从变量数学到现代数学（续三）
名师论教
从变量数学到现代数学!（ 续一）
张顺燕! （北京大学数学科学学院! 北京! "##$%"）
& ’ 新几何，新世界
"( 直观几何学! 从直观出发，我们会看清楚为什么会有多种几何学，而不是一种几何学! 借此，
我们也就容易理解在") 世纪几何学中发生了什么! 我们知道，
! ! 几何学是研究几何对象的位置、相互关系和度量关系的!
如在平面欧氏几何中，我们研究点、线、三角形、圆以及它们的相互关系和长度、角度、面积等度量关
系!
先看一维情况，我们来展示两种" 维几何学：直线几何学与圆的几何学，并从三个侧面对它们
进行考察!
关于直线几何学：
"）左右关系! 图" 是一条直线，上面有三个点："，#，$! 这三个点的关系是：" 在# 的左边，# 在$
的左边，" 在$ 的左边! 可见，直线几何学保持“左”的传递性!
*）之间关系! 从图" 还看出，# 在$ 与" 之间! 但是，$ 不在# 与" 之间，" 不在# 与$ 之间!
+）度量关系! 直线的长度是无限的!
关于圆的几何学：
"）左右关系! 图* 是一个圆，圆上面也有三个点："，#，$! 这三个点的关系是，" 在# 的左边，#
在$ 的左边，但是，" 在$ 的右边! 在圆的几何学中不保持“左”的传递性!
*）之间关系! 从图* 可看出，# 在$ 与" 之间，$ 在# 与" 之间，" 在# 与$ 之间!
+）度量关系! 圆的长度是有限的!
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# 在$ 左{ ，"" 在$ 左! ! ! ! ! ! ! ! ! " 在# 左，
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但" 在$ 右
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通过上面的比较，我们看到，直线几何学与圆的几何学是大不相同的! 至于* 维空间存在多种
*
高等数学研究
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! 收稿日期：*##@ A #* A ")
几何学，就不难理解了!
!" 对公设的怀疑引出了非欧几何
从欧氏几何诞生起就有少数人对它忐忑不安，其中包括欧几里得本人! 他们主要怀疑的是第五
公设，即平行公设! 因为只有第五公设涉及到无限，这是人们经验之外的东西! 我们先回顾一下欧几
里得几何的五个公设，它们是：
（#）连接任何两点可以作一直线段；
（!）一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线；
（$）以任意一点为中心，通过给定的另一点可以作一圆；
（%）凡直角都相等；
（&）过已知直线外的已知点只能作一条直线平行于已知直线!
欧几里得的平行公设在#’ 世纪它导致了数学发展史上一些非常重要的结果，这就是非欧几何
的诞生!
第五公设很像个定理，不像个公理! 所以从欧氏几何诞生起，就有很多人想证明它，还有人怀疑
它! 这样对欧氏几何的研究持续了一千多年没有结果! 到了#(、#’ 世纪开始，有人想到用反证法去
证明它! 即假定第五公设不成立，看看能得到什么矛盾，有了矛盾就好说话了! 为了寻找这种矛盾，
在#( 世纪里已经有一些学者，从第五公设不成立的前提出发，颇为深入地发展了一些推论，其中有
萨谢利，兰伯特等! 实质上这已经是非欧几里得几何的发端了，但这些工作的作者没有达到这种认
识!
到了#’ 世纪上半叶，人们终于认识到，否定平行公设将引出新的几何，这就是非欧几何学! 第
五公设不成立是什么意思呢？欧氏几何的平行公设说，
在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线平行!
否定它，就会得到新的平行公设：
（#）在平面内过已知直线外一点，有两条以上的直线与已知直线平行!
（!）平面上任何两条直线都相交!
当时的数学家先假定第一种可能，并进行推理! 他们推出了许多奇妙的结果，但是没有任何矛
盾! 这就逐渐使人们怀疑可能有新几何存在，双曲几何就这么诞生了! 假定第二种可能，引出了椭圆
几何! 历史的大致进程如下：
#(!’ 年俄国罗巴切夫斯基著《论几何基础》!
#($! 年匈牙利波尔约著《绝对几何学》!
这是非欧几何的诞生! 高斯在更早的时候也得到了这些结果，但没有发表! #()# 年德国克莱因将这
种几何定名为《双曲几何》!
#(&% 年德国数学家黎曼发表论文《关于几何基础的假设》，创建椭圆几何!
这两种几何学得到的奇特结论如下表所示：
双曲欧氏椭圆
三角形内角和! " " " # # ! ! " " " # $ ! ! " " " # % !
圆周长与半径!$& # ’ !$& $ ’ !$& % ’
商高定理(! " )! # *! (! " )! $ *! (! " )! % *!
* * 这两种几何都是从逻辑上推导出来的，并且结论奇特，当时并不为多数数学家所接收! 因为看
第#+ 卷第! 期* * * * * * * * * * * 张顺燕：从变量数学到现代数学$
不见，画不出来，也没有一个模型! 直到!"#$ 年黎曼的工作和!"%" 年赫姆霍尔兹的有关任意维几何
流形的一般观点的著作的发表，几何学研究的新思想才站稳脚跟! 不久以后，非欧几何的各种模型
被引入到欧氏空间中，这使得数学界相信，从逻辑观点而言，非欧几何与欧氏几何同样正确! 并且，
在我们生活的世界里，欧氏几何的正确性，不再显然!
&’ 在曲面上的实现
直到人们对曲面的几何有了更多的了解以后，这两种几何才变得容易理解! 双曲几何可以在伪
球面上得到实现! 椭圆几何可以在球面上得到实现!
!）球面几何! !"%" 年意大利数学家贝尔特拉米发表一篇文章《非欧几何的实际解释》! 在该文
中，他给出了椭圆几何与双曲几何的解释! 如果将球面上的大圆视为直线，那么球面上的几何就展
现了一种椭圆几何（图&）! 在这种几何中任何两条直线都相交，而且交于两个交点! 三角形的三个
内角和大于!（图$）! 另一个定理也容易推导出来：一条直线的所有垂线相交于一点! 事实上，赤道
是一个大圆，所有的纬线也都是大圆，它们都与赤道垂直，并交于南北极!
图&
( ( ( ( ( (
图$
我们指出，黎曼几何的每一条定理都能在球面上得到令人满意的解释和意义! 换言之，自然界
的几何或实用的几何，在一般经验意义上来说，就是黎曼几何! 几千年来，这种几何一直就在我们的
脚下! 但是，连最伟大的数学家也没想过通过检验球的几何性质来攻击平行线公理! 我们生活在非
欧平面上，却把它当成一个怪物，真是咄咄怪事！
)）双曲几何的模型! 什么是伪球面呢？伪球面是由一条曲线绕一条固定轴旋转而成的旋转曲
面! 这条曲线叫曳物线，如图# 所示! 曳物线绕轴"# 旋转一周达到伪球面，如图% 所示! 贝尔特拉米
指出，双曲几何可以在伪球面上得到实现! 但是，严格地说，这种实现是不完全的，伪球面不能代表
整个罗巴切夫斯基平面，而只能代表它的一部分!
图# ( ( ( 图%
$ 高等数学研究( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( )**+ 年& 月
后来，!" 克莱因和庞加莱在欧氏平面的圆内给出了罗巴切夫斯基平面! 他是这样做的：在欧氏
平面内取一圆，例如单位圆，庞加莱把圆内的点视为非欧点，在圆内与圆周垂直的直线或圆弧称为
非欧直线，并以适当的方式定义非欧运动和非欧距离! 在这样定义的非欧平面上，平行线就不只一
条，如图# 所!
顺便提及，非欧几何的诞生也激发了艺术家的想象力! 画家埃舍尔用艺术表现了非欧平面，见
图$! 这幅画将庞加莱的双曲几何的模型形象化了!
双曲空间与欧氏空间中的平行线
图#
% % % % % % % %
图$
&" 非欧几何诞生的意义! 非欧几何诞生的影响是巨大的，其重要性与哥白尼的日心说，牛顿的
引力定律，达尔文的进化论一样，对科学、哲学、宗教都产生了革命性的影响! 在非欧几何学问世前，
人类对世界的看法是统一、自信而明确的! 这之后发生了根本性的变化!
在数学史上这可以看成从变量数学时期向现代数学时期的一个转折点! 但其更重要的意义却
是哲学上的! 对此，’" 克莱因说：
“在() 世纪所有的复杂技术创造中间，最深刻的一个，非欧几何学，在技术上是最简单的! 这个
创造引起数学的一些重要新分支的产生，但它最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变了对数
学的性质的理解，以及对它和物质世界的关系的理解，并引出关于数学基础的许多问题，这些问题
在*+ 世纪仍然进行着争论! ”
遗憾的是，在一般思想史中没有受到应有的重视! 它的重要影响是什么呢？
当把新的几何学应用于自然界时，依当时的精确度，其结果与欧氏几何学是一样精确的! 现在
数学家面临这样一个问题：这些几何学，欧氏的和非欧氏的，其中哪一个是自然界的真理？
(）数学空间与物理学空间之间有着本质的区别；但最初人们认为这两者是相同的! 其实，大多
数现代人也这么看! 他们会问：我们的空间不是欧氏空间是什么空间？现代物理学的研究帮助我们
解决了这个问题! 相对论告诉我们，我们的空间不是欧氏空间，而是非欧氏空间!
*）非欧几何的创立扫荡了整个真理王国! 在古代社会，像宗教一样，数学在西方思想中居于神
圣不可侵犯的地位! 数学殿堂中汇集了所有真理! 但是通过波尔约、罗巴切夫斯基、黎曼等人的工
作，这种信仰彻底被摧毁了! 非欧几何诞生之前，每个时代都坚信存在着绝对真理，数学就是一个典
范! 现在希望破灭了！欧氏几何统治的终结就是所有绝对真理的终结! 逐渐地数学家们不再谈论真
理性了，而代之以逻辑的相容性!
（下转第,- 页）
第(+ 卷第* 期% % % % % % % % % % % 张顺燕：从变量数学到现代数学,
难，而通过环量的“矢量内积”形式的定义直接计算环量却非常简单，这时我们可以通过计算环量
来方便地计算第二类曲线积分，即用公式（!）的左边来求其右边! 请看下例：
例"# 计算曲线积分
*"
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其中" % 为曲线$! & #! ’ %（$ ( &，# ( &）的逆时针方向!
解# 由公式（!），此积分可以看作为平面矢量场) % （*）’ #+ % % $, % 沿有向曲线" % 的环量! ’
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以上我们通过举例说明了当) % （*）与$0 % 或$" % 的方向始终一致（相反）或垂直的时候，通量和
环量按照各自“矢量内积”形式的定义非常容易计算，这时根据公式（%）和（!），我们可以通过求通
量和环量来求解第二类曲面积分和第二类曲线积分，并且此时这种方法往往非常简单，而用高等数
学中的方法却较复杂或困难!
参考文献
［%］谢树艺! 矢量分析与场论（第二版）［*］! 高等教育出版社，%(()!
［!］同济大学应用数学系! 高等数学（第五版，下册）［*］! 高等教育出版社，!&&!
888888888888888888888888888888888888888888
!
（上接第* 页）
"）真理性的丧失，解决了关于数学的本质这一古老问题! 数学是像高山、大海一样独立于人而
存在，还是人的创造物呢？答案是，数学确实是人的思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西!
无论是公理还是定理，都是由人写进宇宙的!
’）非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由! 公理概念第一次从现实世
界中分离出来，数学由此而构筑出无穷无尽的合乎逻辑的“纸上世界”，并且细分为理论数学与应
用数学两大部分! 数学既可以看作是一种描述事物如何运动的工具，也可以看作是展示各种逻辑联
系的学科! 数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理体系，只要这种研究具
有一定的意义!
数学经历了一个自由的新生，它不再被束缚于直接从现实世界抽象而得的概念，而有了探索人
类心智的创造的自由! 到%( 世纪末，康托说：“数学的本质在于它的自由! ”他的同时代人+, 克莱因
警告说，自由必须伴随以责任心，即对数学的严肃目的负责!
非欧几何在思想史上具有无可比拟的重要性! 它使逻辑思维发展到了顶峰! 为数学提供了一个
不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理性的智慧拚弃感觉经验的范
例!（待续）
*- 高等数学研究# # # # # # # # # # # # # # # # # !&&. 年" 月
名师论教
从变量数学到现代数学!（ 续一）
张顺燕! （北京大学数学科学学院! 北京! "##$%"）
& ’ 新几何，新世界
"( 直观几何学! 从直观出发，我们会看清楚为什么会有多种几何学，而不是一种几何学! 借此，
我们也就容易理解在") 世纪几何学中发生了什么! 我们知道，
! ! 几何学是研究几何对象的位置、相互关系和度量关系的!
如在平面欧氏几何中，我们研究点、线、三角形、圆以及它们的相互关系和长度、角度、面积等度量关
系!
先看一维情况，我们来展示两种" 维几何学：直线几何学与圆的几何学，并从三个侧面对它们
进行考察!
关于直线几何学：
"）左右关系! 图" 是一条直线，上面有三个点："，#，$! 这三个点的关系是：" 在# 的左边，# 在$
的左边，" 在$ 的左边! 可见，直线几何学保持“左”的传递性!
*）之间关系! 从图" 还看出，# 在$ 与" 之间! 但是，$ 不在# 与" 之间，" 不在# 与$ 之间!
+）度量关系! 直线的长度是无限的!
关于圆的几何学：
"）左右关系! 图* 是一个圆，圆上面也有三个点："，#，$! 这三个点的关系是，" 在# 的左边，#
在$ 的左边，但是，" 在$ 的右边! 在圆的几何学中不保持“左”的传递性!
*）之间关系! 从图* 可看出，# 在$ 与" 之间，$ 在# 与" 之间，" 在# 与$ 之间!
+）度量关系! 圆的长度是有限的!
! ! ! ! ! !
! ! ! ! ! ! ! ! ! " 在# 左，
# 在$ 左{ ，"" 在$ 左! ! ! ! ! ! ! ! ! " 在# 左，
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但" 在$ 右
! ! ! ! ! ! ! ! ! 保持“左”的传递性! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 不保持“左”的传递性
图"! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 图*
通过上面的比较，我们看到，直线几何学与圆的几何学是大不相同的! 至于* 维空间存在多种
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高等数学研究
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! 收稿日期：*##@ A #* A ")
几何学，就不难理解了!
!" 对公设的怀疑引出了非欧几何
从欧氏几何诞生起就有少数人对它忐忑不安，其中包括欧几里得本人! 他们主要怀疑的是第五
公设，即平行公设! 因为只有第五公设涉及到无限，这是人们经验之外的东西! 我们先回顾一下欧几
里得几何的五个公设，它们是：
（#）连接任何两点可以作一直线段；
（!）一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线；
（$）以任意一点为中心，通过给定的另一点可以作一圆；
（%）凡直角都相等；
（&）过已知直线外的已知点只能作一条直线平行于已知直线!
欧几里得的平行公设在#’ 世纪它导致了数学发展史上一些非常重要的结果，这就是非欧几何
的诞生!
第五公设很像个定理，不像个公理! 所以从欧氏几何诞生起，就有很多人想证明它，还有人怀疑
它! 这样对欧氏几何的研究持续了一千多年没有结果! 到了#(、#’ 世纪开始，有人想到用反证法去
证明它! 即假定第五公设不成立，看看能得到什么矛盾，有了矛盾就好说话了! 为了寻找这种矛盾，
在#( 世纪里已经有一些学者，从第五公设不成立的前提出发，颇为深入地发展了一些推论，其中有
萨谢利，兰伯特等! 实质上这已经是非欧几里得几何的发端了，但这些工作的作者没有达到这种认
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到了#’ 世纪上半叶，人们终于认识到，否定平行公设将引出新的几何，这就是非欧几何学! 第
五公设不成立是什么意思呢？欧氏几何的平行公设说，
在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线平行!
否定它，就会得到新的平行公设：
（#）在平面内过已知直线外一点，有两条以上的直线与已知直线平行!
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当时的数学家先假定第一种可能，并进行推理! 他们推出了许多奇妙的结果，但是没有任何矛
盾! 这就逐渐使人们怀疑可能有新几何存在，双曲几何就这么诞生了! 假定第二种可能，引出了椭圆
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#(!’ 年俄国罗巴切夫斯基著《论几何基础》!
#($! 年匈牙利波尔约著《绝对几何学》!
这是非欧几何的诞生! 高斯在更早的时候也得到了这些结果，但没有发表! #()# 年德国克莱因将这
种几何定名为《双曲几何》!
#(&% 年德国数学家黎曼发表论文《关于几何基础的假设》，创建椭圆几何!
这两种几何学得到的奇特结论如下表所示：
双曲欧氏椭圆
三角形内角和! " " " # # ! ! " " " # $ ! ! " " " # % !
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* * 这两种几何都是从逻辑上推导出来的，并且结论奇特，当时并不为多数数学家所接收! 因为看
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不见，画不出来，也没有一个模型! 直到!"#$ 年黎曼的工作和!"%" 年赫姆霍尔兹的有关任意维几何
流形的一般观点的著作的发表，几何学研究的新思想才站稳脚跟! 不久以后，非欧几何的各种模型
被引入到欧氏空间中，这使得数学界相信，从逻辑观点而言，非欧几何与欧氏几何同样正确! 并且，
在我们生活的世界里，欧氏几何的正确性，不再显然!
&’ 在曲面上的实现
直到人们对曲面的几何有了更多的了解以后，这两种几何才变得容易理解! 双曲几何可以在伪
球面上得到实现! 椭圆几何可以在球面上得到实现!
!）球面几何! !"%" 年意大利数学家贝尔特拉米发表一篇文章《非欧几何的实际解释》! 在该文
中，他给出了椭圆几何与双曲几何的解释! 如果将球面上的大圆视为直线，那么球面上的几何就展
现了一种椭圆几何（图&）! 在这种几何中任何两条直线都相交，而且交于两个交点! 三角形的三个
内角和大于!（图$）! 另一个定理也容易推导出来：一条直线的所有垂线相交于一点! 事实上，赤道
是一个大圆，所有的纬线也都是大圆，它们都与赤道垂直，并交于南北极!
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图$
我们指出，黎曼几何的每一条定理都能在球面上得到令人满意的解释和意义! 换言之，自然界
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脚下! 但是，连最伟大的数学家也没想过通过检验球的几何性质来攻击平行线公理! 我们生活在非
欧平面上，却把它当成一个怪物，真是咄咄怪事！
)）双曲几何的模型! 什么是伪球面呢？伪球面是由一条曲线绕一条固定轴旋转而成的旋转曲
面! 这条曲线叫曳物线，如图# 所示! 曳物线绕轴"# 旋转一周达到伪球面，如图% 所示! 贝尔特拉米
指出，双曲几何可以在伪球面上得到实现! 但是，严格地说，这种实现是不完全的，伪球面不能代表
整个罗巴切夫斯基平面，而只能代表它的一部分!
图# ( ( ( 图%
$ 高等数学研究( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( )**+ 年& 月
后来，!" 克莱因和庞加莱在欧氏平面的圆内给出了罗巴切夫斯基平面! 他是这样做的：在欧氏
平面内取一圆，例如单位圆，庞加莱把圆内的点视为非欧点，在圆内与圆周垂直的直线或圆弧称为
非欧直线，并以适当的方式定义非欧运动和非欧距离! 在这样定义的非欧平面上，平行线就不只一
条，如图# 所!
顺便提及，非欧几何的诞生也激发了艺术家的想象力! 画家埃舍尔用艺术表现了非欧平面，见
图$! 这幅画将庞加莱的双曲几何的模型形象化了!
双曲空间与欧氏空间中的平行线
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&" 非欧几何诞生的意义! 非欧几何诞生的影响是巨大的，其重要性与哥白尼的日心说，牛顿的
引力定律，达尔文的进化论一样，对科学、哲学、宗教都产生了革命性的影响! 在非欧几何学问世前，
人类对世界的看法是统一、自信而明确的! 这之后发生了根本性的变化!
在数学史上这可以看成从变量数学时期向现代数学时期的一个转折点! 但其更重要的意义却
是哲学上的! 对此，’" 克莱因说：
“在() 世纪所有的复杂技术创造中间，最深刻的一个，非欧几何学，在技术上是最简单的! 这个
创造引起数学的一些重要新分支的产生，但它最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变了对数
学的性质的理解，以及对它和物质世界的关系的理解，并引出关于数学基础的许多问题，这些问题
在*+ 世纪仍然进行着争论! ”
遗憾的是，在一般思想史中没有受到应有的重视! 它的重要影响是什么呢？
当把新的几何学应用于自然界时，依当时的精确度，其结果与欧氏几何学是一样精确的! 现在
数学家面临这样一个问题：这些几何学，欧氏的和非欧氏的，其中哪一个是自然界的真理？
(）数学空间与物理学空间之间有着本质的区别；但最初人们认为这两者是相同的! 其实，大多
数现代人也这么看! 他们会问：我们的空间不是欧氏空间是什么空间？现代物理学的研究帮助我们
解决了这个问题! 相对论告诉我们，我们的空间不是欧氏空间，而是非欧氏空间!
*）非欧几何的创立扫荡了整个真理王国! 在古代社会，像宗教一样，数学在西方思想中居于神
圣不可侵犯的地位! 数学殿堂中汇集了所有真理! 但是通过波尔约、罗巴切夫斯基、黎曼等人的工
作，这种信仰彻底被摧毁了! 非欧几何诞生之前，每个时代都坚信存在着绝对真理，数学就是一个典
范! 现在希望破灭了！欧氏几何统治的终结就是所有绝对真理的终结! 逐渐地数学家们不再谈论真
理性了，而代之以逻辑的相容性!
（下转第,- 页）
第(+ 卷第* 期% % % % % % % % % % % 张顺燕：从变量数学到现代数学,
难，而通过环量的“矢量内积”形式的定义直接计算环量却非常简单，这时我们可以通过计算环量
来方便地计算第二类曲线积分，即用公式（!）的左边来求其右边! 请看下例：
例"# 计算曲线积分
*"
#$$ % $$#
其中" % 为曲线$! & #! ’ %（$ ( &，# ( &）的逆时针方向!
解# 由公式（!），此积分可以看作为平面矢量场) % （*）’ #+ % % $, % 沿有向曲线" % 的环量! ’
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（*）·$" % ! 因为在曲线" % 上的任一点* 处，) % （*）与$" % 的方向始终相反（可设- % ’ $+ % & #, % ，则因
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以上我们通过举例说明了当) % （*）与$0 % 或$" % 的方向始终一致（相反）或垂直的时候，通量和
环量按照各自“矢量内积”形式的定义非常容易计算，这时根据公式（%）和（!），我们可以通过求通
量和环量来求解第二类曲面积分和第二类曲线积分，并且此时这种方法往往非常简单，而用高等数
学中的方法却较复杂或困难!
参考文献
［%］谢树艺! 矢量分析与场论（第二版）［*］! 高等教育出版社，%(()!
［!］同济大学应用数学系! 高等数学（第五版，下册）［*］! 高等教育出版社，!&&!
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"）真理性的丧失，解决了关于数学的本质这一古老问题! 数学是像高山、大海一样独立于人而
存在，还是人的创造物呢？答案是，数学确实是人的思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西!
无论是公理还是定理，都是由人写进宇宙的!
’）非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由! 公理概念第一次从现实世
界中分离出来，数学由此而构筑出无穷无尽的合乎逻辑的“纸上世界”，并且细分为理论数学与应
用数学两大部分! 数学既可以看作是一种描述事物如何运动的工具，也可以看作是展示各种逻辑联
系的学科! 数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理体系，只要这种研究具
有一定的意义!
数学经历了一个自由的新生，它不再被束缚于直接从现实世界抽象而得的概念，而有了探索人
类心智的创造的自由! 到%( 世纪末，康托说：“数学的本质在于它的自由! ”他的同时代人+, 克莱因
警告说，自由必须伴随以责任心，即对数学的严肃目的负责!
非欧几何在思想史上具有无可比拟的重要性! 它使逻辑思维发展到了顶峰! 为数学提供了一个
不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理性的智慧拚弃感觉经验的范
例!（待续）
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