据说可以使用反证法，先假设是有理数，抄个例子

来源: 笨企鹅于 2013-11-21 08:32:16 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (5540 bytes)

回答: 当当当，文科理科土豪精英看过来由 vest2005 于 2013-11-21 08:27:56

反證法[编辑]

證明 e 是無理數可以用反證法。假設 e 是有理數，則可以表示成 a/b，其中 a,b 為正整數。以 e 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

$x = b\,! \left(e-\sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right)$ ，

以下將推導出 $x$ 是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證 $e$ 是無理數。

$x$ 是整數，因為

$0 < x = b\,! \left(e - \sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right) = b\,! \left({a \over b} - \sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right)$

$= a (b-1)! - \sum_{i=0}^b {b\,! \over i\,!}$

$= a (b-1)! - \left(1 + \sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)\cdots(n+1)\right)$ 。

$x$ 是小於1的正數，因為

$0 < x = b\,! \sum_{n=b+1}^\infty {1 \over n!}$

$= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots$

$< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = {1 \over b} < 1$ 。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出 $e$ 為無理數。

$\begin{align} e & = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \\ & =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left(\frac{1}{n}\right)^i \\ & =\lim_{n\to\infty} \left[C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{1}^{n}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{2}^{n}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{3}^{n}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right] \\ & =\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right] \\ & =\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+...+\frac{1}{n^n}\right] \\ & =2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+0 \\ & =2.71828... \end{align}$