单原子单模光场相互作用系统的纠缠 单原子双模光场相互 作用系统的纠缠
第 ２５卷 第 ３期
２００８年 ５月
量 子 电 子 学 报
ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＵＡＮＴＵＭ ＥＬＥＣＴＲＯＮＩＣＳ
Ｖｌ
０１．２５ Ｎｏ．３
Ｍ ａｖ ２００８
文章编号： １００７—５４６１（２００８）０３—０３２２—０６
高斯型耦合 Ｔａｖｉｓ－Ｃｕｍｍｉｎｇｓ模型的纠缠特性
邹 艳 ，李永平 ，。
（１德州学院物理系，
山东 德州 ２５３０２３；
２ 山东省生物物理重点实验室，
山东 德州 ２５３０２３）
摘 要 ：研究了高斯型耦合 Ｔａｖｉｓ—Ｃｕｍｍｉｎｇｓ模型的量子纠缠特性，利用量子约化熵研究了相干光场 一双原
子之间的纠缠，利用 Ｎｅｇａｔｉｖｉｔｙ熵研究了两原子之间的纠缠，运用数值计算方法讨论了原子垂直于腔轴的运动
速度和系统的初态对场 一原子以及原子一原子纠缠的影响。结果表明，两种纠缠具有相似的时间演化规律，但对
应于同一时刻，场 一原子间的纠缠越强，两原子间的纠缠越弱。原子的运动速度对纠缠具有明显的调制作用；
光场的初始光子数越大，熵的Ｒａｂｉ振荡频率越大，振幅越小；而改变原子的初态时，熵的时间演化规律是相似
的。
关键词 ： 量子光学； Ｔａｖｉｓ—Ｃｕｍｍｉｎｇｓ模型；高斯型耦合系数；量子纠缠
中图分类号 ：０－４３１．２
文献标识 码 ：Ａ
Ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａｔｏｍｓ ｉｎ Ｔａｖｉｓ－Ｃｕｍｍ ｉｎｇｓ
ｍ ｏｄｅｌ ｗｉｔｈ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇ
ＺＯＵ－Ｖａｎ ，一．ＬＩ Ｙｏｎｇ－ｐｉｎ￣，
（１ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｄｅｚｈｏｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｄｅｚｈｏｕ ２５３０２３， Ｃｈｉｎａ；
２ Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｉａｌ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｂｉｏｐｈｙｓｉｃｓ， Ｄｅｚｈｏｕ ２５３０２３， Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｈｅ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｔｉｍｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｔａｖｉｓ—Ｃｕｍｍｉｎｇｓ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉ—
ｇａｔｅｄ．Ｔｈｅ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｆ
ｉｅｌｄ ａｎｄ ｔｗｏ ａｔｏｍｓ ｉｓ ｅｘｐｌｏｒｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｒｅｄｕｃｅｄ
ｅｎｔｒｏｐｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ａｔｏｍｓ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｎｅｇａｔｉｖｉｔｙ ｅｎｔｒｏｐｙ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒ—
ｉｃａ
ｌ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｉｎｆ
ｌｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｔｏｍｉｃ ｍｏｔｉｏｎ ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａ
ｒｉｔｙ ｔｏ ｔｈｅ ａｘｅｓ ｏｆ ｒｅｓｏｎａｎｔ ｃａｖｉｔｙ ａｎｄ ｉｎｉｔｉａｌ
ｓｔａｔｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｎ ｔｈｅ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ
ｔｗｏ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔｓ ａ
ｒｅ ｓｉｍｉｌａ
ｒ ．Ｂｕｔ ａｔ ｔｈｅ ＳａｌＴｌｅ ｔｉｍｅ ｔｈｅ ｓｔｒｏｎｇｅｒ ｔｈｅ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆ
ｉｅｌｄ ａｎｄ ｔｗｏ
ａｔｏｍｓ ｉｓ，ｔｈｅ ｗｅａｋｅｒ ｔｈａｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ａｔｏｍｓ ｉｓ．Ｔｈｅ ｍｏｔｉｏｎ ａｆｅｃｔｓ ｔｈｅ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ．Ｗ ｈｅｎ ｔｈｅ ｍｅａｎ
ｐｈｏｔｏｎ ｎｕｍｂｅｒ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ，ｔｈｅ Ｒａｂｉ￣ｅｑｕｅｎｃｙ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｄｅｃｒｅａｓｅｓ．Ｗ ｈｅｎ ｔｈｅ
ａｔｏｍｉｃ ｉｎｉｔｉａ
ｌ ｓｔａｔｅ ｃｈａｎｇｅｓ，ｔｈｅ ｅｎｔａ
ｎ ｇｌｅｍｅｎｔ ａｐｐｅａ
ｒｓ ｓｉｍｉｌａ
ｒ ｔｉｍｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｑｕａｎｔｕｍ ｏｐｔｉｃｓ；Ｔａｖｉｓ—Ｃｕｍｍｉｎｇｓ ｍｏｄｅｌ；Ｇａｕｓｓｉａ
ｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇ；ｑｕａ
ｎ ｔｕｍ ｅｎｔａ
ｎ ｇｌｅｍｅｎｔ
引 言
量子纠缠是量子力学最显著的特征之一，是量子信息处理的一种重要的物理资源，它在量子信息处理
的量子隐形传态、量子编码及纠错、量子密钥分配和量子计算中具有重要应用 ［ ，引。量子纠缠的关键问题
之一是纠缠态的制备，在理论和实验上对单原子单模光场相互作用系统的纠缠 ｆ引、单原子双模光场相互
作用系统的纠缠［ ，引、双原子单模光场相互作用系统的纠缠已进行了大量的研究 ［６￣１０】。Ｔａｖｉｓ—Ｃｕｍｍｉｎｇｓ
（Ｔ—ｃ）模型描述了多个两能级原子与单模光场的相互作用，近年来人们对此已进行了较深入的研究，其成
作者简介： 邹 艳 （１９６４一），女，山东平原人，副教授，硕士，从事量子光学和量子信息学研究工作。Ｅ—ｍａｉｌ：ｄｚｚｏｕｙａｎ￣１６３．ＣＯｉＴＩ
收稿日期 ： ２００７－０７—１６； 修改日期 ： ２００７—０９—３０
第 ３期
邹 艳等：高斯型耦合 Ｔａｖｉｓ—Ｃｕｍｍｉｎｇｓ模型的纠缠特性
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果有望在量子光学和量子信息领域得到应用。但对于通常的Ｔ—Ｃ模型的研究，原子与场的耦合系数是作为
常数处理的，而实际问题中，它可能是变化的，文献 ［１１］研究过原子沿具有驻波场的谐振腔腔轴运动时，
Ｔ—Ｃ模型中光场的非经典特性；文献 ［１２］研究过高斯型耦合 Ｔ—Ｃ模型的布居数反转和原子的偶极压缩特
性；但关于高斯型耦合 Ｔ—Ｃ模型的纠缠特性研究还未见报道。本文中，我们研究了高斯型耦合 Ｔ—Ｃ模型
中场 一原子以及原子一原子的纠缠演化规律，分析了原子垂直于腔轴沿径向匀速运动的速度、光场的初态
平均光子数及原子的初态对纠缠的影响。
２ 理论模型及其波函数．
考虑两全同的二能级原子在垂直于谐振腔腔轴的平面内沿径向运动，两原子同时出发，速度相同。光
场是单模的，腔内电场强度沿径向Ｐ呈高斯分布，原子与场的耦合系数为 ｇ／（ｔ），其中ｇ为耦合系数，
）＝ｅ—ｐ。／ ，
为腔内光场沿径向分布的有效半径，当Ｐ＝￣Ｐｏ时，ｆ（ｔ）已减少为轴线处的１／ｅ倍。设 ｔ＝０时，原子
位于Ｐ＝一２ｐ处，原子运动的速度
＝
ｋｇｐｏ
ｋ为描述原子速度变化的常数。则Ｐ＝ｕｔ一２ｐｏ，
，（ ）＝ｅ一（／ｇ 一 ，
（３）
当ｇｔ＝０或ｇｔ＝４／ｋ时，，（ ）＝ｅ－４＝０．０１８≈０，所以原子与光场的有效作用时间约为 ｔ。＝４／ｇｋ。耦合
系数由 （３）式描述的双原子一单模光场系统构成 ＧＴ—Ｃ模型。为简单起见，这里不考虑原子间的偶极 一偶
极相互作用。在偶极近似和旋波近似的条件下，系统的哈密顿量可表示为 （ｈ＝１）［１１ １２】
Ｈ：Ｈｏ＋Ｖ，凰： 。＋。＋ ∑２
，
１
２
Ｖ＝ｇｆ（ｔ）Ｅ（ａ＋ｓ ＋０ｓ ），
（４）
： ｌ
其中ａ和０＋表示光场的光子产生和湮灭算符，
、ｓ 和 ｓ 是第 ｉ（ｉ＝１，２）个原子的赝自旋算符，考
虑原子与光场共振的情况，
为原子的本征频率与光场的频率。
由于 （ ），ｖ（ｔ，）］＝０，在相互作用绘景中时间演化算符为
ｕ（ｔ）＝ｅｘｐ［－ｉＶＦ（ｔ）］，
（５）
其中 ＝ｇｆ（ｔ）∑ （０＋ｓｉ＋ａｓ＋）为原子静止时，两原子与光场的相互作用哈密顿量。
Ｆ（ ）＝／ｏ ，（ ） ＝ｔ ｅｘｐ［一（ｋｇｔ－２） ］
（６）
设 ｔ＝０时光场处于相干态，原子处于相干叠加态
Ｊ （０））＝［ｃ。ｓ曼Ｊ夕 ，夕 ）一ｓｉｎ罢ｅｉ￣Ｏ［ｅ ，ｅ ）］Ｊ ），（０ 丌，一丌＜ 丌）ｊ
（７）
则 ｔ时刻系统的态矢为
（０））＝∑ ［ （ ）Ｉ札１，ｍ）＋Ｃ￣（ｔ）Ｌｕ２ ｍ）＋Ｃ３（ｔ）Ｌｕ３，ｍ）］，
（８）
ｍ ＝Ｏ
三个对两原子具有交换对称的波函数构成的基矢为
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ｌＵ１）＝ｌｅｌ￣ｅ２）， ｌｕｇ）＝ １（ ｅ ）＋『ｅ１， ））
，
ｌｕ３）：Ｉｇｌ， ），
：
ｃｏｓ
ｓ
ｓｉｎ
［（ｍ＋１）ｃｏｓ ＋ｍ＋２］晰
），
＝
ｃｏｓ
‰
＋
豳 ｅ＇’ｅ ｓｉｎ３＇．‰
㈦ ，
）： ｃｏｓ（ｍｃｏｓ６＋ｍ－１ Ｊｍ（ｍ罕－１）ｓｉｎ （ｃｏｓ６－１ （ ），
其中
＝
＋６ｇＦ（ｔ）， ７＝
＋２ｇＦ（ｔ）， ＝
－２ｇＦ（ｔ）， ］ｍ（ ）：ｅ一
在（８）、（１ｏ）￣０２）式中，若令Ｆ（ ）三ｔ，则过渡到静止时一般 Ｔ—Ｃ模型的情况 ［１２１。
系统的密度矩阵为：ｐ（ｔ）＝ｆ （ ））（ （ ）ｆ。通过对光场求迹，原子的约化密度矩阵为
ｐａ（ ）＝Ｔｒｆｆ （ ））（ （ ）Ｊ：
∑ １（ｍ， ） （ｍ，ｔ）
Ｅｃ２（ｍ，ｔ）ｃ （ｍ，ｔ）
∑ （ｍ，ｔ）ｃｒ（ｍ，ｔ）
∑ （ｍ， ） （ｍ，ｔ）
Ｐｌｌ Ｐ１２
Ｐ２１ ｐ２２
Ｐ３１ Ｐ３２
Ｐ４１ Ｐ４２
Ｐ１３ Ｐ１４
ｐ２３ ｐ２４
Ｐ３３ Ｐ３４
Ｐ４３ ／９４４
∑ １（ｍ， ） （ｍ，ｔ）
∑ （ｍ，ｔ） （ｍ，ｔ）
∑ （ｍ， ） （ｍ，ｔ）
∑ （ｍ， ） （ｍ，ｔ）
∑ １（ｍ， ） （ｍ，ｔ）
Ｅｃ２（ｍ，ｔ）Ｇ（ｍ，ｔ）
∑ （ｍ， ） （ｍ，ｔ）
∑ Ｃ３（ｍ， ） （ｍ，ｔ）
（９）
（１０）
（１１）
（１２）
∑ １（ｍ， ） （ｍ，ｔ）
Ｅ ｃ２（ｍ，ｔ） （ｍ，ｔ）
∑ （ｍ， ） （ｍ，ｔ）
∑ （ｍ， ） （ｍ，ｔ）
（１４）
３ 场 一两原子间的纠缠特性
对于我们所设的初始条件，本文所考虑的系统可看作两体纯态量子系统，两原子与单模相干场之间的
纠缠度可以用两原子或光场的量子约化熵来度量 根据 Ｐｈｏｅｎｉｘ和 Ｋｎｉｇｈｔ［１３，１４］提出的量子熵理论，光场
一
原子相互作用系统中场 （原子）熵演化行为反映了光场与原子关联程度的演化特性，熵越高关联越强，可
作为光场 一原子相互作用系统纠缠程度的量度。由于光场和原子在初始时刻均处于纯态，彼此无关联，则
光场 一原子系统的熵为零且不随时间变化。根据Ａｒａｋｉ—Ｌｉｅｂ不等式
｛ 一 ｆ Ｓ ｆＳａ＋Ｓｙ｛，
（１５）
在ｔ＞０的任意时刻，光场与原子的熵相等 系统的场 （原子）熵为
４
（ ）＝Ｓａ（ ）＝一Ｔｒ。［ｐ。（ｔ）Ｉｎｐ。（ ）］＝一∑ ＩｎＡｊ，
（１６）
ｊ＝ｌ
式中 （Ｊ＝１，２，３，４）为原子约化密度矩阵的本征值。
下面借助于数值计算，分析高斯型耦合 Ｔ—Ｃ模型中场与两原子的纠缠特性
图１和图２给出了场 一两原子间的纠缠 ｓ（ｔ）演化特性，其中的双原子初始时刻均处于激发态。
如果光场为
＝１０的相干态，双原子垂直于腔轴以不同的速度运动时，由图 １可知场熵随时间的
演化规律，与一般的 Ｔ—Ｃ模型 （图线 （ｄ））相比，振荡频率减小了，当两原子运动较慢时场熵的演化还能
呈现出一定的崩塌和回复现象，随着两原子运动速度的加快，两原子与光场的有效作用时间逐渐减少，当
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邹
艳等：高斯型耦合 Ｔａｖｉｓ—Ｃｕｍｍｉｎｇｓ模型的纠缠特性
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ｋ＝１时（图线 （ａ））仅振荡几次，在很短时间内就达到一较大的稳定纠缠状态，不再变化。可见原子的运动
速度对场熵有明显的调制作用。这与文献 ［１２］相同参数情况下得出的能级布居数反转规律类似。
１．５
１
０
Ｏ．５
Ｏ
（ａ）
一Ｉ
一
。
．
．
。
．
一
Ｏ
１Ｏ
２Ｏ
３Ｏ
４０
５Ｏ
６Ｏ
７０
ｇ｜
Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｓ（ｔ）ｆｏｒ ｌ ｌ ＝１０， ＝ ＝７ｒ
ｇｆ
（ａ）ｋ＝１，（ｂ）ｋ＝０．１，（Ｃ）ｋ＝０．０６，（ｄ）Ｔ—Ｃ
如果两原子以一定的速度运动 （取 ｋ：０．０６），光场的初态不同，如图 ２所示，与真空态 （图线 （ｄ））
相比，除初始时刻外，场熵ｓ（ｔ）不再恢复到零，随着光场初态平均光子数的增加 Ｒａｂｉ振荡的幅度逐渐减
小，频率逐渐增大，当（图线 （ｃ））时，Ｒａｂｉ振荡几乎消失。可见场熵的演化还受到光场强弱的调节。
Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｓ（ｔ）ｆｏｒ ＝ ＝７ｒ，ｋ＝０．０６． （ａ）ｌ ｌ ＝５（ｂ）ｌ ｌ ＝１０；（ｃ）ｌ ｌ ＝３０（ｄ）Ｏｚ＝０
两原子的运动速度一定，光场的初态平均光子数相同的情况下，改变 ０值 （即改变两原子初始时刻的
状态），数值计算的结果表明，场熵随时间的演化呈现出相似的规律，类似于图１和图２各曲线的演化情
况，此处不再赘述。
４ 原子一原子间的纠缠特性
两原子间的纠缠特性可用 Ｎｅｇａｔｉｖｉｔｙ熵 （简称 Ⅳ 熵）来描述 ［１５，１６］，它定义为
４
Ⅳ（Ｊ９）＝一２∑［ｍｉｎ（Ｏ， ）］，
（１７）
其中 为原子约化密度矩阵的部分转置矩阵的本征值。当’Ｎ（ｐ）＝０时，两原子是独立的，非纠缠的；当
Ｎ（ｐ）＝１时，两原子则处于最大纠缠态。
原子约化密度矩阵的部分转置矩阵为
Ｊ９ （ｔ）＝Ｅ（ｉｌｐＡ（ｔ）ＩＪ） Ｉｊ）ｌｉ）：
ｉ，ｊ
Ｐｌ１ Ｐ１２
Ｐ２１ Ｐ２２
Ｐ１３ Ｐ１４
Ｐ２３ Ｐ２４
Ｐ３１ ，０３２
Ｐ４１ Ｐ４１
Ｐ３３ ｐ３４
Ｐ４３ Ｐ４４
（１８）
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其中 ｌ ）为双原子之一的基态 ｌｇ）或激发态ｌｅ）
由图３可知，如果光场的初始状态一定 （为 ｌ ｌ０＝１０的相干态），两原子初态非纠缠 （都处于激发
态），当原子垂直于腔轴以不同的速度运动时，原子－原子间的纠缠特性 Ｎ（ｔ）同相同条件下两原子－光场
间的纠缠特性相似 （与图１比较）。不同的是在振荡过程中，场熵取极大值时，原子间的纠缠取极小值，表
明在原子间的相互作用最强时，光场与两原子间的相互作用最弱。总体上看，原子－原子间的纠缠度也比
场 ．两原子间的纠缠小得多。另外，随着原子运动速度的加快，两原子处于退纠缠的时间也逐渐减少。与
一
般的Ｔ．Ｃ模型 （图线 （ｄ））相比，当 ＝１时 （图线 （ａ））仅保留开始的几次振荡就不再变化，保持在一定
的纠缠状态。可见原子的运动速度对原子间的纠缠也有明显的调制作用
Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｎ（ｔ）ｆｏｒ Ｉ Ｉ ：１０，Ｏ＝ ＝７ｒ （ａ）膏＝１，（ｂ）膏＝０．１１，（ｃ）膏＝０．０６，（ｄ）Ｔ－Ｃ
比较图２和图４也可得到相似的结论。在真空态情况下 （图线 （ｄ）），原子间一直处于退纠缠状态，增
大光场的光子数原子间发生纠缠，从图 ４的图线 （ｃ）、 （ｂ）和 （ａ）可知，随着光子数的增大，初始退纠缠
的时间逐渐减少，之后再退纠缠的时间和次数也增加，并且这些退纠缠也与场与原子间纠缠最大的时间相
吻合。
∥
Ｆｉｇ．４ Ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｎ（ｔ）ｆｏｒ ０＝ ＝７ｒ，膏
１
。
． １
ｌ
Ｉ
ｌ
ｌ
ｌ
１
（ｄ）
０
１０
２０
３０
４０
５０
６０
７０
∥
０．０６．（ａ）ｌ Ｉ ＝３０（ｂ）Ｉ Ｉ ＝１０，（ｃ）Ｉ Ｉ ＝５（ｄ） ＝０
原子的运动速度一定，光场的初态平均光子数相同的情况下，改变两原子初始时刻的状态，数值计算
的结果表明，原子 －原子间的纠缠随时间的演化呈现出相似的规律，类似于图３和图４各曲线的演化情
况。
５ 结 论
本文研究了高斯型耦合 Ｔ－Ｃ模型的场与原子以及原子间的纠缠特性，通过数值计算分析了原子的运
动速度、光场的初始光子数以及两原子的初始状态对场 ．两原子的纠缠 （￡）、原子 ．原子之间纠缠 Ⅳ（￡）
的影响。结果表明： （￡）、Ｎ（ｔ）的演化具有相似的规律，但对应于同一时刻，场 一原子间的纠缠越强，
两原子间的纠缠越弱。它们明显地受到原子垂直于腔轴的运动速度的调制作用，当运动速度较小时，呈现
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出一定的崩塌一回复现象，当ｋ＝１时，仅振荡几次就停留在一定的纠缠状态；光场初态平均光子数的增
加使 ｓ（ｔ）、 Ⅳ（ｔ）的振幅减小，频率增大；不同初始状态的两原子的 ｓ（ｔ）、 Ⅳ（ｔ）分别表现出相似的演化
规律。可见适当地选择系统的参数和相互作用时间，可以制备稳定的光场 一两原子、原子 一原子纠缠态，
这将在量子信息和纠缠的纯化等方面有重要的实际应用价值。
参考文献 ：
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Ｇａｏ Ｙｕｎｆｅｎｇ，Ｆｅｎｇ Ｊｉａｎ，Ｚｈａｎｇ Ｇｕｉｍｉｎｇ．Ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｗｏ—ｍｏｄｅ ｓｑｕｅｅｚｉｎｇ ｖａｃｕｕｍ ｓｔａｔｅ ｆ
ｉｅｌｄ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ
ｗｉｔｈ ａｔｏｍ ｖｉａ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｕｐｌｉｎｇ［Ｊ］． Ａｔ．Ｍｏ１．Ｐｈｙｓ．（原子与分子物理学报），２００６，２３：８８７－８９１（ｉｎ
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Ｔｅｓｓｅｒ Ｔ Ｅ，Ｄｅｕｔｓｃｈ Ｉ Ｈ，Ｄｅｌｇａｄａ Ａ．Ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｓｈａｒｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｔｗｏ—ａｔｏｍ Ｔａｖｉｓ—Ｃｕｍｍｉｎｇｓ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．
．
Ｒｅｖ．Ａ，２００３，６８：０６２３１６．
Ｌｉ Ｙｏｎｇｐｉｎｇ，Ｗ ａ
ｎ ｇ Ｃｈｕａｎｋｕｉ，Ｈｅ Ｊｉｎｙｕ．Ｅｎｔｒｏｐｙ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｆ
ｉｅｌｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｔｗｏ—ｍｏｄｅ ｓｑｕｅｅｚｉｎｇ
ｖａｃｕｕｍ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｔｏｍｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ０，Ｑｕａｎｔｕｍ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ（量子电子学报），２００５，
２２：６１７－６２１（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）．
Ｈｕａｎｇ Ｃｈｕｎｊｉａ，Ｈｅ Ｈｕｉｙｏｎｇ，Ｌｉ Ｊｉａｎｇｆａｎ，ｃｔ ａ１．Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｐｏｌｅ－ｄｉｐｏｌｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ａｔｏｍｓ ｏｎ ｔｈｅ
ｅｎｔｒｏｐｙ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ｔｈｅ Ｔａｖｉｓ—ｃｕｍｍｉｎｇｓ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ（物理学报），２００２，５１：１０４９—１０５３
（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）．
Ｗ ａｎｇ Ｃｈｅｎｇｚｈｉ，Ｆａｎｇ Ｍ ａｏｆａ． Ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｄｅｃｏｈｅｒｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａ
ｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ—ｍｏｄｅ ｓｑｕｅｅｚｉｎｇ
ｖａｃｕｕｍ ｓｔａｔｅ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ａｔｏｍ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ（物理学报），２００２，５１：１９８９—１９９５（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）．
Ｚｕｏ Ｚｈａｎｃｈｕｍ，Ｘｉａ Ｙｕｎｊｉｅ．Ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｒｅｅ—ｂｏｄｙ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｍｅａ
ｓｕｒｅ ｉｎ Ｔａｖｉｓ－Ｃｕｍｍｉｎｇｓ
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Ⅲ
ｌ
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