据说可以使用反证法，先假设是有理数，抄个例子

来源: 于 2013-11-21 08:32:16 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

反證法[编辑]

證明 e 是無理數可以用反證法。假設 e 是有理數，則可以表示成 a/b，其中 a,b 為正整數。以 e 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

x = b\,! \left(e-\sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right)，

以下將推導出x是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證e是無理數。

  • x是整數，因為
0 < x = b\,! \left(e - \sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right) = b\,! \left({a \over b} - \sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right)
= a (b-1)! - \sum_{i=0}^b {b\,! \over i\,!}
= a (b-1)! - \left(1 + \sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)\cdots(n+1)\right)。
  • x是小於1的正數，因為
0 < x = b\,! \sum_{n=b+1}^\infty {1 \over n!}
= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots
< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = {1 \over b} < 1。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出e為無理數。

二項式定理[编辑]

視n為存在的數值，所以用二項式定理可證出：

\begin{align} e & = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \\ & =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left(\frac{1}{n}\right)^i \\ & =\lim_{n\to\infty} \left[C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{1}^{n}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{2}^{n}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{3}^{n}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right] \\ & =\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right] \\ & =\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+...+\frac{1}{n^n}\right] \\ & =2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+0 \\ & =2.71828... \end{align}