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2011-02-07 13:32:32 烟❀不堪剪 (卍)
只说一点点。不懂外微分，就不能看几何。不懂几何，就不能看相对论。关于外微分的初步知识，可以看龚昇的《微积分五讲》或者他的视频。进一步的知识可以看任何一本advanced calculus，关于流形上的积分法的部分。要严格地学习外微分就要熟悉Grassman代数，这在任何一本现代的讲述微分学的教材里可以找到。
外微分是Eille Cartan在1922年引进的，Darboux做了一些早期工作。简单说来，它的出发点是曲面定向。这使得加在积分中的Jacobian上的绝对值被去掉，因为dx∧dy=-dy∧dx。由这个最基本的规则出发，如果我们考察Fundamental Theorem of Calculus的一些特殊情形，namely Green formula，Gauss formula and Stokes formula，我们能够总结出关于∧的一些性质和运算规则，把它们加到微分形式的集上，就导致现在我们熟悉的外代数结构。这样做显然是一个提高效率的方式，因此一般情形的Stokes定理很快就能够证明。Shiing Shen Chern说：“不讲外微分，就不可能在高维情形说清楚微分和积分是一对矛盾。”说这句话当然是对的，但是这同时表明他不知道数理逻辑的一些基本思想。数学上的严格性不是通过像外微分这种新技术实现的，这并不是一个完善微积分基础的过程。显然，这里严格性的出现是因为借助于外微分，我们能够给出流形上积分的严格定义，这样我们能够说清楚一些事情。回想高数课本和古典的分析课本，那里从来没有出现过曲面上积分的严格定义，不是么？假如你认为是严格的，那么你就要努力学习了，因为差很多。事实上，那里根本没有定义，借助于几何直观推导曲面积分公式，这在任何时候都不是数学上承认的做法，或者说严肃的数学不允许出现这种步骤。
古典微分学的所有概念和观念已经完全淘汰了，学了也白搭，所以这样的书要尽快扔掉，不要拿这种书自娱自乐。举例来说，现代数学不承认什么“一阶微分形式不变性”或者“高阶微分形式不变性的破坏”，你应该去看pull back。古典微分学之所以落后，是因为没有映射的观念，观念完全是标量的。这不足取，现代微分学改变了这一点，从而整个理论又开始活跃了。比如微分，是以映射为像的映射，不是古人所认为的增量。
这场观念的变革的一端是Eille Cartan基于外微分的一系列工作，这导致了微分被定义为微分形式非常特殊的情形；另一端是整个现代数学的发展，尤其是Functional Analysis。Functional Analysis中最重要的观念是对偶的观念。简单说来，考虑两个Banach空间E和F，L(E;F)也是Banach空间。假如你读过Jean Dieudonne的书Treatise on Analysis，那么你一定对这段话有印象：
现代数学和古典数学最大的区别，可能在于对于记号f(x)，从前f作为映射，x作为自变量理解为标量。现在我们可以固定x，把x理解成作用在f上的映射···
显然，这段话深刻而形象地概括了很多现代数学分支在观念上的改变。特别地，作为微分学，f'(x)现在是一个映射，f'(x)(1)是传统意义上的导数。
这里仅仅是思想上最基本的介绍。要理解这些美妙的理论，你需要静下心来看一本现代的微分学教材，Spivak的书是不够的，你需要Dixmier或者Henri Cartan的书。另外，外微分这个工具，没有人比Shiing Shen Chern更加熟悉，要充分掌握它，也许需要Chern本人的一些论著。这个工具如果用得好，在几何上的威力是巨大的。这方面第一个例子是Eille Cartan用它毫不费力地证明了Gauss曲率是内蕴量。
Dieudonne本人的经历实际上让人感慨良多。他博士毕业以后好几年都不知道什么是一个ideal。当时的法国，只有Eille Cartan一个人懂得现代数学。如今我们可以在大一就熟悉什么是ideal，什么是外微分，但是很多人没有这样做，很多人也不让我们这样做。打着巩固知识的旗号做题，实际上是把自己关在暗无天日的井底。日复一日，做出伟大工作的可能性也就丧失殆尽。
