一个几何物体的代数结构越是清晰，其拓扑性质就越为精确

什么是拓扑 什么是拓扑？让我们先来看一个简单的事实。平面上的任一简单闭曲线将平面分成两部分，我们把无界的部分叫做外部，有界的部分叫做内部，那么从外部到内部必然要经过此曲线，即这两部分以该曲线为边界。这个事实是如此的直观以致于人们觉得毫无证明的必要。然而仔细的观察不难看出，同样的结论对环面并不成立。那么这个事实就描述了平面的一个与环面有所不同的性质，这便是拓扑学关心的所在。
毫无疑问，这首先是一种几何性质，但不同于传统几何里对长度和角度的斤斤计较，这里更关心的是一种位置关系，如内部，外部，边界，还有我们在日常生活中的其它一些位置概念，如附近，它们都没有具体的度量（多少距离之内称为附近？）。从这个意义上来说，拓扑正是这样一种研究位置关系的几何，事实上，它的创始人——彭加纳正是将之称为位置几何分析。
为了描述拓扑性质的不依赖于度量，数学家引入了形变这个术语。它允许几何对象作连续的变形，看起来就像是一块可以拉伸扭曲的橡皮，所以拓扑学又称为橡皮膜上的几何。在这种形变许可下，乒乓球、篮球以及橄榄球并无两样，它们都是球面的不同变形。另一方面，不管怎么变形，一个球面都无法变成一个环面，直观的来看环面中间有一个洞，而球面没有。在不允许几何直观的数学语言里怎样描述这个区别呢？一个稳妥可行的方法是将一个几何对象联系到一个代数对象，最为简单而且最为常用的叫做欧拉示性数，它在中学里可能就被提及，即一个多面体的顶点数目加面的数目减去边的数目为一常数2。（几乎所有的数学分支都可看到欧拉的身影。他一生的著作超过了大英百科全书，而且有很大一部分是其失明后写成的）这样我们通过欧拉示性数便可区分球面和环面，毫无困难的推广可以让我们对所有的曲面进行分类。
可以想象，描述拓扑性质这些整数远远不够，我们还需要更为精细，信息更多的代数结构。让我们再回到一开始的那个例子，一条简单闭曲线把平面分成两个部分，平面换成球面性质依然成立，但在环面上便不再正确。我们可以看到在环面上有两个圆圈，它们并不会分离环面，它们称之为本质的。换个看法是，能分离环面的那些圆都能缩到一点（设想一根绳子放在环面上，往上一提无法提起环面，本质的圆圈却能做到这一点）。把所有的这些圆圈集合在一起，定义一种加法运算，便构成了群，称为基本群。如果所有的元素都可缩到一点，那么这个群便是平凡的。从基本群的角度可以看出球面与环面的不同在于球面的基本群是平凡的，而环面的基本群是非平凡的。
除了基本群外，更为常用的是同调群，因为后者更易于计算。一个几何物体的代数结构越是清晰，其拓扑性质就越为精确，比如环结构的引入可以区分那些单靠群结构所无法区分的性质。另一方面，代数中产生的一些概念和定理也可转用到拓扑上，让我们对物体的性质更为理解。代数拓扑的发展使几何物体的很多结构已经明了，特别是对于高维的情况，但是，环顾四周，对我们生活其中的世界，即低维流形，我们还所知甚少。几何拓扑是拓扑学的另一个方向，在过去的几十年里发生了极其巨大的改变。其特征之一是多种方法和理论在其中各展身手。特别的关注被给予双曲流形。在Thurston伟大的计划里，正是流形的拓扑性质限制和决定了其上的几何性质。除此之外，纽结理论也成为三维流形研究的必要方法之一，这是因为：纽结和链环的补空间给出了一些有趣而又具体的三维流形的例子，反之，任一闭可定向三维流形都可通过在链环上做手术而得到。
拓扑学作为一门相对年轻的学科正在蓬勃发展，对其它学科发生了和正在发生巨大的影响。