两点之间的距离（长度）是有函数定义的，欧空间长度只是一种 (图)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/4/4c/Poincare_disc_hyperbolic_parallel_lines.svg/532px-Poincare_disc_hyperbolic_parallel_lines.svg.png 勾股定理（十一）--- 王者归来 [ 我爱莫扎特 ] 小弟这个系列写的又长又慢，读者们想必一头雾水，不知道主线到底是什么。咱们先来整理一下思路。本文的主题么，当然是说明勾股定理有多重要。所谓的勾股定理，其实是欧氏几何的距离公式。几何学的一大任务是要测量几何对象的长度，角度，面积，体积等等，而这一切都建立在最基本的距离公式的基础上。遗憾的是，勾股定理只在欧氏几何学中成立（见非欧几何前传）。当然，这也显示出勾股定理的不凡之处---它与第五公设是等价的。在古怪的几何中，我向大家介绍了几个在非欧几何中与勾股定理类似的公式。不过严格来说，它们和我题目中的勾股定理其实并不是一回事。 为了让大家“看见”双曲几何，我在眼见为实中介绍了一些有趣的模型，更在技术细节中对模型用“度量”的概念加以解释。至此，欧氏几何中以勾股定理的面目出现的“距离”概念被更抽象更一般的“度量”概念所代替。在数学发展史上，一般的度量概念的出现不仅对几何学，甚至于对整个数学都是相当大的进步。而对几何学而言，很明显，勾股定理过时了。随着非欧几何被逐渐认同，人们的思想禁锢被打开，形形色色的几何学如雨后春笋般冒了出来。在十九世纪中叶到下叶的几十年时间里，同时出现了几十甚至上百种几何学，它们有着各自的性质，和各种奇奇怪怪的度量。以前文提到的Beltrami模型（又称Poincare圆盘模型）为例，相信对大多数读者，包括对很多初学数学的大学生来说，模型中出现的那个度量公式令人敬畏。就算能明白它的意思，多半也弄不明白这奇怪的公式是哪里跑出来的。自然的，我们希望了解更深刻更本质的东西。正如再复杂的物质也是有简单的分子，原子构成。到底什么是构成这些不同几何学的分子和原子？ 在眼见为实中我们提到，Klein的Erlangen纲领用群论的方法统一了当时主要的几种几何学，包括同为非欧几何的椭圆几何与双曲几何，但Klein的群论方法只对性质比较好的几何图形有用，而对于我们上文提到的较复杂的曲面无能为力。最终，历史选择了高斯与黎曼提出的微分几何。正是它，帮助人们拨开了笼罩在形形色色的几何学上的迷雾，也让人们了解到几何度量的本质。最终的解答似乎是历史和人们开的玩笑。古老的勾股定理披了一件崭新的微分马甲，微分凛凛的王者归来！这就是本篇文字的主题---微分几何的勾股定理。 咱们还是先从欧氏平面的简单情形开始。我们想知道，如何计算平面上一条曲线的长度？这是微积分最初大展神威的问题。解决办法完完全全体现微积分的核心思想---先切碎了再接起来，也就是前文说的“局部线性化”。 小弟这个系列写的又长又慢，读者们想必一头雾水，不知道主线到底是什么。咱们先来整理一下思路。本文的主题么，当然是说明勾股定理有多重要。所谓的勾股定理，其实是欧氏几何的距离公式。几何学的一大任务是要测量几何对象的长度，角度，面积，体积等等，而这一切都建立在最基本的距离公式的基础上。遗憾的是，勾股定理只在欧氏几何学中成立（见非欧几何前传）。当然，这也显示出勾股定理的不凡之处---它与第五公设是等价的。在古怪的几何中，我向大家介绍了几个在非欧几何中与勾股定理类似的公式。不过严格来说，它们和我题目中的勾股定理其实并不是一回事。 为了让大家“看见”双曲几何，我在眼见为实中介绍了一些有趣的模型，更在技术细节中对模型用“度量”的概念加以解释。至此，欧氏几何中以勾股定理的面目出现的“距离”概念被更抽象更一般的“度量”概念所代替。在数学发展史上，一般的度量概念的出现不仅对几何学，甚至于对整个数学都是相当大的进步。而对几何学而言，很明显，勾股定理过时了。随着非欧几何被逐渐认同，人们的思想禁锢被打开，形形色色的几何学如雨后春笋般冒了出来。在十九世纪中叶到下叶的几十年时间里，同时出现了几十甚至上百种几何学，它们有着各自的性质，和各种奇奇怪怪的度量。以前文提到的Beltrami模型（又称Poincare圆盘模型）为例，相信对大多数读者，包括对很多初学数学的大学生来说，模型中出现的那个度量公式令人敬畏。就算能明白它的意思，多半也弄不明白这奇怪的公式是哪里跑出来的。自然的，我们希望了解更深刻更本质的东西。正如再复杂的物质也是有简单的分子，原子构成。到底什么是构成这些不同几何学的分子和原子？ 在眼见为实中我们提到，Klein的Erlangen纲领用群论的方法统一了当时主要的几种几何学，包括同为非欧几何的椭圆几何与双曲几何，但Klein的群论方法只对性质比较好的几何图形有用，而对于我们上文提到的较复杂的曲面无能为力。最终，历史选择了高斯与黎曼提出的微分几何。正是它，帮助人们拨开了笼罩在形形色色的几何学上的迷雾，也让人们了解到几何度量的本质。最终的解答似乎是历史和人们开的玩笑。古老的勾股定理披了一件崭新的微分马甲，微分凛凛的王者归来！这就是本篇文字的主题---微分几何的勾股定理。 咱们还是先从欧氏平面的简单情形开始。我们想知道，如何计算平面上一条曲线的长度？这是微积分最初大展神威的问题。解决办法完完全全体现微积分的核心思想---先切碎了再接起来，也就是前文说的“局部线性化”。