微分几何:局部坐标系不仅方向一直在变化，连单位长度也在变化，方向的单位长度与r成正比。 (图)

原创】勾股定理（十一）--- 王者归来 23 我爱莫扎特:目录（续二） 小弟这个系列写的又长又慢，读者们想必一头雾水，不知道主线到底是什么。咱们先来整理一下思路。本文的主题么，当然是说明勾股定理有多重要。所谓的勾股定理，其实是欧氏几何的距离公式。几何学的一大任务是要测量几何对象的长度，角度，面积，体积等等，而这一切都建立在最基本的距离公式的基础上。遗憾的是，勾股定理只在欧氏几何学中成立（见非欧几何前传）。当然，这也显示出勾股定理的不凡之处---它与第五公设是等价的。在古怪的几何中，我向大家介绍了几个在非欧几何中与勾股定理类似的公式。不过严格来说，它们和我题目中的勾股定理其实并不是一回事。 为了让大家“看见”双曲几何，我在眼见为实中介绍了一些有趣的模型，更在技术细节中对模型用“度量”的概念加以解释。至此，欧氏几何中以勾股定理的面目出现的“距离”概念被更抽象更一般的“度量”概念所代替。在数学发展史上，一般的度量概念的出现不仅对几何学，甚至于对整个数学都是相当大的进步。而对几何学而言，很明显，勾股定理过时了。随着非欧几何被逐渐认同，人们的思想禁锢被打开，形形色色的几何学如雨后春笋般冒了出来。在十九世纪中叶到下叶的几十年时间里，同时出现了几十甚至上百种几何学，它们有着各自的性质，和各种奇奇怪怪的度量。以前文提到的Beltrami模型（又称Poincare圆盘模型）为例，相信对大多数读者，包括对很多初学数学的大学生来说，模型中出现的那个度量公式令人敬畏。就算能明白它的意思，多半也弄不明白这奇怪的公式是哪里跑出来的。自然的，我们希望了解更深刻更本质的东西。正如再复杂的物质也是有简单的分子，原子构成。到底什么是构成这些不同几何学的分子和原子？ 在眼见为实中我们提到，Klein的Erlangen纲领用群论的方法统一了当时主要的几种几何学，包括同为非欧几何的椭圆几何与双曲几何，但Klein的群论方法只对性质比较好的几何图形有用，而对于我们上文提到的较复杂的曲面无能为力。最终，历史选择了高斯与黎曼提出的微分几何。正是它，帮助人们拨开了笼罩在形形色色的几何学上的迷雾，也让人们了解到几何度量的本质。最终的解答似乎是历史和人们开的玩笑。古老的勾股定理披了一件崭新的微分马甲，微分凛凛的王者归来！这就是本篇文字的主题---微分几何的勾股定理。 咱们还是先从欧氏平面的简单情形开始。我们想知道，如何计算平面上一条曲线的长度？这是微积分最初大展神威的问题。解决办法完完全全体现微积分的核心思想---先切碎了再接起来，也就是前文说的“局部线性化”。 先看最简单的情形，求平面内折线（也就是n节棍）的长度。这太简单了，只要求出每段线段长度，再加起来即可。而每段线段长度满足。 如果不是折线，我们需要近似的把它看作折线的近似，先求出每一段非常非常短的线段的长度（微分），再加起来（积分）。这样一来，我们需要微分形式的勾股定理：，而曲线长度为。 这个微分勾股定理除了多了个d外，长得和原来的勾股定理一模一样。不过，勾股定理这尊真佛在不同的坐标系下呈现出不同的法相。 首先出场的是“斜角坐标系”，它的正式名字叫“仿射坐标系”。顾名思义，它和笛卡尔直角坐标系的主要差别在于，它的两条坐标轴的夹角不一定是直角。对平面上任意一点，作坐标轴的两条平行线，与坐标轴分别相交，加上原点，恰好组成一个平行四边形。这个平行四边形的两边的长度，（更精确的说，是两边长与相应方向单位长度的比例），即为该点坐标。在这个坐标系下，两点间的距离要通过余弦定理来计算。于是勾股定理变成，其中，F是两坐标轴夹角的余弦，是一个常数。它的微分形式是。这个简单的例子告诉我们，当坐标轴不再垂直的时候，勾股定理除了两个平方项外，会多出一个中间交叉乘积的项。 再来看一个复杂些的例子，高中学过的极坐标系。给定平面上一点为原点，并固定一条从原点出发的射线。平面上任意一点的坐标由两个数组成：该点到原点的距离r，和该点到原点的连线与固定射线的夹角。在极坐标系下，两点间距离仍需余弦定理：。对这个式子取微分，可得。这很有趣！从表面看，极坐标系与直角坐标系差异明显，可它们的微分勾股定理居然长得很像，这是为什么呢？ 我们用前文提到的局部坐标系的思想来重新审视这三种坐标系。直角坐标系与斜角坐标系的差别在于，直角坐标系是用矩形网格覆盖整个平面，而斜角坐标系用平行四边形。除此之外，它们完全相同。最重要的是，它们都是“平移不变”的。也就是说，平面上每一点所对应的局部坐标系，都与在原点的坐标系完全一样，不仅两条坐标轴的方向不变，而且单位长度也不变。 而极坐标系则不同。我们看到，覆盖平面的网格由以原点为圆心的同心圆，和过原点的直线束相交而成。而过每一点，相应的同心圆与过原点的直线垂直！ 局部来看，每个点对应着两个坐标方向，其中r的方向为原点与该点连线的方向，而的方向为同心圆在该点的逆时针切线方向。这个局部坐标系不仅方向一直在变化，连单位长度也在变化，方向的单位长度与r成正比。 于是，微分勾股定理就很好解释了。极坐标系在局部仍旧是直角坐标系，所以没有交叉相乘的项。在很小的尺度下，dr，，ds恰好构成直角三角形。 这三个例子虽然简单，却能揭示出局部坐标系的性质。整体来看，坐标系可以千变万化，但局部上却万变不离其宗。若局部的坐标轴不垂直，则微分勾股定理会出现交叉相乘项。而局部坐标的单位尺度变化也会反映在微分勾股定理中。 下面考虑二维曲面。我们仍旧要求曲面上的一条曲线的长度。方法如上，先给定局部坐标系，求出局部的线段长度（微分形式的勾股定理），再积分即可。前面我们说过，局部来看，曲面可以近似的看作平面。（这句话在前文出现时，我曾说过有两种理解，稍后我会对其中一种理解略加展开）于是，曲面上每点的微分勾股定理应该与平面相类似。事实上，通过简单的计算，可以知道曲面上每一点的微分形式的勾股定理都具有相似的形式：，其中u和v分别是每点局部坐标系的单位向量，而E，F，G分别是u和v的函数。当u与v垂直时，F=0。最原始的勾股定理对应于E=G=1，F=0。在极坐标下，u对应r，v对应，于是，E=1，F=0，G=r*r。 这个式子非常简单，推导过程也相当容易，但这个一般形式的微分勾股定理却在高斯的功劳簿上大大的添了一笔。或许高斯并不是第一个发现这个公式的人，但高斯充分意识到它的重要性，并不厌其烦的向后世的人们指出这一点，由此出发，此后将近百年的几何学发展都以它为核心。事实上，从高斯给这个式子起的名字就可以知道它有多么重要，它被称为“第一基本形式”