物理好图：拉格朗日方程 质心系中：质点组整体是静止的，但质点组中的质点有内部运动。

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第二章 守恒律


力学规律：


拉格朗日方程

1.解方程得到运动规律；2.得到守恒量。

广义坐标： 广义速度：

由 和 组成一些不随时间变化的量(守恒量)

守恒量 求运动方程的解；分析解的性质。






§1.2.1 动量和能量

一 、循环坐标与广义动量

比较：拉格朗日方程


和牛顿方程


定义： ——广义动量



——广义力









例子1：对在保守场中运动的单个质点，有


——直角坐标系



广义动量 ——通常的动量



广义力 ——通常的力






例子2：对在有心力场中运动的质点，有



——球坐标系


对应于广义坐标 的广义动量：



广义力：







质点m到轴的垂直距离： ，则

——质点绕轴的转动惯量

于是对应于 的广义动量可写为：

——绕z轴的角动量

由拉格朗日方程得：



——在有心力场中，绕任意选取的轴的角动量守恒。





















广义动量 守恒的原因：在拉格朗日函数L中不包含

对应的广义坐标 。

(这只是从数学形式上的原因，物理上的原因？)


一般结论：如果在拉格朗日函数中不包含某一个广义

坐标 ，则称这一广义坐标为循环坐标。和循环坐标

对应的广义动量守恒。







二、能量

一般情况： ——显含时间变量t

例：处于随时间变化的外场中的系统，其拉格朗日

函数为 ——L显含时间变量t

——系统与外力场的源必有能量交换，

系统不是保守系。

对保守系，L不明显含变量t，则 。


















拉格朗日方程：






定义： ——机械能(能量)


显然： ——保守系统的能量守恒






在直角坐标系中，动能只是速度 的函数，不是坐标

的 函数，但在广义坐标中，动能 ，则

。


动能T是广义速度 的二次齐次式。


例：有心力场中动能


动能T是广义速度 的二次齐次式。


通常：动能都是广义速度的二次齐次式。






根据齐次函数的欧拉定理，如果 是

s个变量 的n次齐次式，则



由于动能T是广义速度 的二次齐次函数，则有



而

































所以

——机械能等于动能与势能之和

结论：对于保守系统，在运动过程中，机械能保持不变。


§1.2.2 质点组的动量定理、质心

一、质点组的动量定理

在此：选笛卡儿坐标系。

设：力学系统——N个粒子，第a个粒子和第b个粒子

之间的相互作用势能用 表示。







令 ——质点b作用于质点a上的力



——质点a作用于质点b上的力


则

——牛顿第三定律







设：作用在质点a上的力为


：系统内其它质点对a的内力之和；

：系统外质点对a的合外力。

拉格朗日方程：

(直角坐标系)


又



























所以


矢量式：


作和式：









：质点组的总动量； ：系统所受合外力


则： ——质点组的动量定理


若不存在外场，则 ，有





——不受外力作用时质点组的总动量守恒


















二、质心

动量守恒定律与能量守恒定律的成立不依赖于惯

性系的选取。但：在不同惯性系中，动量和能量所取

的值不同。


设：惯性系K、 ，其中 相对K以速度V运动。


：第a个质点对K 、 系的速度


：质点组对K 、 系的总动量


因为








所以


即


若：



则：






——在此惯性系中，质点组的总动量为零。此惯

性系中称为质心系。


质心系中：质点组整体是静止的，但质点组中的质点

有内部运动。

此时


—质点组的总质量

V：质点组作为一个整体的速度






由




定义： 为质点组的质心



则：


即：质点组整体的运动速度就是质心的运动速度








且




——质心运动定理


三、能量的变换

设： 分别为质点组在 系的能量

则：











若 为特殊的惯性系——质心系，则




其中 ——内能

——在K系中的能量等于在质心系中的能量加上质点组总

质量附在质心上时质心在K系中的动能。







§1.2.3 守恒律与对称性的关系、角动量

对称性：

对称性的概念最初是在几何学中提出的：某个几何形体，如果按照某种操作规则改变一下它在空间的位置，它的几何形体与操作前的完全重合，就说该几何形体具有某种对称性。

对称性的推广：

如果某一物理定律或某物理量在某种变换下其形式或量值保持不变，则称这种变换具有不变性或协变性，或者说，这个定律或物理量对某种变换具有对称性或不变性。







已讲： 能量(机械能)守恒律 + 动量守恒律

守恒的原因： 时间的均匀性 空间的均匀性


一、时间的均匀性与能量守恒

时间均匀性的涵义：

1.假定系统处于变化的外场中，时间不是均匀的。即用

不同的时刻作为计算时间的起点，所得到的运动方程

不相同；以不同的时刻作为时间轴的原点对于研究系

统的运动不等效；






2.系统处于不变的外场中或不处于外场中，时间是均匀

的。即以不同时刻作为计算时间的起点对于研究系统

的运动是等效的。

时间不均匀:

L:显含时间t

时间均匀：

L:不显含时间t


此时












则


又：






——能量守恒






结论：能量守恒是由时间的均匀性产生的。

(能量守恒深刻的物理根源)


二、空间的均匀性与动量守恒

空间均匀性的涵义：

系统不处于外场中，空间是均匀的——无论选用空

间哪一点作为坐标原点来研究系统的运动都是等效的。


设：一坐标系中，系统的拉格朗日为L，现将坐标系平移

一个常矢量 ，即选另一点作为坐标原点。














后果：1.系统中每个粒子的坐标改变 :


2.系统的拉格朗日改变 。


若：空间均匀，则：

又 (坐标平移时，速度不变)

所以






拉格朗日方程：


作和：




而






——系统的总动量守恒

结论：动量守恒是由空间的均匀性产生的。


空间均匀：坐标系平移，L不变；

时间均匀：时间轴平移，L不变。

时间和空间均匀性导致：拉格朗日L在时间平移

和空间平移下的不变性。






对称性：系统对某种变换的不变性称为系统对这种变换

的对称性。

结论：能量守恒是由于系统具有时间平移的对称性；

动量守恒是由于系统具有空间平移的对称性。


四、空间的各向同性与角动量守恒

空间各向同性的涵义：

在无外场或在有心力场中，空间的各个方向是等效。

系统具有转动对称性：将坐标系转动，拉格朗日不变。






问题：转动对称性导致什么守恒？

已知：无限小的角位移是矢量，有限角位移不是矢量。

设：坐标系绕空间任取的某一轴转动一个角度 ，

用 表示这一角位移。

：r与 之间的夹角，

r端点绕 轴转动的半径： ，则


又： 很小， 组成的平面。考虑到

的大小、方向，有：
















上式对t求导：



交换 和 的次序( 、 互相独立)，有：



物理上：体系旋转后速度发生了改变，此改变仅仅

是由于体系的旋转引起的。







由转动产生的L的变化：






拉格朗日方程：






若系统具有转动对称性，则

即











令： ——系统的角动量


则： ——系统的角动量守恒

结论：角动量守恒是由空间的各向同性产生的。

有时，系统并不具有完全的转动不变性，但有绕某个轴

(如z轴)的转动不变性。此时，角动量L的z分量 守恒。



球坐标系下：















：广义动量




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