称为“数学分析”。此后的数学，尤其是近百年的数学，处处可看到“局部”的思想。很多数学对象，整体来看相当复杂，从局部入手就会清楚很多。而一些有趣的数学概念，可以先定义在局部对象上，再想办法拼接成更大更复杂的数学对象。不仅仅是几何，数学各个分支随处可见局部的概念。拓扑中有“局部紧”，泛函分析中有“局部凸”，抽象代数中有“局部域”，代数几何中有“局部戴德金环”，概率论中有“局部鞅”，等等。以后有机会我们还会谈到。
3，近似（approximate）。
数学上的近似，常常是用简单的数学对象去代替复杂的数学对象，而后再无穷逼近原来的对象。微积分中的极限概念，收敛概念是用作逼近的最好工具。
近似可以有不同的程度，如上面提到的微分是一阶近似，还可以接着做二阶近似，三阶近似等等，得到的近似函数不再是线性函数，而是多项式。而用来近似的函数也可以不是多项式。比如法国数学家傅立叶（Fourier）为了研究周期函数，就用三角函数来代替线性函数和多项式，得出了著名的傅立叶级数。
动画演示傅立叶级数，用三角函数逼近周期函数
如果理解了这三点，微分的思想就很清楚了。值得注意的是，也有处处连续但处处不能做微分的函数，也就是那些局部上非常复杂不能简化为直线的函数。十九世纪末的时候，人们花了很大的力气才找到这样的变态函数，可是后来的数学发展却让人们意识到这些函数虽然变态，却数量庞大，而且非常非常重要。一个典型的例子就是我们熟知的分形。
令人着迷的分形
分形的一个特点，是它的局部放大后和原来图形相似，当然无法局部线性化了。作为一种特殊的分形，布朗运动（Brownian Motion）被数学家（概率学家），物理学家，化学家，金融工作者等各界人士热情追捧，红了差不多一个世纪。
几何布朗运动，常常被人们用来模拟股票价格的走势
书归正传，回到几何上来。如果我们真正理解上面说的微分的思想，就很容易回答最初提出的问题。地球，尽管它的表面山川河流此起彼伏，但局部来看，确实可以看作是一块一块的“平面”拼接而成。事实上，欧式平面的最初诞生，也恰恰是因为人们普遍认为大地是平坦的。于是，尽管现在高斯面对的是复杂的曲面，却总可以把曲面上每个点的附近（局部）近似的看成是欧式平面。（注）如同笛卡尔坐标系那样的整体的坐标不再存在，取而代之的是每个点所在的“近似欧式平面”都有一个自己的局部坐标系。
纵横交错的网络线将曲面包络起来
具体来说，高斯用两组纵横交错的网络线（分别记作u和v）将曲面包络起来。每个点恰好有一条u线和一条v线经过，在这点上u和v所指的方向就是该点附近的“欧式平面”的坐标轴方向。需要指出的是，u和v常常不垂直，但这并不太重要。
每点的附近有自己的坐标系
与笛卡尔坐标系不同的是，高斯局部坐标系中的u，v方向一直在随着点的不同而变化。这有点像在北京和上海问路。在北京，问路的回答常常是“向北走，过两个街口往东拐”，这是典型的笛卡尔坐标系，因为北京的路整齐划一，如同棋盘。而在上海，回答变成“向前走，往左转，过两条马路再向右转”，这就是局部坐标系，原因么，见识过上海的道路就明白了。
如果说笛卡尔式的整体坐标系和物理中的惯性系有内在联系的话，高斯坐标系的“每个点有自己的坐标系”的想法已经隐隐显现出后世爱因斯坦的“每个事件有自己的时钟”的影子。这绝非偶然，我们在后面的叙述中会越来越清楚这一点。
注：
把曲面上每个点的附近（局部）近似的看成是欧式平面。这句话相当于是二维的局部线性化，因为欧式平面是二维线性空间。不过二维的情况略微复杂些，这句话可以有两种不太一样的理解，每种理解都对应着一个微分几何学的重要概念，以后会提到。
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