•單連通空間是其自身的萬有覆疊空間。•在單連通流形上，一次微分形式 ω 正合的充要條件是 dω = 0。

来源: marketreflections 于 2011-07-07 11:55:28 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (11240 bytes)

單連通

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這個集合不是單連通的，它有三個洞。

在拓撲學中，單連通是拓撲空間的一種性質。直觀地說，單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。

[编辑] 定義

考慮道路連通之拓撲空間 $X$ 。若 $X$ 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點，則稱該空間為單連通的。換言之，對任意連續映射

$\gamma: \mathrm{S}^1 \to X$

存在一點 $x \in X$ 及同倫等價 $h: [0,1] \times \mathrm{S}^1 \to X$ 使得

$\forall t \in S^1, \; h(0,t)=\gamma(t)$

$\forall t \in S^1, \; h(1,t) = x$

另一種等價的敘述是：存在映射 $k: D^2 \to X$ ，其中 $D 2$ 表二維單位圓盤，使得 $k|_{S^1} = \gamma$ 。

若拓撲空間 $X$ 可寫成單連通開子集之并，則稱之為局部單連通。微分拓撲學所論的空間（例如流形）通常不外此類。

根據基本群的定義，可知空間 $X$ 單連通之充要條件為： $X$ 道路連通，且 $π 1 (X, x) = {e}$ ；此處可取任意基點 $x \in X$ 。由此可見空間的單連通性僅依賴於其同倫等價類。

將球面的赤道連續地收縮至一點

單位圓盤 $D^n := \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n : \|x\| \leq 1 \}$ 均為單連通
二維以上球面 $S^n := \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x\| = 1 \}, n \geq 2$ 均為單連通。然而 $S 1$ 並非單連通： $\pi_1(S^1,*) = \mathbb{Z}$ 。
穿孔之歐氏平面 $\mathbb{R}^2 \setminus \{\vec 0\}$ 非單連通。事實上，它同倫等價於 $S 1$ 。
$\mathbb{R}^3 \setminus S^1 \times \{0\}$ 非單連通。

單連通空間是其自身的萬有覆疊空間。
複分析中的黎曼映射定理分類了 $\mathbb{C}$ 中的單連通開子集：這種子集或者是 $\mathbb{C}$ 自身，或者同構於單位開圓盤 $\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \}$ 。同構在此指黎曼曲面意義下的同構。
在單連通流形上，一次微分形式 $ω$ 正合的充要條件是 $d ω = 0$ 。

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