上次简单介绍了一下形式逻辑（演绎逻辑），https://bbs.wenxuecity.com/teatime/735859.html
刚好看到坛里大家好像对悖论也有兴趣，这一篇就以芝诺的两个悖论为例，和大家一起谈谈其应用。（没看过上一篇也不影响阅读）
我们先回顾一下上次讨论的形式逻辑最简单的一种模式：三段论。
在一个三段论里，第一，二句叫前提(premises)，第三句是结论（conclusion)。有效论证是论证(Argument)里的“形式”正确（类似数学应用题里列式和步骤正确），可靠论证是形式和前提都正确（类似数学应用题本身给的条件和解答都正确。显然，如果题干假设老太太以每小时60mile向前步行，得出的答案自是不具参考价值的）。以此为基础，在辩驳论证不成立时，有两种不同的方式。
第一是指出论证的形式不对，第二是指出论证的前提不对。
我们下面以芝诺（Zeno)的飞矢不动和二分法悖论为例，来讨论一下以上两种方法的应用。
飞矢不动悖论：一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。
我们用三段论重写一下以上论证：
1.箭矢在每一瞬间都不移动。
2.一段时间是由多个瞬间组成的。
3. 结论: 在每一段时间，箭矢都不移动（静止）。
这个悖论的两个前提都是正确的。但是我们要理解，第一个前提里的“不移动”，并不意味着“静止”。
我们说，静止和运动都是需要一段时间才能判定的，因为物体的运动在瞬间点是完成不了的。所谓物体是静止的，是说在相近的瞬间里，物体一直在同一地点。而物体的运动，是在相近的瞬间里物体在不同地点。所以箭矢“不移动”有“歧义”，它可以是说箭矢静止（结论里的意思），也可以是说箭矢的状态不能定义为“移动”（前提里的意思）。
因为前提里的“不移动”和结论里的“不移动”，不是一个意思。所以结论里的词“静止”没有在前提里出现过。我在前一篇提到过，最简单判断形式是不是有效，可以看结论里的词项（term）是不是都在前提里出现过（大多数情况可用）。如果没有，则这个论证形式不对，是一个无效（invalid）论证。
所以以上关于飞矢不动的论证，是一个无效论证。
我们再来看一下二分法悖论：运动是不可能的。由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。
以下是三段论形式：
1. 一段距离，从起点到终点，需要经过无数个路程：先经过从起点到终点的一半（½)，再经过中点到终点的一半(¼)，然后经过中点到终点的一半(?)等等等等。
2. 逻辑上不可能完成无数个路程。
3. 结论：从逻辑上不可能完成一段距离。因为这些点是任意划分点，所以，所有的运动在逻辑上都是不可能的。
如果我们让a代表：一段距离。S代表：需要经过无数个路程。P代表: 逻辑上能完成无数个路程。那么以上的论证形式是：
1. a是S,
2. 没有S是P （No S are P)
3. a不是P
以上形式是正确的，所以它是一个有效论证。那么得出悖论的原因，只能在于前提是错误的。我们这里认为前提2是错误的，也就是说，在逻辑上，一个人可以完成无数个路程。
以下引用罗素的解法：
我们完全可以想象一个人在作任何工作时，效率从低到高，刚开始1分钟，接下来半分钟，等等等等，如果我们一直将工作作下去，那么无限个工作可以在两分钟内完成（1+½+¼+?+…=2)。
这在“现实”不可能，但在“逻辑上”可能。而芝诺的整个讨论，只是在逻辑上的讨论。根据以上分析，运动在逻辑上也是可能的。
题外说一句，有些人认为前提1不合理，因为如果运动不可能，怎么能一上来就已经运动了二分之一了呢？
我们在这里要明白，芝诺是要反驳运动不可能，那怎么反驳呢？有一种方法叫归谬法（Reductio ad absurdum）。就是要证明论题是假的（不能运动），我们先假设论题是真的（能运动），然后根据假设，推出一个矛盾或明显荒谬的结论，由此证明论题为真是错误的。芝诺的二分法悖论，就是应用了归谬法来论证运动的不可能。
如果要认为前提一有问题，我们可以分析在现实里，一段路程不可能“无穷”分下去。我们所谓的“无穷”只是概念上的无穷，比如无穷细分，是我们意识里认为，再小的数也可以被一分为二。而无穷大，是我们认为再大的数都可以加一后更大。但在现实物理世界，真的“无穷”是不存在的。
当然，逻辑论证有些像解数学题，我们可以用不同的方法得出同一结论。所以以上悖论也有其它解释，我列出的只是我看得的解释中，觉得最有道理和条理的。
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