在19世纪中，已经出现了黎曼几何。它是以定义空间两邻点间的距离平方的二次微分形式为基础而建立起来的。
20世纪以来，因受到广义相对论的影响，黎曼几何发展很快，从此产生了以更一般的曲线长度积分为基础的芬斯勒空间，以超曲面的面积积分为基础的嘉当空间,以二阶微分方程组为基础的道路空间和K展空间等等，而这些通称一般空间。
芬斯勒空间 设M是参考于一系坐标xi(i=1,2,…,n)的n维集合，并且它的曲线xi=xi(t)的“弧长”是按照积分
ρ>0)。这时，称M为芬斯勒空间。特别是，当
是由F(x,凧)确定的某种函数组。
近年来，无限维的芬斯勒流形在非线性分析中有重要作用。
嘉当空间 在n维空间里，以(n-1)维超曲面领域的表面积概念为基础而构成的几何，称n维嘉当空间几何。设(x)=( x1,x2,…，xn)表示空间一点的坐标,(u)=(u1,u2,…，un)表示该点切空间的(n-1)维子空间的齐次坐标，(x，u)称为点(x)的超平面素。以B表示超平面素所成的一个区域，采用一个在B是正则的而且取正值的函数L（x,u），这里L关于ui是正齐一次的，L(x,ρu)=ρL(x,u)，(ρ>0)，并约定,在超平面素(x,u)的(n-1)维表面积元素为
是光滑超曲面F的正则参数表示。从(n-1)×n矩阵
删去第k行,而且用(-1)k+1pk表示这样得出的(n-1)阶行列式。那么,从上列的约定便导出一个在有向超曲面F的区域上的(n-1)重积分
从基本函数 L（x，u）作
且令α＝det|αik|，嘉当的测度张量可表成
K展空间 设在N 维空间SN里给定了一组K 维流形，使得组中有一个且仅有一个流形通过一般位置下的任何K+1个邻近点，或者和任何一个已知的K维元素（按照一点和其衔接的K维平坦流形组成的元素）相切。这些K维流形简称K展,具有这种结构的N维空间SN称K展空间。特别是，当K=1时，SN就是道路空间。
设(xi;i=1,2,…,N)是SN的一点的坐标,那么每个K展可表成
或简写为
,式中各函数是变数u和参数α的解析函数（或充分光滑的函数）。从定义易知
是p的齐二次函数。
根据J.道格拉斯导进一个仿射联络到仿射 K展空间SN：
不但可以导出仿射曲率张量
,还可作出射影联络以及有关的偏微分方程组的可积分条件，还可证明；嘉当的“平面公理”的成立与空间为射影平坦是等价的。
芬斯勒空间 设M是参考于一系坐标xi(i=1,2,…,n)的n维集合，并且它的曲线xi=xi(t)的“弧长”是按照积分
ρ>0)。这时，称M为芬斯勒空间。特别是，当
是由F(x,凧)确定的某种函数组。 近年来，无限维的芬斯勒流形在非线性分析中有重要作用。
嘉当空间 在n维空间里，以(n-1)维超曲面领域的表面积概念为基础而构成的几何，称n维嘉当空间几何。设(x)=( x1,x2,…，xn)表示空间一点的坐标,(u)=(u1,u2,…，un)表示该点切空间的(n-1)维子空间的齐次坐标，(x，u)称为点(x)的超平面素。以B表示超平面素所成的一个区域，采用一个在B是正则的而且取正值的函数L（x,u），这里L关于ui是正齐一次的，L(x,ρu)=ρL(x,u)，(ρ>0)，并约定,在超平面素(x,u)的(n-1)维表面积元素为
是光滑超曲面F的正则参数表示。从(n-1)×n矩阵删去第k行,而且用(-1)k+1pk表示这样得出的(n-1)阶行列式。那么,从上列的约定便导出一个在有向超曲面F的区域上的(n-1)重积分
从基本函数 L（x，u）作
且令α＝det|αik|，嘉当的测度张量可表成
K展空间 设在N 维空间SN里给定了一组K 维流形，使得组中有一个且仅有一个流形通过一般位置下的任何K+1个邻近点，或者和任何一个已知的K维元素（按照一点和其衔接的K维平坦流形组成的元素）相切。这些K维流形简称K展,具有这种结构的N维空间SN称K展空间。特别是，当K=1时，SN就是道路空间。
设(xi;i=1,2,…,N)是SN的一点的坐标,那么每个K展可表成
或简写为,式中各函数是变数u和参数α的解析函数（或充分光滑的函数）。从定义易知
是p的齐二次函数。 根据J.道格拉斯导进一个仿射联络到仿射 K展空间SN：
。
不但可以导出仿射曲率张量,还可作出射影联络以及有关的偏微分方程组的可积分条件，还可证明；嘉当的“平面公理”的成立与空间为射影平坦是等价的。
