量子化了，类似能级
数 学 年 刊
18A: 3 (1997) , 3372346.
退化解析同胚的不变环面的存在性
王绍立3 李 勇3 3
本文1995 年12 月1 日收到, 1996年11月15日收到修改稿.
3 南京大学数学系, 南京210008.
3 3 吉林大学数学系, 长春130023.
提 要
本文研究定义于T 1×[ 0, 1 ]2上的近似可积解析同胚的不变环面的存在性, 其中T 1= R öZ 是一维环
面. 这个解析同胚有一个角变量和两个作用变量, 因而具有很强的退化性. 在一定的条件下证明了, 只要此
解析同胚充分接近可积映射, 它就有大量一维环面保留下来.
关键词 解析同胚, 不变环面, 迭代过程, 差分方程
MR (1991) 主题分类 57R50
中图法分类 O 19
§1. 引 言
KAM (Ko lmogo rov2A rno ld2Mo ser) 理论的建立是本世纪数学科学的巨大成就之一,
它表明, 在一般情况下Ham ilton 系统在其紧能量面上不是遍历的[ 1, 4 ]. 对于定义于某个紧
致流形上的保体积微分同胚类似的结论仍然成立, 这个结果属于J. Mo ser[ 5 ]. 他指出, 对
于二维流形[a, b ]×T 1上的保面积微分同胚
H1
= H+ A( r) + F ( r, H) (mod 1) , dA
d r > 0,
r1 = r + G ( r, H)
(1. 1)
只要A, F 和G 充分光滑, F 和G 适当小, 映射(1. 1) 将有大量的一维不变环面保留下
来, 其中T 1= R öZ 是一维环面, F 和G 关于H以2P为周期, r 称为作用变量, H称为角变
量. 这个结果一般称为Mo ser 扭转定理. 1980年N. V. Svan idze 将Mo ser 的结果推广到
高维情形[ 7 ].
KAM 理论有着广泛的应用. 例如, 应用这一理论, 尤建功证明了摆方程解的
L agrange 稳定性[ 10 ] , 柳彬证明了H ill 方程解的有界性[ 11 ]. 另外, 应用KAM 理论还可以证
明可逆系统的不变环面的存在性, 关于这一方面的论述可以参见Sevryuk 的专著[ 6 ]. 然而,
经典的KAM 理论要求很强的非退化条件, 长期以来人们一直试图减弱它. 这方面的突破
性进展是程崇庆和孙义燧1990年的工作[ 2 ] , 他们证明了具有一个作用变量和两个角变量的
保体积映射的Mo ser 扭转定理. 1992年夏志宏将此结果推广到具有一个作用变量和n 个
角变量的保体积映射的情形[ 8 ]. 对于Ham ilton 系统, 退化情形的结果可见程崇庆和孙义燧
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的工作[ 3 ] , 以及徐君祥、尤建功和仇庆久的工作[ 9 ]. 可以看出, 前人的工作考虑的都是作用
变量个数小于等于角变量个数的情形. 于是自然就产生了一个问题, 如果作用变量多于角
变量, 是否仍有类似的结果?
本文考虑具有两个作用变量和一个角变量的近似可积的解析同胚的不变环面的存在性
问题. 我们利用KAM 迭代技巧, 在一定条件下对上述问题作出了肯定的回答.
考察解析映射T : H →(CöZ ) ×C2,
N= x + h (y 1, y 2) + f (x , y 1, y 2) (mod 1) ,
G
1 = y 1 + g 1 (x , y 1, y 2) ,
G
2 = y 2 + g 2 (x , y 1, y 2) ,
(1. 2)
其中H : û Imx ûF Q, û Im y i
ûF B, 0FRey i
F 1, i= 1, 2; h, f , g 1和g 2是H 上的实解析函
数, f , g 1和g 2关于x 以1 为周期. 容易看出, 当f = g 1= g 2≡0 时, 对任意固定的(y 01
,
y 02
) , T 1×{ (y 01
, y 02
) } 都是映射T 的不变环面, 即T 是可积的.
记V = { (y 1, y 2) ∈C2û Imy i
û F B, 0 FRey i
F 1, i= 1, 2}. 我们假设映射(1. 2) 满
足:
(P1)“非退化”条件: 存在常数c0> 0, 使得c- 1
0
F ûý h (y 1, y 2) ûF c0, P (y 1, y 2) ∈ V ,
其中ý h (y 1, y 2) 表示函数h 的梯度.
(P2) 相交性条件: T 1× V 中的任意同伦于T 1× { (0, 0) } 的闭曲线与其在T 作用下
的像相交.
以下为简便起见, 我们约定记号:
y = (y 1, y 2) , G = (G
1, G
2) , g = (g 1, g 2) ,
ûf û = sup
(x , y ) ∈H
ûf (x , y ) û , ûg û = max{ûg 1
û , ûg 2
û}.
我们的主要结果陈述如下:
定理1. 1 在假设条件(P1) 和(P2 ) 下, 对任意E> 0, 存在M = M (E, Q) > 0, 只要
(1. 2) 中的f , g 满足ûf û + ûg ûF M , 就存在集合F = T 1×V
3 < T 1× [0, 1 ]2以及可逆
映射S
3 : F →T 1× [0, 1 ]2, 使得
(m es) (S
3
F ) E 1 - E, ûS
3 - id û < E,
其中m es (S
3
F ) 表示集合S
3
F 的L ebesgue 测度, id 表示恒等映射;
(3 3 ) T 在S
3
F 上是可积的, 即S
3 - 1. T . S
3 在F 上具有如下形式
N= x + h (y 1, y 2) ,
G = y ,
从而T 有大量的一维不变环面保留下来.
注1. 1 如果没有相交性条件, 映射(1. 2) 可能一个不变环面也没有, 所以相交性条
件是不可或缺的;
注1. 2 利用类似Mo ser 的工作[ 5 ]中的函数磨光技巧, 可以把映射T 的解析性条件减
弱为有限充分光滑, 本文只对解析情形给出证明;
注1. 3 利用本文的方法可以对作用变量多于两个的情形证明与本文类似的结果.
定理1. 2 假设(1. 2) 的h (y 1, y 2) = y 1, 则在定理1. 1的假设条件下, 仍有同样的结
338 数 学 年 刊18卷A 辑
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论成立.
§2. 迭代过程
首先引进一些记号, 设f (x ) 是û Im xûF Q上以1 为周期的解析函数, 其Fou rier 展式
为
f (x ) = Σ
∞
k= - ∞
f k ei2 Pkx.
定义
W N f = Σ ûkûE N
f k ei2 Pkx (N > 0).
记[ f ]=∫1
0f (x ) d x , 称之为f 的平均值.
以下贯穿全文, 定义集合
EN = {h ∈ [0, 1 ] ûkh - k 0
û E K ûk û - L, k , k 0 ∈ Z , 0 < ûk û < N },
其中1> K > 0, N > 0, L = 3ö 2.
我们将用归纳法证明定理1. 2. 为此, 需要构造一个迭代过程.
不妨假设定理中的0 < Q< 1 ö2 P.
取正数D < D3 (E, Q) =
$
m in { D(1) (E, Q) , D(2) (E) }
其中
D(1) = m in{E, 2- 32 Q16, 2- 36 (L+ 7) - 8e8},
D(2) = m in{ 16- 2 E2, R- 2}, R = 2 Σ
∞
k= 1
k - L.
令
a0 = 0, b0 = 1, Q
0 = Q, B
0 = B; I 0 = [0, 1 ], H 0 = H ; T 0 = T ,
M = DL , L = 2 L + 10, K = ED, D
0 = D,
D
s+ 1 = D3ö2
s , M s = DLs
, C
s = D1ö16
s , s = 0, 1, ⋯ (2. 1)
构造数列
as+ 1 = as + 2 D
s, bs+ 1 = bs - 2 D
s,
Qs
+ 1 = Q
s - Σ
s
k= 0
Ck
, B
s = D1ö2
s , N s =
1Cs
(L+ 7) log
1Cs
, s = 0, 1, ⋯ (2. 2)
集合序列
I s+ 1 = ( I s ∩ EN s) - 2 D
s,
V s: û Im G
i
û F B
s, i = 1, 2, ReG
1 ∈ I s, ReG
2 ∈ [as, bs ] ,
H s: û Im Nû F Q
s, G∈V s, s = 0, 1, ⋯ (2. 3)
变换序列R s: H s+ 1→H s (s= 0, 1, ⋯) 具有下述形式
(N, G) → (N+ u (s) (N, G) , G + v (s) (N, G) ) ,
v (s) (N, G) = (v 1
(s) (N, G) , v 2
(s) (N, G) ) ,
其中u (s) , v i
(s) ( i= 1, 2) 是H s+ 1上关于N以1为周期的实解析函数. 令
S s = R 0
ü R 1
ü ⋯ ü R s: H s+ 1 → H 0, s = 0, 1, ⋯
3期王绍立 李 勇 退化解析同胚的不变环面的存在性339
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定义解析同胚T s= R - 1
s- 1
. T s- 1
. R s- 1: H s→(CöZ ) × C2 (s= 1, 2, ⋯) , 它具有如下形式
N= x + y 1 + f s (x , y ) (mod 1) ,
G = y + g s (x , y ) ,
(2. 4)
其中g s (x , y ) = (g 1
s, g 1
s). 我们将用归纳法证明对任意的sE 1, 变换R s- 1都存在, 并且在
H s上成立
ûf sû + ûg sû F M s. (2. 5) s
记H - 1= H , T - 1= T , R - 1= id 为恒等映射. 由定理1. 2的假设条件, (2. 5) 0成立. 现
在我们假设k= s 时R s- 1存在, 且在H s 上有(2. 5) s成立. 下面考虑k= s+ 1 的情况. 以下
为简便起见, 当k= s+ 1时, 将所有变量与集合的角标“s+ 1”换为“+ ”, 当k= s 时, 将所有
的角标“s”省略, 特别地, 记F = f s+ 1, G = g s+ 1, 我们相信这不会引起混乱. 令f
d
= f -
W N f , g
d
= g - W N g. 考虑差分方程
u (N+ G
1, G) - u (N, G) = f
d
+ v 1 (N, G) , (2. 6)
v (N+ G
1, G) - v (N, G) = g
d
- [g
d
], (2. 7)
显而易见, (2. 7) 满足§5中引理5. 3的条件, 故(2. 7) 在H ′< H 上有唯一的解v
3 满足
[v
3 ]= 0, 且
ûv û F 2ûg û 1
K DL+ 1 , (N, G) ∈ H ′, (2. 8)
其中H ′: û Im G
i
û F B (0 < 2 D < B = D1ö2 ) , i= 1, 2, ReG
1∈I ∩ EN , ReG
2∈[a, b ].
为使(2. 6) 的右端关于N的平均值为零, 令
v 1 = v
3
1 - [ f
d
], v 2 = v
3
2 , (2. 9)
于是
ûv û F 2 ûg û 1
K DL+ 1 + ûf û F 2 (ûg û + ûf û ) 1
K DL+ 1 ,
因为K = ED
0> D
0
2E D2, 根据归纳假设条件以及(2. 1) , 得到
ûv û < 2M
1
D2 DL+ 1 =
2D2L + 10
DL+ 3 = 2DL+ 7, (2. 10)
根据(2. 9) , (2. 6) 亦满足§5中引理5. 3的条件, 从而(2. 6) 在H ′上有唯一的解u 满足
[u ]= 0, 且
ûuû F 2 ûf û 1
K DL+ 1
F 2M
1
K DL+ 1 < 2DL+ 7, (2. 11)
根据Cauchy 估计(§5中引理5. 4) , 当(N, G) ∈H ′- D 时,
max
i, j= 1, 2
5u
5N ,
5u
5G
i
,
5v j
5N
,
5v i
5G
i
< 2DL+ 6. (2. 12)
定义变换R : (N, G) →(x , y ) 为
x = N+ u,
y = G + v.
(2. 13)
注意
5R (N, G)
5(N, G) = I +
5B (N, G)
5(N, G) , (2. 14)
340 数 学 年 刊18卷A 辑
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其中I 为恒等矩阵, B (N, G) = (u (N, G) , v (N, G) ) T. 因为0 < 6DL+ 6< 1, 故5R (N, G)
5(N, G) 是一个对
角占优矩阵, 所以
det
5R (N, G)
5 (N, G) ≠ 0,
根据(2. 10) 和(2. 11) 知ûR - id û< 2 DL+ 7. 由§5中的引理5. 5, R : H ′- D- 8 DL+ 7→H
为解析同胚. 注意区域
H + : û Im Nû F Q
+ = Q- C (0 < 4D< C< Q<
1
2P) , G∈V + ,
其中
V + : û Im G
i
û F B
+ = D3ö4 , i = 1, 2, ReG
1 ∈ I + = I ∩ EN - 2 D, ReG
2 ∈ [a+ , b+ ] = [a, b ] - 2D.
3所以H +
< H ′- D- 8DL+ 7. 根据(2. 10) 和(2. 11) 知
R (H ′- D- 8DL+ 7) = H ′- D- 14 DL+ 7, (2. 15)
R (H + ) < H + + 6 DL+ 7 < H . (2. 16)
由归纳假设, 映射T : H →(CöZ ) ×C2,
N= x + y 1 + f (x , y ) (mod 1) ,
G= y + g (x , y ).
在H 上满足ûf û + ûg ûFM , 由此可得T R (H + ) < H ″, 其中
H ″: û Im NûF Q
+ + 6 DL+ 7 + B
+ + 6 DL+ 7 + M < Q- 3D- 14DL+ 7,
û Im G
i
ûF B
+ + 6 DL+ 7 + M < B- D- 14DL+ 7, i = 1, 2,
ReG
1∈ I + + 6DL+ 7 + M < ( I ∩ EN ) - D- 14DL+ 7,
ReG
2∈ [a+ , b+ ] + 6DL+ 7 + M < [a, b ] - D- 14 DL+ 7,
可见H ″<
R (H ′- D- 8DL+ 7). 从而解析映射T + = R - 1 . T . R : H + → (CöZ ) × C2. 将其
写成
H= N+ G
1 + F (N, G) (mod 1) ,
r = G + G (N, G).
由映射T + 的定义知R . T + = T . R , 根据(2. 6) 和(2. 7) 可得
F = u (N+ G
1, G) - u (H, r) + f (N+ u, G+ v ) - f
d
,
G = v (N+ G
1, G) - v (H, r) + g (N+ u, G+ v ) - g
d
+ [g
d
].
于是
ûF û F
5u
5N
ûF û +
5u
5G
1
ûG1
û +
5u
5G
2
ûG2
û +
5f
5N
ûuû +
5f
5G
1
û v1
û +
5f
5G
2
û v2
û + ûW N f û.
(2. 17)
注意Q
+ = Q- C, 根据§5中引理5. 1 (C) 知在H + 上成立ûW N f û< 4C- 1e- N Cû f û , 由(2. 1)
知0< D< C, 由(2. 2) 知e- N C= DL+ 7, 根据(2. 10) , (2. 11) 和(2. 12) 可得
ûF û F 2 DL+ 6ûF û + 2õ 2DL+ 6ûGû +
ûf û
D
ûuû + 2õ
ûf û
D
ûv û + 4 C- 1 e- N C ûf û
F 4DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 2õ
ûf û
D (ûuû + ûv û ) +
4DL+ 7
C
ûf û
F 4 DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 8DL+ 6ûf û + 4DL+ 6ûf û.
3期王绍立 李 勇 退化解析同胚的不变环面的存在性341
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最后得到
ûF û F 4 DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 12DL+ 6ûf û. (2. 18)
下面考虑G. 因为T 满足相交性条件, 根据(2. 14) , 对任意固定的G∈V + , G (N, G)
至少有一个零点[ 5 ] , 从而ûGûF 2ûG (N, G) - [g
d
] (G) û. 类似对ûF û 的估计, 得到
ûGû F 8DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 24DL+ 6ûf û , (2. 19)
于是
ûF û + ûGû F 12DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 24DL+ 6 (ûf û + ûg û ) ,
因为12DL+ 6< 1ö2 , 故ûF û+ ûGûF 48DL+ 6 (ûf û+ ûg û ). 又因为D< 2- 32, 故48D< 1, 因此在
H + 上成立
ûF û + ûGû F DL+ 5M = M +
3ö2 .
这样就证明了(2. 5) s+ 1.
§3. 定理1. 2的证明
在这一节里我们来完成定理1. 2的证明.
3. 1 不变集合 首先注意D
0< D(1) , Q< 1. 于是
C
0 = D1ö16
0 < 2- 2Q=
Q
4
,
C s+ 1
Cs
= C1ö2
s = D1ö32
s
F D1ö2
0
Q1ö2 <
1
2
, s = 0, 1, ⋯
于是
Qs
= Q
0 - Σ
s- 1
k= 0
Ck
> Q
0 -
Q
4Σ ∞
k= 0
1
2k =
Q
2
. (3. 1)
令
a3 = lim
s→∞
as, b3 = lim
s→∞
bs, I 3 = [a3 , b3 ], E = ∩
∞
s= 0
I s,
根据§5中引理5. 6知
mes E E 1 - 5 D1ö2
0 . (3. 2)
由D
s< D(1) 知D
s<
1
4
, 从而D
s+ 1
öD
s= D
s
1ö2 <
1
2
,
mesI 3 = 1 - 4Σ ∞
s= 0
D
s > 1 - 4D
0Σ ∞
s= 0
1
2s = 1 - 8D
0.
所以
mes (T 1 × E × I 3 ) > (1 - 5 D
0
1ö2 ) (1 - 8D
0). (3. 3)
记
H 3 : û Im Nû F
Q
2
, G∈V 3 = E × I 3 < [0, 1 ]2,
显然有H 3 < ∩
∞
s= 0
H s.
3. 2 不变性 从§2的归纳过程我们知道存在一串解析同胚R s: H s+ 1→H s, s= 0, 1, ⋯
具有如下形式
N(s+ 1) = N(s) + u (s) ,
G(s+ 1) = G(s) + v (s).
(3. 4)
342 数 学 年 刊18卷A 辑
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根据(3. 4) , (2. 10) 和(2. 11) 可得
ûR s - id û F 2D
s
L+ 7, ûR s
- 1 - id û F 2D
s
L+ 7, (3. 5)
其中id 表示恒等映射. 根据(2. 12) 可得
ûdR s
û F 1 + 6 D
s
L+ 6, (3. 6)
联合(3. 5) 和(3. 6) , 在H s+ 2上得到
ûS s - S s+ 1
û= ûR 0
ü R 1
ü ⋯ ü R s - R 0
ü R 1
ü ⋯ ü R s
ü R s+ 1
û
F Π
s
k= 0
(1 + 6 D
k
L+ 6) õ 2DL+ 7
s+ 1
F exp Σ
∞
k= 0
6DL+ 6
k
õ 2DL+ 7
s+ 1
F 2eDL+ 7
s+ 1 ,
从而在H s+ l+ 1上成立估计
ûS s - S s+ l
ûF ûS s - S s+ 1
û + ⋯ + ûS s+ l- 1 - S s+ l
û
F Σ
l
k= 1
2eDL+ 7
s+ k
F 2eΣ ∞
k= 1
1ö2k õ DL+ 7
s = 2eDL+ 7
s . (3. 7)
根据(3. 5) 可得
ûS - 1
s - S - 1
s+ 1
û = ûR - 1
s
ü R - 1
s- 1
ü ⋯ ü R - 1
0 - R - 1
s+ 1
ü R - 1
s
ü ⋯ ü R - 1
0
û F 2 DL+ 7
s+ 1 ,
于是
ûS - 1
s - S - 1
s+ l
û F ûS - 1
s - S - 1
s+ 1
û + ⋯ + ûS - 1
s+ l- 1 - S - 1
s+ l
û F Σ
l
k= 1
2 DL+ 7
s+ k < 2Σ ∞
k= 1
1ö2k DL+ 7
s . (3. 8)
由(3. 7) 和(3. 8) 可见, S s与S - 1
s 分别在H 3 与∩
∞
s= 0
S - 1
s H 3 上一致收敛. 令
S
3 = lim
s→∞
S s, S
3 - 1 = lim
s→∞
S - 1
s ,
于是S
3 - 1. S
3 = idH 3 , S
3 . S
3 - 1= idS 3 - 1H 3 . 显然在H 3 上S
3 - 1. T . S
3 具有如下形式
N= x + y 1,
G= y ,
因而T 在S
3
H 3 上是不变的. 根据(3. 5) 和(3. 7) , 在H 3 上可得
ûS s - id û F ûS s - S 0
û + ûS 0 - id û F 2e DL+ 7
0 + 2DL+ 7
0 < 8DL+ 7
0 < E,
所以ûS
3 - id û< E.
3. 3 不变测度的估计 根据(2. 12) 和(2. 14) 可知在H s+ 1上成立û dR s
ûE 1- 6DL+ 6
s .
注意D
0< 16- 1< 12- 1, 故
ûdS s
ûE Π
s
k= 0
(1 - 6DL+ 6
k ) E 1 - Σ
s
k= 0
6DL+ 6
k
E 1 - 6D
0
L+ 6Σ
∞
k= 0
1
2k = 1 - 12DL+ 6
0 > 1 - DL+ 5
0 . (3. 9)
记F = T 1×V
3 , 于是
mes (S s F ) = ∫F
dS s (N, G) E (1 - DL+ 5
0 )∫T 1× E × I 3
dNd G
E (1 - DL+ 5
0 ) (1 - 5 D1ö2
0 ) (1 - 8 D
0)
> 1 - (DL+ 5
0 + 5 D1ö2
0 + 8D
0) > 1 - 16 D1ö2
0 ,
由于D
0< D(2)F 16- 2E2, 故
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mes (S sF ) > 1 - E.
因为S s在F 上一致收敛于S
3 , 故(见[1 ])
mes (S
3
F ) E lim
s→∞
mes (S sF ) E 1 - E.
§4. 定理1. 1的证明
显而易见, 定理1. 1蕴含定理1. 2, 下面证明定理1. 2蕴含定理1. 1.
根据定理1. 1的“非退化”条件, 存在常数c0> 0, 使得c0
- 1< û ý h (y ) û< c0, P y ∈V.
因为V 是紧集, 所以存在有限多个闭球B i ( i= 1, ⋯, n) 覆盖了V , 且在每个B i∩V 上以下
两个不等式至少有一个成立
c0 >
5h (y )
5y 1
>
1
4 c- 1
0 , P y ∈B (y i) ∩ V (4. 1)
或者
c0 >
5h (y )
5y 2
>
1
4 c- 1
0 , P y ∈B (y i) ∩ V. (4. 2)
不失一般性, 假设在V 上恒有(4. 1) 成立. 于是对任意固定的y 2, h (õ, y 2) 是y 1的局部解
析同胚. 其实不妨假设对任意固定的y 2, h (õ, y 2) 是y 1的全局解析同胚. 记r1= h (y 1, y 2)
关于y 1的反函数为h- 1 ( r1, y 2) , 则
4 c0 >
5h- 1 ( r1, y 2)
5r1
> c0
- 1,
在解析坐标变换L : (x , y 1, y 2) →(H, r1, r2) , H= x , r1= h (y 1, y 2) , r2= y 2下, (1. 1) 变为
N= H+ r1 + F (H, r1, r2) ,
G
1 = r1 + G1 (H, r1, r2) ,
G
2 = r2 + G2 (H, r1, r2) ,
(4. 3)
其中
F (H, r1, r2) = f (H, y 1, r2) ,
G2 (H, r1, r2) = g 2 (H, y 1, r2) ,
G1 (H, r1, r2) = h (y 1 + g 1 (H, y 1, r2) , r2 + g 2 (H, y 1, r2) ) - r2,
其中y 1= h- 1 ( r1, r2). 注意h (y 1, r2) = r1, 故
ûG1
û F
5h
5y 1
ûg 1
û +
5h
5y 2
ûg 2
û.
此外, ûF ûF û f û , ûG2
ûF û g 2
û , 因此映射(4. 4) 满足定理1. 2的条件, 这就证明了定理1. 2
蕴含定理1. 1.
§5. 技术引理
引理5. 1[1 ] 对任意的m > 0, v> 0, D> 0 成立
m v F v
e
v em D
Dv , log
1
D
F v
e
1
D
1öv
.
344 数 学 年 刊18卷A 辑
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下面的引理5. 2与[1 ] 中的分析引理稍有不同, 但它本质上是属于A rno ld 的.
引理5. 2 [ 1 ]设f (x ) 是û Imx ûF Q上以1为周期的解析函数, 其Fou rier 展开式为
f (x ) = Σ
∞
k= - ∞
f k ei2Pkx ,
则
(A ) 若当û Im x ûF Q时, 总有ûf (x ) ûFM , 则û f k
ûFM e- ûkûQ, P k∈Z;
(B) 若û f k
ûFM e- ûkûQ(P k∈Z , k≠0) , f 0= 0, 则当û Im x ûF Q- D (0< D< Q< 1) 时,
我们有û f (x ) ûF 2M öD;
(C) 若ûf k
ûFM e- ûkûQ, k ∈Z , 0< C< Q< 1, 则当û Imx ûF Q- C时,
ûW N f û F 4C- 1 e- N C
M.
下面叙述一个有关差分方程的引理, 其证明可参见[1 ] 和[7 ]. 考察差分方程[ 7 ]
w (N+ G
1, G) - w (N, G) = d (N, G) , (5. 1)
其中G = (G
1, G
2) , d (N, G) 是定义于
H : û Im Nû F Q, G∈ V : û Im G
i
û F B, i = 1, 2 ReG
1 ∈ I , ReG
2 ∈ [a, b ]
上关于N以1 为周期的解析函数. 以下我们假设0< 2D< Q< 1
2P, 其中D 为一常数.
引理5. 3 假设(5. 1) 中的d (N, G) 具有如下形式
d (N, G) = Σ 0< ûk û< N
d k (G) ei2PkN, ûd k
û F M e- ûk ûQ (0 < ûk û < N ) , M > 0,
则(5. 1) 在
H ′: û Im Nû F Q- 2D, G∈V ′
V ′: û Im G
i
û ∈ B, i = 1, 2, ReG
1 ∈ I ∩ EN , ReG
2 ∈ [a, b ]
上有唯一的解w 满足[w ]= 0, 且在H ′上成立
ûw û F 2M K - 1D- (L+ 1).
引理5. 4 (Cauchy 估计, 见[1 ]) 若f (x ) 在有界复区域U 上解析, 且ûf (x ) ûFM ,
P x ∈U , 则
5f (x )
5x
F M
D, P x ∈U - D.
引理5. 5[ 1 ] 设U < Cn是n 维复欧几里德空间中的有界闭区域, 映射A : U →Cn连续可
微, 且
ûA x - x û < E, dA ≠ 0, P x ∈U ,
其中dA 表示A 的导映射. 则A : U - 4E→A (U - 4E) 是微分同胚.
引理5. 6 设E = ∩
∞
s= 0
I s, 其中I s (s= 0, 1, 2, ⋯) 是§2中定义的集合, 于是E 的
L ebesgue 测度满足估计m es E E 1- 5D
0
1ö2 .
参 考 文 献
[ 1 ]A rno ld, V. I. , P roof of A. N. Ko lmogo rov’s theo rem on the p reservat ion of
quasiperiodic mo t ion s under sm all pertu rbat ion s of the Ham ilton ian, U sp. M a th.
US S R , 18 (1963) , 13240.
3期王绍立 李 勇 退化解析同胚的不变环面的存在性345
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[ 2 ] Cheng, C. Q. & Sun, Y. S. , Ex istence of invarian t to ri in th ree - dim en sional
m easu re p reserving m app ings, Celestia lM ech. , 47 (1990) , 2752292.
[ 3 ] Cheng, C. Q. & Sun, Y. S. , Ex istence of KAM to ri in degenerate Ham ilton ian
system s, J. D if f . E qua. , 114 (1994).
[ 4 ] Ko lmogo rov, A. N. O n the con servat ion of condit ionally periodicmo t ion s fo r a sm all
change in Ham ilton’s funct ion, D ok l. A kad. N auk. US S R , 98 (1954) , 5252530.
[5 ]Mo ser, J. , O n invarian t cu rves of area2p reserving m app ings of an annu lu s, N ach r.
A kad. W iss. Go t t ingenM ath. 2Phys, KI. II(1962) , 1220.
[6 ]Sevryuk, B. M. , Reversib le system s, L ectu re N otes in M a them a tics, 1211 (1986).
[ 7 ] Svan idze, N. V. , Sm all pertu rbat ion s of an in tegrab le dynam ical system w ith an
in tegral invarian t, P roc. S tek lov Inst. M a th. , 147 (1980) , 1272151.
[ 8 ] Xia, Z. H. , Ex istence of invarian t to ri in vo lum e2p reserving diffeomo rph ism s,
E rg od. T h. &Dy nam. S y s. , 12 (1992) , 6212631.
[ 9 ] Xu, J. X. , You, J. G. & Q iu, Q. J. , Invarian t to ri fo r nearly in tegrab le
Ham ilton ian system s, P rep rin t, (1994).
[10 ] You, J. G. , Invarian t to ri and L agrange stab ility of pendu lum type equat ion s, J.
D if f . E qua. , 85: 1 (1990) , 54265.
[ 11 ] L iu, B. , Boundedness fo r so lu t ion s of non linear H ill’s equat ion s w ith periodic
fo rcing term s viaMo ser’s tw ist theo rem , J. D if f . E qua. , 79: 2 (1989) , 3042315.
346 数 学 年 刊18卷A 辑
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数 学 年 刊
18A: 3 (1997) , 3372346.
退化解析同胚的不变环面的存在性
王绍立3 李 勇3 3
本文1995 年12 月1 日收到, 1996年11月15日收到修改稿.
3 南京大学数学系, 南京210008.
3 3 吉林大学数学系, 长春130023.
提 要
本文研究定义于T 1×[ 0, 1 ]2上的近似可积解析同胚的不变环面的存在性, 其中T 1= R öZ 是一维环
面. 这个解析同胚有一个角变量和两个作用变量, 因而具有很强的退化性. 在一定的条件下证明了, 只要此
解析同胚充分接近可积映射, 它就有大量一维环面保留下来.
关键词 解析同胚, 不变环面, 迭代过程, 差分方程
MR (1991) 主题分类 57R50
中图法分类 O 19
§1. 引 言
KAM (Ko lmogo rov2A rno ld2Mo ser) 理论的建立是本世纪数学科学的巨大成就之一,
它表明, 在一般情况下Ham ilton 系统在其紧能量面上不是遍历的[ 1, 4 ]. 对于定义于某个紧
致流形上的保体积微分同胚类似的结论仍然成立, 这个结果属于J. Mo ser[ 5 ]. 他指出, 对
于二维流形[a, b ]×T 1上的保面积微分同胚
H1
= H+ A( r) + F ( r, H) (mod 1) , dA
d r > 0,
r1 = r + G ( r, H)
(1. 1)
只要A, F 和G 充分光滑, F 和G 适当小, 映射(1. 1) 将有大量的一维不变环面保留下
来, 其中T 1= R öZ 是一维环面, F 和G 关于H以2P为周期, r 称为作用变量, H称为角变
量. 这个结果一般称为Mo ser 扭转定理. 1980年N. V. Svan idze 将Mo ser 的结果推广到
高维情形[ 7 ].
KAM 理论有着广泛的应用. 例如, 应用这一理论, 尤建功证明了摆方程解的
L agrange 稳定性[ 10 ] , 柳彬证明了H ill 方程解的有界性[ 11 ]. 另外, 应用KAM 理论还可以证
明可逆系统的不变环面的存在性, 关于这一方面的论述可以参见Sevryuk 的专著[ 6 ]. 然而,
经典的KAM 理论要求很强的非退化条件, 长期以来人们一直试图减弱它. 这方面的突破
性进展是程崇庆和孙义燧1990年的工作[ 2 ] , 他们证明了具有一个作用变量和两个角变量的
保体积映射的Mo ser 扭转定理. 1992年夏志宏将此结果推广到具有一个作用变量和n 个
角变量的保体积映射的情形[ 8 ]. 对于Ham ilton 系统, 退化情形的结果可见程崇庆和孙义燧
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的工作[ 3 ] , 以及徐君祥、尤建功和仇庆久的工作[ 9 ]. 可以看出, 前人的工作考虑的都是作用
变量个数小于等于角变量个数的情形. 于是自然就产生了一个问题, 如果作用变量多于角
变量, 是否仍有类似的结果?
本文考虑具有两个作用变量和一个角变量的近似可积的解析同胚的不变环面的存在性
问题. 我们利用KAM 迭代技巧, 在一定条件下对上述问题作出了肯定的回答.
考察解析映射T : H →(CöZ ) ×C2,
N= x + h (y 1, y 2) + f (x , y 1, y 2) (mod 1) ,
G
1 = y 1 + g 1 (x , y 1, y 2) ,
G
2 = y 2 + g 2 (x , y 1, y 2) ,
(1. 2)
其中H : û Imx ûF Q, û Im y i
ûF B, 0FRey i
F 1, i= 1, 2; h, f , g 1和g 2是H 上的实解析函
数, f , g 1和g 2关于x 以1 为周期. 容易看出, 当f = g 1= g 2≡0 时, 对任意固定的(y 01
,
y 02
) , T 1×{ (y 01
, y 02
) } 都是映射T 的不变环面, 即T 是可积的.
记V = { (y 1, y 2) ∈C2û Imy i
û F B, 0 FRey i
F 1, i= 1, 2}. 我们假设映射(1. 2) 满
足:
(P1)“非退化”条件: 存在常数c0> 0, 使得c- 1
0
F ûý h (y 1, y 2) ûF c0, P (y 1, y 2) ∈ V ,
其中ý h (y 1, y 2) 表示函数h 的梯度.
(P2) 相交性条件: T 1× V 中的任意同伦于T 1× { (0, 0) } 的闭曲线与其在T 作用下
的像相交.
以下为简便起见, 我们约定记号:
y = (y 1, y 2) , G = (G
1, G
2) , g = (g 1, g 2) ,
ûf û = sup
(x , y ) ∈H
ûf (x , y ) û , ûg û = max{ûg 1
û , ûg 2
û}.
我们的主要结果陈述如下:
定理1. 1 在假设条件(P1) 和(P2 ) 下, 对任意E> 0, 存在M = M (E, Q) > 0, 只要
(1. 2) 中的f , g 满足ûf û + ûg ûF M , 就存在集合F = T 1×V
3 < T 1× [0, 1 ]2以及可逆
映射S
3 : F →T 1× [0, 1 ]2, 使得
(m es) (S
3
F ) E 1 - E, ûS
3 - id û < E,
其中m es (S
3
F ) 表示集合S
3
F 的L ebesgue 测度, id 表示恒等映射;
(3 3 ) T 在S
3
F 上是可积的, 即S
3 - 1. T . S
3 在F 上具有如下形式
N= x + h (y 1, y 2) ,
G = y ,
从而T 有大量的一维不变环面保留下来.
注1. 1 如果没有相交性条件, 映射(1. 2) 可能一个不变环面也没有, 所以相交性条
件是不可或缺的;
注1. 2 利用类似Mo ser 的工作[ 5 ]中的函数磨光技巧, 可以把映射T 的解析性条件减
弱为有限充分光滑, 本文只对解析情形给出证明;
注1. 3 利用本文的方法可以对作用变量多于两个的情形证明与本文类似的结果.
定理1. 2 假设(1. 2) 的h (y 1, y 2) = y 1, 则在定理1. 1的假设条件下, 仍有同样的结
338 数 学 年 刊18卷A 辑
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论成立.
§2. 迭代过程
首先引进一些记号, 设f (x ) 是û Im xûF Q上以1 为周期的解析函数, 其Fou rier 展式
为
f (x ) = Σ
∞
k= - ∞
f k ei2 Pkx.
定义
W N f = Σ ûkûE N
f k ei2 Pkx (N > 0).
记[ f ]=∫1
0f (x ) d x , 称之为f 的平均值.
以下贯穿全文, 定义集合
EN = {h ∈ [0, 1 ] ûkh - k 0
û E K ûk û - L, k , k 0 ∈ Z , 0 < ûk û < N },
其中1> K > 0, N > 0, L = 3ö 2.
我们将用归纳法证明定理1. 2. 为此, 需要构造一个迭代过程.
不妨假设定理中的0 < Q< 1 ö2 P.
取正数D < D3 (E, Q) =
$
m in { D(1) (E, Q) , D(2) (E) }
其中
D(1) = m in{E, 2- 32 Q16, 2- 36 (L+ 7) - 8e8},
D(2) = m in{ 16- 2 E2, R- 2}, R = 2 Σ
∞
k= 1
k - L.
令
a0 = 0, b0 = 1, Q
0 = Q, B
0 = B; I 0 = [0, 1 ], H 0 = H ; T 0 = T ,
M = DL , L = 2 L + 10, K = ED, D
0 = D,
D
s+ 1 = D3ö2
s , M s = DLs
, C
s = D1ö16
s , s = 0, 1, ⋯ (2. 1)
构造数列
as+ 1 = as + 2 D
s, bs+ 1 = bs - 2 D
s,
Qs
+ 1 = Q
s - Σ
s
k= 0
Ck
, B
s = D1ö2
s , N s =
1Cs
(L+ 7) log
1Cs
, s = 0, 1, ⋯ (2. 2)
集合序列
I s+ 1 = ( I s ∩ EN s) - 2 D
s,
V s: û Im G
i
û F B
s, i = 1, 2, ReG
1 ∈ I s, ReG
2 ∈ [as, bs ] ,
H s: û Im Nû F Q
s, G∈V s, s = 0, 1, ⋯ (2. 3)
变换序列R s: H s+ 1→H s (s= 0, 1, ⋯) 具有下述形式
(N, G) → (N+ u (s) (N, G) , G + v (s) (N, G) ) ,
v (s) (N, G) = (v 1
(s) (N, G) , v 2
(s) (N, G) ) ,
其中u (s) , v i
(s) ( i= 1, 2) 是H s+ 1上关于N以1为周期的实解析函数. 令
S s = R 0
ü R 1
ü ⋯ ü R s: H s+ 1 → H 0, s = 0, 1, ⋯
3期王绍立 李 勇 退化解析同胚的不变环面的存在性339
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定义解析同胚T s= R - 1
s- 1
. T s- 1
. R s- 1: H s→(CöZ ) × C2 (s= 1, 2, ⋯) , 它具有如下形式
N= x + y 1 + f s (x , y ) (mod 1) ,
G = y + g s (x , y ) ,
(2. 4)
其中g s (x , y ) = (g 1
s, g 1
s). 我们将用归纳法证明对任意的sE 1, 变换R s- 1都存在, 并且在
H s上成立
ûf sû + ûg sû F M s. (2. 5) s
记H - 1= H , T - 1= T , R - 1= id 为恒等映射. 由定理1. 2的假设条件, (2. 5) 0成立. 现
在我们假设k= s 时R s- 1存在, 且在H s 上有(2. 5) s成立. 下面考虑k= s+ 1 的情况. 以下
为简便起见, 当k= s+ 1时, 将所有变量与集合的角标“s+ 1”换为“+ ”, 当k= s 时, 将所有
的角标“s”省略, 特别地, 记F = f s+ 1, G = g s+ 1, 我们相信这不会引起混乱. 令f
d
= f -
W N f , g
d
= g - W N g. 考虑差分方程
u (N+ G
1, G) - u (N, G) = f
d
+ v 1 (N, G) , (2. 6)
v (N+ G
1, G) - v (N, G) = g
d
- [g
d
], (2. 7)
显而易见, (2. 7) 满足§5中引理5. 3的条件, 故(2. 7) 在H ′< H 上有唯一的解v
3 满足
[v
3 ]= 0, 且
ûv û F 2ûg û 1
K DL+ 1 , (N, G) ∈ H ′, (2. 8)
其中H ′: û Im G
i
û F B (0 < 2 D < B = D1ö2 ) , i= 1, 2, ReG
1∈I ∩ EN , ReG
2∈[a, b ].
为使(2. 6) 的右端关于N的平均值为零, 令
v 1 = v
3
1 - [ f
d
], v 2 = v
3
2 , (2. 9)
于是
ûv û F 2 ûg û 1
K DL+ 1 + ûf û F 2 (ûg û + ûf û ) 1
K DL+ 1 ,
因为K = ED
0> D
0
2E D2, 根据归纳假设条件以及(2. 1) , 得到
ûv û < 2M
1
D2 DL+ 1 =
2D2L + 10
DL+ 3 = 2DL+ 7, (2. 10)
根据(2. 9) , (2. 6) 亦满足§5中引理5. 3的条件, 从而(2. 6) 在H ′上有唯一的解u 满足
[u ]= 0, 且
ûuû F 2 ûf û 1
K DL+ 1
F 2M
1
K DL+ 1 < 2DL+ 7, (2. 11)
根据Cauchy 估计(§5中引理5. 4) , 当(N, G) ∈H ′- D 时,
max
i, j= 1, 2
5u
5N ,
5u
5G
i
,
5v j
5N
,
5v i
5G
i
< 2DL+ 6. (2. 12)
定义变换R : (N, G) →(x , y ) 为
x = N+ u,
y = G + v.
(2. 13)
注意
5R (N, G)
5(N, G) = I +
5B (N, G)
5(N, G) , (2. 14)
340 数 学 年 刊18卷A 辑
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其中I 为恒等矩阵, B (N, G) = (u (N, G) , v (N, G) ) T. 因为0 < 6DL+ 6< 1, 故5R (N, G)
5(N, G) 是一个对
角占优矩阵, 所以
det
5R (N, G)
5 (N, G) ≠ 0,
根据(2. 10) 和(2. 11) 知ûR - id û< 2 DL+ 7. 由§5中的引理5. 5, R : H ′- D- 8 DL+ 7→H
为解析同胚. 注意区域
H + : û Im Nû F Q
+ = Q- C (0 < 4D< C< Q<
1
2P) , G∈V + ,
其中
V + : û Im G
i
û F B
+ = D3ö4 , i = 1, 2, ReG
1 ∈ I + = I ∩ EN - 2 D, ReG
2 ∈ [a+ , b+ ] = [a, b ] - 2D.
3所以H +
< H ′- D- 8DL+ 7. 根据(2. 10) 和(2. 11) 知
R (H ′- D- 8DL+ 7) = H ′- D- 14 DL+ 7, (2. 15)
R (H + ) < H + + 6 DL+ 7 < H . (2. 16)
由归纳假设, 映射T : H →(CöZ ) ×C2,
N= x + y 1 + f (x , y ) (mod 1) ,
G= y + g (x , y ).
在H 上满足ûf û + ûg ûFM , 由此可得T R (H + ) < H ″, 其中
H ″: û Im NûF Q
+ + 6 DL+ 7 + B
+ + 6 DL+ 7 + M < Q- 3D- 14DL+ 7,
û Im G
i
ûF B
+ + 6 DL+ 7 + M < B- D- 14DL+ 7, i = 1, 2,
ReG
1∈ I + + 6DL+ 7 + M < ( I ∩ EN ) - D- 14DL+ 7,
ReG
2∈ [a+ , b+ ] + 6DL+ 7 + M < [a, b ] - D- 14 DL+ 7,
可见H ″<
R (H ′- D- 8DL+ 7). 从而解析映射T + = R - 1 . T . R : H + → (CöZ ) × C2. 将其
写成
H= N+ G
1 + F (N, G) (mod 1) ,
r = G + G (N, G).
由映射T + 的定义知R . T + = T . R , 根据(2. 6) 和(2. 7) 可得
F = u (N+ G
1, G) - u (H, r) + f (N+ u, G+ v ) - f
d
,
G = v (N+ G
1, G) - v (H, r) + g (N+ u, G+ v ) - g
d
+ [g
d
].
于是
ûF û F
5u
5N
ûF û +
5u
5G
1
ûG1
û +
5u
5G
2
ûG2
û +
5f
5N
ûuû +
5f
5G
1
û v1
û +
5f
5G
2
û v2
û + ûW N f û.
(2. 17)
注意Q
+ = Q- C, 根据§5中引理5. 1 (C) 知在H + 上成立ûW N f û< 4C- 1e- N Cû f û , 由(2. 1)
知0< D< C, 由(2. 2) 知e- N C= DL+ 7, 根据(2. 10) , (2. 11) 和(2. 12) 可得
ûF û F 2 DL+ 6ûF û + 2õ 2DL+ 6ûGû +
ûf û
D
ûuû + 2õ
ûf û
D
ûv û + 4 C- 1 e- N C ûf û
F 4DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 2õ
ûf û
D (ûuû + ûv û ) +
4DL+ 7
C
ûf û
F 4 DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 8DL+ 6ûf û + 4DL+ 6ûf û.
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最后得到
ûF û F 4 DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 12DL+ 6ûf û. (2. 18)
下面考虑G. 因为T 满足相交性条件, 根据(2. 14) , 对任意固定的G∈V + , G (N, G)
至少有一个零点[ 5 ] , 从而ûGûF 2ûG (N, G) - [g
d
] (G) û. 类似对ûF û 的估计, 得到
ûGû F 8DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 24DL+ 6ûf û , (2. 19)
于是
ûF û + ûGû F 12DL+ 6 (ûF û + ûGû ) + 24DL+ 6 (ûf û + ûg û ) ,
因为12DL+ 6< 1ö2 , 故ûF û+ ûGûF 48DL+ 6 (ûf û+ ûg û ). 又因为D< 2- 32, 故48D< 1, 因此在
H + 上成立
ûF û + ûGû F DL+ 5M = M +
3ö2 .
这样就证明了(2. 5) s+ 1.
§3. 定理1. 2的证明
在这一节里我们来完成定理1. 2的证明.
3. 1 不变集合 首先注意D
0< D(1) , Q< 1. 于是
C
0 = D1ö16
0 < 2- 2Q=
Q
4
,
C s+ 1
Cs
= C1ö2
s = D1ö32
s
F D1ö2
0
Q1ö2 <
1
2
, s = 0, 1, ⋯
于是
Qs
= Q
0 - Σ
s- 1
k= 0
Ck
> Q
0 -
Q
4Σ ∞
k= 0
1
2k =
Q
2
. (3. 1)
令
a3 = lim
s→∞
as, b3 = lim
s→∞
bs, I 3 = [a3 , b3 ], E = ∩
∞
s= 0
I s,
根据§5中引理5. 6知
mes E E 1 - 5 D1ö2
0 . (3. 2)
由D
s< D(1) 知D
s<
1
4
, 从而D
s+ 1
öD
s= D
s
1ö2 <
1
2
,
mesI 3 = 1 - 4Σ ∞
s= 0
D
s > 1 - 4D
0Σ ∞
s= 0
1
2s = 1 - 8D
0.
所以
mes (T 1 × E × I 3 ) > (1 - 5 D
0
1ö2 ) (1 - 8D
0). (3. 3)
记
H 3 : û Im Nû F
Q
2
, G∈V 3 = E × I 3 < [0, 1 ]2,
显然有H 3 < ∩
∞
s= 0
H s.
3. 2 不变性 从§2的归纳过程我们知道存在一串解析同胚R s: H s+ 1→H s, s= 0, 1, ⋯
具有如下形式
N(s+ 1) = N(s) + u (s) ,
G(s+ 1) = G(s) + v (s).
(3. 4)
342 数 学 年 刊18卷A 辑
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根据(3. 4) , (2. 10) 和(2. 11) 可得
ûR s - id û F 2D
s
L+ 7, ûR s
- 1 - id û F 2D
s
L+ 7, (3. 5)
其中id 表示恒等映射. 根据(2. 12) 可得
ûdR s
û F 1 + 6 D
s
L+ 6, (3. 6)
联合(3. 5) 和(3. 6) , 在H s+ 2上得到
ûS s - S s+ 1
û= ûR 0
ü R 1
ü ⋯ ü R s - R 0
ü R 1
ü ⋯ ü R s
ü R s+ 1
û
F Π
s
k= 0
(1 + 6 D
k
L+ 6) õ 2DL+ 7
s+ 1
F exp Σ
∞
k= 0
6DL+ 6
k
õ 2DL+ 7
s+ 1
F 2eDL+ 7
s+ 1 ,
从而在H s+ l+ 1上成立估计
ûS s - S s+ l
ûF ûS s - S s+ 1
û + ⋯ + ûS s+ l- 1 - S s+ l
û
F Σ
l
k= 1
2eDL+ 7
s+ k
F 2eΣ ∞
k= 1
1ö2k õ DL+ 7
s = 2eDL+ 7
s . (3. 7)
根据(3. 5) 可得
ûS - 1
s - S - 1
s+ 1
û = ûR - 1
s
ü R - 1
s- 1
ü ⋯ ü R - 1
0 - R - 1
s+ 1
ü R - 1
s
ü ⋯ ü R - 1
0
û F 2 DL+ 7
s+ 1 ,
于是
ûS - 1
s - S - 1
s+ l
û F ûS - 1
s - S - 1
s+ 1
û + ⋯ + ûS - 1
s+ l- 1 - S - 1
s+ l
û F Σ
l
k= 1
2 DL+ 7
s+ k < 2Σ ∞
k= 1
1ö2k DL+ 7
s . (3. 8)
由(3. 7) 和(3. 8) 可见, S s与S - 1
s 分别在H 3 与∩
∞
s= 0
S - 1
s H 3 上一致收敛. 令
S
3 = lim
s→∞
S s, S
3 - 1 = lim
s→∞
S - 1
s ,
于是S
3 - 1. S
3 = idH 3 , S
3 . S
3 - 1= idS 3 - 1H 3 . 显然在H 3 上S
3 - 1. T . S
3 具有如下形式
N= x + y 1,
G= y ,
因而T 在S
3
H 3 上是不变的. 根据(3. 5) 和(3. 7) , 在H 3 上可得
ûS s - id û F ûS s - S 0
û + ûS 0 - id û F 2e DL+ 7
0 + 2DL+ 7
0 < 8DL+ 7
0 < E,
所以ûS
3 - id û< E.
3. 3 不变测度的估计 根据(2. 12) 和(2. 14) 可知在H s+ 1上成立û dR s
ûE 1- 6DL+ 6
s .
注意D
0< 16- 1< 12- 1, 故
ûdS s
ûE Π
s
k= 0
(1 - 6DL+ 6
k ) E 1 - Σ
s
k= 0
6DL+ 6
k
E 1 - 6D
0
L+ 6Σ
∞
k= 0
1
2k = 1 - 12DL+ 6
0 > 1 - DL+ 5
0 . (3. 9)
记F = T 1×V
3 , 于是
mes (S s F ) = ∫F
dS s (N, G) E (1 - DL+ 5
0 )∫T 1× E × I 3
dNd G
E (1 - DL+ 5
0 ) (1 - 5 D1ö2
0 ) (1 - 8 D
0)
> 1 - (DL+ 5
0 + 5 D1ö2
0 + 8D
0) > 1 - 16 D1ö2
0 ,
由于D
0< D(2)F 16- 2E2, 故
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mes (S sF ) > 1 - E.
因为S s在F 上一致收敛于S
3 , 故(见[1 ])
mes (S
3
F ) E lim
s→∞
mes (S sF ) E 1 - E.
§4. 定理1. 1的证明
显而易见, 定理1. 1蕴含定理1. 2, 下面证明定理1. 2蕴含定理1. 1.
根据定理1. 1的“非退化”条件, 存在常数c0> 0, 使得c0
- 1< û ý h (y ) û< c0, P y ∈V.
因为V 是紧集, 所以存在有限多个闭球B i ( i= 1, ⋯, n) 覆盖了V , 且在每个B i∩V 上以下
两个不等式至少有一个成立
c0 >
5h (y )
5y 1
>
1
4 c- 1
0 , P y ∈B (y i) ∩ V (4. 1)
或者
c0 >
5h (y )
5y 2
>
1
4 c- 1
0 , P y ∈B (y i) ∩ V. (4. 2)
不失一般性, 假设在V 上恒有(4. 1) 成立. 于是对任意固定的y 2, h (õ, y 2) 是y 1的局部解
析同胚. 其实不妨假设对任意固定的y 2, h (õ, y 2) 是y 1的全局解析同胚. 记r1= h (y 1, y 2)
关于y 1的反函数为h- 1 ( r1, y 2) , 则
4 c0 >
5h- 1 ( r1, y 2)
5r1
> c0
- 1,
在解析坐标变换L : (x , y 1, y 2) →(H, r1, r2) , H= x , r1= h (y 1, y 2) , r2= y 2下, (1. 1) 变为
N= H+ r1 + F (H, r1, r2) ,
G
1 = r1 + G1 (H, r1, r2) ,
G
2 = r2 + G2 (H, r1, r2) ,
(4. 3)
其中
F (H, r1, r2) = f (H, y 1, r2) ,
G2 (H, r1, r2) = g 2 (H, y 1, r2) ,
G1 (H, r1, r2) = h (y 1 + g 1 (H, y 1, r2) , r2 + g 2 (H, y 1, r2) ) - r2,
其中y 1= h- 1 ( r1, r2). 注意h (y 1, r2) = r1, 故
ûG1
û F
5h
5y 1
ûg 1
û +
5h
5y 2
ûg 2
û.
此外, ûF ûF û f û , ûG2
ûF û g 2
û , 因此映射(4. 4) 满足定理1. 2的条件, 这就证明了定理1. 2
蕴含定理1. 1.
§5. 技术引理
引理5. 1[1 ] 对任意的m > 0, v> 0, D> 0 成立
m v F v
e
v em D
Dv , log
1
D
F v
e
1
D
1öv
.
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下面的引理5. 2与[1 ] 中的分析引理稍有不同, 但它本质上是属于A rno ld 的.
引理5. 2 [ 1 ]设f (x ) 是û Imx ûF Q上以1为周期的解析函数, 其Fou rier 展开式为
f (x ) = Σ
∞
k= - ∞
f k ei2Pkx ,
则
(A ) 若当û Im x ûF Q时, 总有ûf (x ) ûFM , 则û f k
ûFM e- ûkûQ, P k∈Z;
(B) 若û f k
ûFM e- ûkûQ(P k∈Z , k≠0) , f 0= 0, 则当û Im x ûF Q- D (0< D< Q< 1) 时,
我们有û f (x ) ûF 2M öD;
(C) 若ûf k
ûFM e- ûkûQ, k ∈Z , 0< C< Q< 1, 则当û Imx ûF Q- C时,
ûW N f û F 4C- 1 e- N C
M.
下面叙述一个有关差分方程的引理, 其证明可参见[1 ] 和[7 ]. 考察差分方程[ 7 ]
w (N+ G
1, G) - w (N, G) = d (N, G) , (5. 1)
其中G = (G
1, G
2) , d (N, G) 是定义于
H : û Im Nû F Q, G∈ V : û Im G
i
û F B, i = 1, 2 ReG
1 ∈ I , ReG
2 ∈ [a, b ]
上关于N以1 为周期的解析函数. 以下我们假设0< 2D< Q< 1
2P, 其中D 为一常数.
引理5. 3 假设(5. 1) 中的d (N, G) 具有如下形式
d (N, G) = Σ 0< ûk û< N
d k (G) ei2PkN, ûd k
û F M e- ûk ûQ (0 < ûk û < N ) , M > 0,
则(5. 1) 在
H ′: û Im Nû F Q- 2D, G∈V ′
V ′: û Im G
i
û ∈ B, i = 1, 2, ReG
1 ∈ I ∩ EN , ReG
2 ∈ [a, b ]
上有唯一的解w 满足[w ]= 0, 且在H ′上成立
ûw û F 2M K - 1D- (L+ 1).
引理5. 4 (Cauchy 估计, 见[1 ]) 若f (x ) 在有界复区域U 上解析, 且ûf (x ) ûFM ,
P x ∈U , 则
5f (x )
5x
F M
D, P x ∈U - D.
引理5. 5[ 1 ] 设U < Cn是n 维复欧几里德空间中的有界闭区域, 映射A : U →Cn连续可
微, 且
ûA x - x û < E, dA ≠ 0, P x ∈U ,
其中dA 表示A 的导映射. 则A : U - 4E→A (U - 4E) 是微分同胚.
引理5. 6 设E = ∩
∞
s= 0
I s, 其中I s (s= 0, 1, 2, ⋯) 是§2中定义的集合, 于是E 的
L ebesgue 测度满足估计m es E E 1- 5D
0
1ö2 .
参 考 文 献
[ 1 ]A rno ld, V. I. , P roof of A. N. Ko lmogo rov’s theo rem on the p reservat ion of
quasiperiodic mo t ion s under sm all pertu rbat ion s of the Ham ilton ian, U sp. M a th.
US S R , 18 (1963) , 13240.
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[ 2 ] Cheng, C. Q. & Sun, Y. S. , Ex istence of invarian t to ri in th ree - dim en sional
m easu re p reserving m app ings, Celestia lM ech. , 47 (1990) , 2752292.
[ 3 ] Cheng, C. Q. & Sun, Y. S. , Ex istence of KAM to ri in degenerate Ham ilton ian
system s, J. D if f . E qua. , 114 (1994).
[ 4 ] Ko lmogo rov, A. N. O n the con servat ion of condit ionally periodicmo t ion s fo r a sm all
change in Ham ilton’s funct ion, D ok l. A kad. N auk. US S R , 98 (1954) , 5252530.
[5 ]Mo ser, J. , O n invarian t cu rves of area2p reserving m app ings of an annu lu s, N ach r.
A kad. W iss. Go t t ingenM ath. 2Phys, KI. II(1962) , 1220.
[6 ]Sevryuk, B. M. , Reversib le system s, L ectu re N otes in M a them a tics, 1211 (1986).
[ 7 ] Svan idze, N. V. , Sm all pertu rbat ion s of an in tegrab le dynam ical system w ith an
in tegral invarian t, P roc. S tek lov Inst. M a th. , 147 (1980) , 1272151.
[ 8 ] Xia, Z. H. , Ex istence of invarian t to ri in vo lum e2p reserving diffeomo rph ism s,
E rg od. T h. &Dy nam. S y s. , 12 (1992) , 6212631.
[ 9 ] Xu, J. X. , You, J. G. & Q iu, Q. J. , Invarian t to ri fo r nearly in tegrab le
Ham ilton ian system s, P rep rin t, (1994).
[10 ] You, J. G. , Invarian t to ri and L agrange stab ility of pendu lum type equat ion s, J.
D if f . E qua. , 85: 1 (1990) , 54265.
[ 11 ] L iu, B. , Boundedness fo r so lu t ion s of non linear H ill’s equat ion s w ith periodic
fo rcing term s viaMo ser’s tw ist theo rem , J. D if f . E qua. , 79: 2 (1989) , 3042315.
346 数 学 年 刊18卷A 辑
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