物理好图 波函数可以写成两个函数即R n，l (r)函数和Yl ，m(θ，φ)函数的乘积

来源: marketreflections 于 2010-12-03 17:21:10 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (3687 bytes)
回答: 物理好图：刘连寿物理学 由 marketreflections 于 2010-11-30 14:58:29

http://spspku.bjmu.edu.cn/Web%20Page/GeneralChem/kechengneirong/08/8-2-3.htm

波函数可以写成两个函数即R n，l (r)函数和Yl ，m(θ，φ)函数的乘积

第一节 第二节 第三节 第四节 第五节

概率密度和电子云

氢原子核外只有一个电子，若固定原子核，电子的位置虽不确定，但它具有统计规律性。前已述及，∣ψ∣2表示电子在核外空间某点(r,θ，φ)出现的概率密度，为了形象地表示基态氢原子核外空间各处电子出现的概率密度大小的分布情况，将空间各处的∣ψ∣2值的大小用疏密程度不同的小黑点表示出来。这种在单位体积内黑点数与∣ψ∣2成正比的图形称为电子云(electron cloud)。



图8-4是氢原子∣ψ1s∣2对r作图和1s电子云。从图上看出，离核越近，电子云越密集，即电子出现的概率密度愈大；离核愈远，电子云愈稀疏，电子出现的概率密度愈小。注意，不要把电子云中的一个个小黑点看成一个个电子，因为氢原子核外只有一个电子。还要注意，这里讲的是概率密度，不是概率。以后我们往往用电子云来做概率密度的同义词。

原子轨道的图形

为了加深对波函数意义的理解，我们来研究它的图象，以便得到较直观的效果。但波函数是含有r、θ、φ 三个自变量的函数，作二维或三维图困难，于是将波函数写出下列一般形式：

ψn，l，m(r,θ，φ) = R n，l(r)·Yl ，m(θ，φ)，

公式的意义为：波函数可以写成两个函数即R n，l (r)函数和Yl ，m(θ，φ)函数的乘积。这个R n，ll(r)函数又称为波函数的径向部分或径向波函数(radial wave function)，它是离核距离r的函 数，只与n和l两个量子数有关。Yl ，m(θ，φ)函数又称为波函数的角度部分或角度波函数(angular wave function)，它是方位角θ和φ的函数，只与l和m两个量子数有关。这两个函数分别含有一个和两个自变量，作图没有困难。作图以后，可以从波函数的径向和角度两个侧面去观察电子的运动状态。虽然，每一部分并不能代表完全的波函数，但能说明许多问题。前面表8-1已经列出了解薛定谔方程获得的氢原子的基态和一部分激发态的波函数及其相应的R n，l(r)函数、Yl ，m(θ，φ)函数。
（一）氢原子轨道的角度分布图
氢原子轨道的角度分布图又称为Y 函数图



s 轨道角度分布图示意图

如图8-4。Yl ，m(θ，φ)值随方位角改变而变化的情况如图8-5，图8-6。由于角度波函数只与轨道角动量量子数和磁量子数有关，而与主量子数无关，只要l、m相同，即使n不同，它们的角度分布图都是一样的。

YPx的轨道角度分布图



p轨道角度分布图示意图

表示Y值形成的两个波瓣是沿x轴的方向伸展的，而在yz平面上的Y值为零，这个平面称为节面(nodal plane),即函数值为零的平面。

据此可以类推符号为YPy、YPz的轨道角度分布图的含义。



d轨道角度分布图
符号为 轨道角度分布图表示Y的波瓣沿xy轴夹角的方向伸展，而在yz平面和xz平面上的Y值为零，所以，共有两个节面。原子轨道角度分布图是它们的角度波函数通过计算求值作图得到的，例如，据此可以类推 和 的轨道角度分布图的含义。至于符号为 的轨道角度分布图则表示Y沿z轴伸展，xy平面还有一个较小环形分布。符号为 的轨道角度分布图表示Y沿x轴和y轴伸展，也有两个节面。s轨道的Ys函数等于 = 0.282，说明在任何方位角其值均为相同的常数，所以s 轨道的角度分布图为一球面如图8-5所示。又如pz轨道的YPz函数等于 ，将各种不同的θ角代入这个函数，可得如下结果：

θ
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°

cosθ
1
0.866
0.5
0
-0.5
-0.866
-1

YPz
0.489
0.423
0.244
0
-0.244
-0.423
-0.489


从原点出发，引出不同θ值时的射线，在射线截取长度为对应的YPz值的点，连接这些射线上的点，并将所得图形绕z轴旋转360°，便得到双球面图形。 如图8-5所示。
原子轨道角度分布图中的正负号除了反映Y函数值的正负外，也反映电子的波动性。它类似经典波中的波峰与波谷，当两个波相遇产生干涉时，同号则相互加强，异号则相互减弱或抵消。这一点在讨论化学键的形成时有重要意义。
应该指出，Y值的大小（如Ys= 0.282）并不代表电子离核远近的数值，Y值与r的变化无关。只有R n，l（r）函数才与电子离核远近（r）有关。


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