http://susy.lamost.org/blog/?p=72
susy物理学笔记（五）——内部对称性
by chancewu on Apr.07, 2009, under 来自其他世界的克隆, 超级对称~现象学
我们在前几片笔记中简单地讨论了一下Poincare对称性，按照我的逻辑，我将继续介绍对称性的问题（因为它是如此重要），这一次介绍内部对称性。我首先要声明一下，我主要讨论规范对称性。
这是一个很大的话题，有关规范对称性的专著多如牛毛，我基本上没看过，因此我在这里只能提供简单的介绍，已经熟悉规范对称性的朋友们完全可以跳过这一份笔 记。学过电动力学（甚至是普物电磁学）的朋友们一定都还记得矢势标势和规范变换，让我们用协变的语言来重新表述这个问题。在狭义相对论中，电磁场场强是一 个2阶反对称张量场，场强张量满足的运动方程一个是对它做外微分得到四电流密度dF=J，另一个是它的对偶场做外微分为零d*F=0。第一个方程写成大家 熟悉的形式就是电场强度的散度为电荷密度，磁感应强度的旋度是电流密度加位移电流密度。第二个方程就是电场强度的旋度为磁感应强度的变化率，磁感应强度的 散度为零。这四个方程中有两个是运动方程，两个是约束。因此，电磁场是一个带有约束的动力学系统（无论是否有源），实际上，这是所有规范场的一个普遍的特 征。很多时候，一些讲理论力学的教科书都不会深入涉及带有约束的系统，作为理论力学这种入门课程而言，对于约束系统这种比较复杂的对象较少涉及是没有问题 的。但是某些书中提到的理由却是不正确的，有些书上说之所以不讨论约束系统是因为现代物理学的研究对象，比如微观物理学关注的对象都是不含约束的系统。从 上面的讨论我们看出，这样说是不恰当的，因为我们研究的规范场都是约束体系，而且还是微分约束，引力场也是一样的。规范场的约束在我们进行量子化的时候会 带来一些麻烦，我想大家对电磁场的正则量子化应该有比较深刻的印象吧，没印象或者没学过也没关系，总之是要加很多麻烦的条件。这里面还有一个问题，那就是 这两个方程（dF=J和d*F=0）是不对称的，事实上这是我们的习惯而已，我们完全可以把它写得更对称一些，这并不意味着磁单极子一定存在（我在这里就 不介绍这个问题了，有兴趣的朋友可以参见Jackson，或者梁老师的下册），但这种写法是大家比较熟悉的，而且看起来比较简洁。
Minkowski时空的拓扑结构异常简单，就是R4，它的2阶同调群是平凡的，由de Rahm定理，它的2阶上同调群也是平凡的。因此对于任意的2阶反对称张量场F（以后我们简称为2-形式）一定存在一个整体的1-形式A，使得F=dA。 所谓规范变换，就是说，对于任意的0-形式a，如果我们对A进行变换A'=A+da，则A'与A对应于同一个场强张量F。这里有一个问题，那就是A和F究 竟哪一个真正地描写着电磁场，说得更准确一些就是，我们找到四势A究竟是纯粹的数学还是有更深的物理学意义？这个问题在经典物理中如何回答我不知道，我想 在经典物理学中四势的数学意义恐怕大于它的物理意义。但是在量子物理中，AB效应是对这个问题的一个有力的回答。对于F的进一步分析与Hodge理论有很 大的关系，遗憾的是我不懂Hodge理论，只好简单地提两句。定义紧流形上的p-形式a与b的内积为a与b的对偶的外积的积分，在这个意义上余微分算子是 外微分算子的伴算子，无源场方程告诉我们F在Laplace算子的作用下为零，就是说F是一个调和2-形式。Hodge理论中的一个很重要的定理告诉我 们，任意一个紧流形上p-形式总可以写成一个恰当形式、一个余恰当形式和一个调和形式的和，而且这一分解是直和分解。
再说下去数学会越来越多，这就偏离了我们的主题。我们从整体的内部对称性出发，所谓整体的内部对称性，从逻辑上讲，首先要有一个对称性群。这个对称性群对 于电磁理论就是U(1)群，对于强相互作用理论就是SU(3)群。简单起见，我们以U(1)理论为例讨论这个问题。这个时候，我们的场函数取值不仅是在 Lorentz群的表示空间上，而是在Lorentz群的表示空间与内部对称性群U(1)的直积上。我们既可以对场函数作Poincare变换，也可以做 U(1)变换。我们可以想象一维空间标量场的情况，由于U(1)拓扑同胚于S1，我们可以将场函数的U(1)自由度想象成是在一维直线上的每一点都长出一 个圆（这样就成了一个圆柱面），场的某种U(1)位形就是圆柱面上的一条线，我们做整体U(1)变换直观上就是把这根线整体地沿着S1的方向推一下，而保 证线的几何形状不变。于是我们看到，这实际上相当于一次S1方向坐标零点的重新选择，如果物理的结果与这种重新选择无关，就说明这种对称性是我们的体系所 具备的。也就是说，物理性质只与坐标背后的几何有关。具体到场函数上，就是乘一个整体相因子。这时，根据Noether定理，我们有一个新的守恒流，对它 进行积分会得到一个新的守恒荷——U(1)荷。
在实验中，问题并不是遵循着逻辑的。往往是我们总结出某种守恒量，比如轻子数守恒，进而得到相应的对称性，这是任何一门粒子物理课都会讲的内容。想必大家 都已经比较熟悉了。然而我们要问的问题是：上面的整体变换是否可以局域化？其中的几何图像是很清楚的，即便是你不对场函数做任何操作，我拧一下这个圆柱面 （这相当于一个局域的相因子变换，因为当你拧这个圆柱面的时候，等效的每一空间点对应的相因子变化是不同的），然而这于这个圆柱面的几何仍然是没有影响 的，物理性质是否应该改变呢？如果物理性质仍然不发生变化，我们就说上面的对称性是局域的，或者说是一种规范对称性。在进一步涉及数学之前，我们要意识 到，即便是几何没有改变，我们仍然需要引入一个物理量来描述这个圆柱面被拧后它的“张力”分布是怎样的，不然我们就丢失了体系的一部分信息，这一部分信息 的丢失会使得我们无法判断各种表观场位形之间的关系。我们将看到，这个“张力”分布就是新引入的规范场。
现在让我们用数学的语言来整理一下前面的直观分析。在时空流形的每一点上都“植入”一个流形得到的结构叫做“纤维丛”（这个说法是不完备的，要成为纤维丛 还需要其它的条件），当我们在底流形的点上“种植”流形时，每走一步都要小心地把它和相邻的种植上的流形粘接好（如果粘错了会有大麻烦，比如一条带子如果 粘不好也许会变成一条莫比乌斯带）。一个正式的微分纤维丛有以下几个部分组成：底流形B，丛流形E，结构群（一般要求是Lie群）G，纤维型Y，转换函数 和从E到B的投影映射p。在规范场问题中，底流形就是我们的时空流形，结构群在纤维型上面有一个左作用，p是一个满射，且B中每一点的原像都与Y同胚，这 就意味着种上去的都是Y。当我们选定B的一组坐标系后，对于每一个坐标邻域U，都存在一个U在p下原像与U和Y的积流形之间的微分同胚（这叫做局部平 凡），这样我们说，U上的每一根纤维被赋予了一个Y典范结构。对于不同坐标邻域，某一根纤维被赋予的典范结构可以是不同的，但一定被结构群中某个元素在Y 上的左作用联系，对于两个有交的坐标邻域，上面的联系在其交集上定义了一个取值在结构群上的函数，我们称这个函数为转换函数，要求这些转换函数光滑。可以 证明，只要给定转换函数，微分纤维丛就被唯一确定了。我们说只要求结构群在纤维形上有一个左作用，有两种情况是我们特别关心的。第一种情况是，纤维型就是 结构群，这时左作用就是左乘，这种纤维丛称为主丛（principal fibre bundle）。第二种情况是，纤维型构成结构群的一个线性表示，切丛、余切丛和张量丛都是这种情况。值得我们注意的是，结构群的Lie代数构成它的一个 线性表示。我们最后介绍一下截面的概念，所谓截面就是从底流形到丛流形的一个光滑函数f，满足p(f(x))=x。在我们上面提到的例子中，圆柱面就是一 个简单的U(1)主丛，而场函数是这个U(1)丛的一张光滑截面。整体对称性意味着，纤维型U(1)（作为Lie群有一个自然的度规张量场，那就是Lie 代数的Killing型）存在一个Killing矢量场，而与这个纤维丛的具体性质并无太深的关系，正是由于这个原因，纤维丛在规范场出现之前并没有引起 物理学家的注意。当我们“拧”了这个圆柱面之后，再描述场位形时就需要知道这时候这张圆柱面的张力分布是如何的。如果我们在原来的圆柱面上画出直母线，那 这个张力问题也就是问，当我们拧过圆柱面之后这些原来的直母线的形状如何。我们从纤维丛的定义可以看出，对于丛流形上的一点，我们很清楚哪个方向是沿纤维 型的方向（因为有投影映射），但是哪个方向是相应的横向方向是不明了的（因为没有内积，我们不能定义垂直，所以没有哪个与纵方向线性独立的方向是特殊 的），因此我们需要在每一点的切空间“规定”一个直和分解，告诉大家哪个方向是横方向，在圆柱面的例子中就是告诉大家那个位形是没有张力的。如果原来的圆 柱面可以看作是一摞圆环，我们可以任意拧动不会有阻碍，上面的“规定”就好像把圆环与圆环用线联系起来，使我们在拧它的时候会遇到阻力，因此这个对切空间 直和分解的规定叫做这个主丛的联络（connection）。和我们熟悉的切丛的情况一样，给出了联络就等价于定义了“平移”的概念（这是很直观的，给定 一点由局部平凡的存在性和Frobenius定理，我们总可以在局部得到一个积分子流形，它和底流形的结构是相同的，因此，“平移”的概念被确定了）。于 是对于一个局部平凡，由于我们有坐标横方向（就是纤维型坐标不变的方向），给出联络就意味着给出真正的横方向与坐标横方向的差，这就需要每点给出n个（n 是底流形的维数）沿纵方向的切矢A（显然在结构群的Lie代数中），我们也称这些A为联络，当选取不同的局部平凡时，A之间的变换满足gA'=Ag+dg(注意，更正！)， 其中g为转换函数，这正是我们熟悉的“联络”的变换规则。通过上面的分析，我们看到，联络原本是一个很自然很直观的东西，而不仅仅是在坐标变换下的一堆满 足复杂变换关系的量。我们知道，对于一般的流形，场的导数应该取协变导数（坐标导数是一个没有意义的量），之所以在平直时空量子场论中我们取坐标导数，是 因为我们总可以找到一组坐标覆盖使得时空的切矢量丛、余切矢量丛和张量丛的联络在这组坐标系中为零。但是当我们考虑时空上的某个主丛时，没有理由先验的认 定它的联络也存在上述性质，因此我们求导数时应该写成协变导数形式。于是我们的场Lagrange密度中出现了n个取值在结构群Lie代数上的场，由于这 n个场实质上是1-形式场的n个分量，因此我们可以说得到了一个取值在结构群Lie代数上的1-形式场（这也是很直观的，当我们比较坐标横切子空间和横切 子空间时，我们实际上有两个m维子空间，它们的交是m-1维子空间（记得两条直线的交是一个点，两张面的交是一条线），这个m-1维子空间在坐标横切子空 间中有一个自然的法余矢（注意，没有自然的法矢），实际上就是这个1-形式），这就是我们的规范场A。
不厌其烦地说了这么多，总算把物质场这边的事说了个大概齐，也引出了规范场。至于规范场部分，再说就太长了，放在下一篇笔记中介绍吧。
Looking for something?
Use the form below to search the site:
Still not finding what you're looking for? Drop a comment on a post or contact us so we can take care of it!
Archives
All entries, chronologically...
