外微分01 若M为流形，则函数为M到R的映射: f: M-> R； 所有这样的C无穷映射构成“函数空间”C

来源: marketreflections 于 2011-07-07 10:10:21 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (6435 bytes)

微分流形间的映射作用到其结构上，比如作用到函数、矢量、张量上，为什么不用最简单的方式，而是有的推前有的拉回呢？希望懂的人回答下

2楼

因为流型间的映射是点与点之间的对应（给定M上的一点，给出N上的某一点），而它可以诱导出定义在流型M上的微分形式到定义在N上的微分形式的一个或一些“算子”

3楼

若M为流形，则
函数为M到R的映射: f: M-> R； 所有这样的C无穷映射构成“函数空间”C(infinity)
切向量为C(infinity)空间到R的映射： X: f->R； 所有这样的C无穷映射构成“函数的函数的空间”V(infinity)
张量为V(infinity)空间到R的映射： T: X->R； 所有这样的C无穷映射构成“函数的函数的函数的空间”W(infinity)

三个东西仿佛三阶楼梯，每一个比前一个高一截，每一个作用于前面一个的元素上。于是，如果定义了一个从流形M到流形N上的映射F: M->N。那么在M上的p点给出任一个切向量Xp，都能“诱导”出N上的F(p)点的一个切向量Y_{F(p)}。这个叫做“推前pushforward”
因为张量空间与切向量空间是对偶空间，所以根据互反的原则，对于N上的F(p)点的任一个张量T_{F(p)}，都能“诱导”出M上的p点的一个张量Sp。这个叫做“拉回pullback”
为什么一个是推前一个是拉回呢？简单地理解就是因为张量空间与切向量空间是对偶空间。这两个空间的“档次”是不一样的。一个空间作用在另一个空间上。因此当一个为推前另一个就是拉回了

4楼

其实是说，如果定义了流形间的映射，可以只用这个，不用额外的定义，诱导出那些几何对象的映射，如果可以画个图就清晰多了。
流形映射
流形M -> 流形N -> 实数
函数f
实数 <- 各种在M上的光滑函数 <-各种在N上的光滑函数
切矢
M中点的切矢空间 -> N中点的切矢空间 -> 实数
对偶矢量
实数 <- M里的对偶矢量空间<-N里的对偶矢量空间
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