动能定理掌握力做功的概念动能作为运动状态（速率）的函数

来源: marketreflections 于 2010-06-19 12:48:26 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (14932 bytes)

回答: 张建军动能，很容易而且很合理地就认为它属于运动的质点。对于势能，由于是以研究一对保守内力的功引进的，所以它应属于以保守力相互作由 marketreflections 于 2010-06-18 08:43:36

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第四章机械能守恒. §4.1 功动能定理掌握力做功的概念，和动能作为运动状态（速率）的函数。理解应用质点的动能定理。 §4.2 势能理解保守力与势能（位置的函数）的 ...
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第四章机械能守恒第四章機械能守恆

§4.1功动能定理掌握力做功的概念，和动能作为运动状态（速率）的函数。 §4.1功動能定理掌握力做功的概念，和動能作為邉訝顟B（速率）的函數。理解应用质点的动能定理。理解應用質點的動能定理。

§4.2势能理解保守力与势能（位置的函数）的概念，掌握重力势能、弹簧的弹性势能、万有引力势能的计算。 §4.2勢能理解保守力與勢能（位置的函數）的概念，掌握重力勢能、彈簧的彈性勢能、萬有引力勢能的計算。

§4.3质点系的能量理解质点系的动能定理，掌握柯尼希定理和动能定理的应用。 §4.3質點系的能量理解質點系的動能定理，掌握柯尼希定理和動能定理的應用。

§4.4功能原理和机械能守恒原理掌握功能原理及机械能守恒定律。 §4.4功能原理和機械能守恆原理掌握功能原理及機械能守恆定律。

§4.5碰撞理解掌握二维的对心和非对心碰撞。 §4.5碰撞理解掌握二維的對心和非對心碰撞。

§4.1功动能定理 §4.1功動能定理

一 . 功和功率一 . 功和功率

力的空间积累，功的概念。力的空間積累，功的概念。

力力作用于质点，并且质点作元位移作用於質點，並且質點作元位移，则定义力作元功，則定義力作元功

当质点在一段有限路径上移动时，力當質點在一段有限路徑上移動時，力作功作功

合力合力作功是各分力作功是各分力作功的代数和，作功的代數和，

涉及作功快慢时，引入功率概念，涉及作功快慢時，引入功率概念，

二 . 动能二 . 動能动能定理動能定理

合外力合外力对质点 m 作功的效果對質點 m 作功的效果

合外力合外力对物体作功引起物体某状态函数對物體作功引起物體某狀態函數的增加。的增加。该状态函数定义为物体的动能該狀態函數定義為物體的動能

也可以看作物体对外界作用力也可以看作物體對外界作用力并使其位移，物体作功並使其位移，物體作功

等于物体动能的减少。等於物體動能的減少。所以动能被视为运动物体作功能力的表示。所以動能被視為邉游矬w作功能力的表示。

动能定理動能定理

§4.2势能 §4.2勢能

通常，外力作功与移动路径有关。通常，外力作功與移動路徑有關。但自然界中有一些力作功只与起终点位置有关，而与路径无关但自然界中有一些力作功只與起終點位置有關，而與路徑無關

若上式对任意起终点和路径成立。若上式對任意起終點和路徑成立。或或

则力則力称为保守力。稱為保守力。

保守力在质点位移过程中作功只与质点在起终点的状态（位置）有关，涉及某状态函数的变化。保守力在質點位移過程中作功只與質點在起終點的狀態（位置）有關，涉及某狀態函數的變化。该函数称为势能。該函數稱為勢能。

一 . 保守力一 . 保守力势能勢能

1 1

2 2

A A

B B

势能的减少定义为保守力作功勢能的減少定義為保守力作功

势能的大小是对标准点而言的，相对意义。勢能的大小是對標準點而言的，相對意義。令 P 点令 P 點由由

若取若取，则，則

显然势能大小不同，但其变化是绝对的，顯然勢能大小不同，但其變化是絕對的，

万有引力是保守力，可以引入引力势能。萬有引力是保守力，可以引入引力勢能。

空间两质点 m 1 和 m 2 ，沿路径 l 由 P 点至 Q 点。空間兩質點 m 1 和 m 2 ，沿路徑 l 由 P 點至 Q 點。求 m 1 对 m 2 的引力作功 A 。求 m 1 對 m 2 的引力作功 A 。

以为 m 1 原点建立极坐标系。以為 m 1 原點建立極坐標系。有有

所以所以

三维曲线不改变结果。三維曲線不改變結果。

二 . 引力势能二 . 引力勢能

与路径无关與路徑無關

 

 

m 1 m 1

m 2 m 2

O O

l l

P P

Q Q

显然引力作功与路径 l 无关。顯然引力作功與路徑 l 無關。万有引力是保守力。萬有引力是保守力。

利用上式及势能减少的定义利用上式及勢能減少的定義

常取 r=  处为引力势能零点 , 于是常取 r=  處為引力勢能零點 , 於是

重力势能。重力勢能。，地表附近势能减少，地表附近勢能減少

取地面处取地面處，重力势能，重力勢能

系统共有的系統共有的

三 . 弹性势能三 . 彈性勢能

取物体平衡处为坐标原点。取物體平衡處為坐標原點。物体位于 x 处时，弹簧伸长是 x ，物体受弹力物體位於 x 處時，彈簧伸長是 x ，物體受彈力

当物体由 x = x 1 至 x = x 2 时，弹力作功當物體由 x = x 1 至 x = x 2 時，彈力作功

与路径无关。與路徑無關。保守力保守力

由势能减少的定义，由勢能減少的定義，

取 x =0 处，取 x =0 處，，，弹性势能彈性勢能

第 i 个质点受外力第 i 個質點受外力，受内力，受內力，由单质点动能定理，由單質點動能定理

§4.3质点系的能量 §4.3質點系的能量

系统总动能的增加，等于系统所受外力和内力作功之和。系統總動能的增加，等於系統所受外力和內力作功之和。内力作功可以改变系统总动能。內力作功可以改變系統總動能。

一 . 质点系动能定理一 . 質點系動能定理

N 个质点的系统。 N 個質點的系統。总动能總動能

将 N 个上式累加，得將 N 個上式累加，得

二 . 柯尼希定理二 . 柯尼希定理

动能相对参考系而言。動能相對參考係而言。质心参考系質心參考系

质点 m i 和质心在 K 系中位矢和，质点 m i 在质心系中位矢，显然質點 m i 和質心在 K 系中位矢和，質點 m i 在質心系中位矢，顯然

质点系的总动能可改写为質點系的總動能可改寫為

第一项是质心在 K 系中的动能；第二项是系统在质心系的总动能 E kC ；第三项为零。第一項是質心在 K 系中的動能；第二項是系統在質心系的總動能 E kC ；第三項為零。所以所以

（柯尼希定理）（柯尼希定理）

O O

三 . 保守内力孤立质点系的能量三 . 保守內力孤立質點系的能量

孤立系统，外力不作功。孤立系統，外力不作功。总动能变化總動能變化

由于由於是保守力，积分只与是保守力，積分只與、、在 1 、 2 状态的相对位置有关，可以表示为势能的减少在 1 、 2 狀態的相對位置有關，可以表示為勢能的減少

累加后得到系统总动能的改变累加後得到系統總動能的改變

O O

体系在某状态的总势能是體系在某狀態的總勢能是

多质点保守力孤立系统中，总动能和总势能之和保持恒定。多質點保守力孤立系統中，總動能和總勢能之和保持恆定。

引力系中，若取引力系中，若取，则，則

所以，总引力势能所以，總引力勢能

§4.4功能原理和机械能守恒原理 §4.4功能原理和機械能守恆原理

一 . 功能原理一 . 功能原理

一般地，系统除受保守内力，还受非保守内力及外力。一般地，系統除受保守內力，還受非保守內力及外力。后两者作功不能表示为状态函数的变化。後兩者作功不能表示為狀態函數的變化。系统总动能改变系統總動能改變

功能原理功能原理

动能和势能之和称为系统的机械能。動能和勢能之和稱為系統的機械能。

内力作功也可以改变系统的机械能。內力作功也可以改變系統的機械能。

右边两项功需消耗其它形式的能量，只是这种能量无法用机械运动参量表示。右邊兩項功需消耗其它形式的能量，只是這種能量無法用機械邉訁⒘勘硎尽?

广泛意义上总能量是守恒的。廣泛意義上總能量是守恆的。能量转换与守恒原理是物理学中最基本的定律。能量轉換與守恆原理是物理學中最基本的定律。

二 . 机械能守恒原理二 . 機械能守恆原理

若外力和非保守内力作功为零，即没有其它形式的能量参与过程，系统总机械能守恒，能量只在动能、势能间转换若外力和非保守內力作功為零，即沒有其它形式的能量參與過程，系統總機械能守恆，能量只在動能、勢能間轉換

（机械能守恒原理）（機械能守恆原理）

等形式等形式

凡势能必然涉及另一物体作功，系统必包含两个以上物体。凡勢能必然涉及另一物體作功，系統必包含兩個以上物體。但另一物体的动能呢？但另一物體的動能呢？弹簧、地球等。彈簧、地球等。

这个问题主要牵涉参考系。這個問題主要牽涉參考系。

考察动能定理。考察動能定理。由于系统内力是成对出现的，由於系統內力是成對出現的，，一对内力作功，一對內力作功

三 . 参考系的选择三 . 參考系的選擇

只与两质点相对位置变化有关。只與兩質點相對位置變化有關。因此，内力作功与参考系无关。因此，內力作功與參考係無關。

但是外力作功与参考系有关，但是外力作功與參考係有關，这样若在 K 系中外力作功为零， K' 系中则不一定为零。這樣若在 K 系中外力作功為零， K' 系中則不一定為零。

机械能守恒是相对参考系而言的。機械能守恆是相對參考係而言的。

车厢以速度車廂以速度匀速前进，小球在振动。勻速前進，小球在振動。以小球＋弹簧为系统。以小球＋彈簧為系統。

车厢参考系 K' 中。車廂參考系 K' 中。

满足守恒。滿足守恆。

地面参考系 K 系中。地面參考系 K 系中。

因为外力作功，不满足守恒。因為外力作功，不滿足守恆。但功能原理是成立的。但功能原理是成立的。

外力的功率外力的功率

其次，若选取了非惯性系，只要计入惯性力作为外力处理即可。其次，若選取了非慣性系，只要計入慣性力作為外力處理即可。

为避免计入惯性力作功，选惯性系是当然的，而质心系是另一常用选择。為避免計入慣性力作功，選慣性係是當然的，而質心係是另一常用選擇。设质心系对惯性系具有加速度設質心係對慣性系具有加速度，惯性力作功，慣性力作功

取质心系，不需计入惯性力作功。取質心系，不需計入慣性力作功。

两体问题兩體問題

如果是孤立的，则惯性系中如果是孤立的，則慣性系中

由上两式易得由上兩式易得

约化质量約化質量

利用约化质量，质心系中的动能可以写为利用約化質量，質心系中的動能可以寫為

柯尼希定理和机械能守恒的写法可以相应简化。柯尼希定理和機械能守恆的寫法可以相應簡化。

O O

第三宇宙速度火箭逸出太阳系，取太阳为参考系。第三宇宙速度火箭逸出太陽系，取太陽為參考系。

相互作用是保守力，逸出后机械能下限为零。相互作用是保守力，逸出後機械能下限為零。设地球距离上摆脱地球时速度是 v 設地球距離上擺脫地球時速度是 v

由由，得，得

若沿地球公转速度 29.8 km/s 方向发射，可得出发速度 v' 若沿地球公轉速度 29.8 km/s 方向發射，可得出發速度 v'

解得 v' ＝ 12.7 km/s 解得 v' ＝ 12.7 km/s

结果是错误的。結果是錯誤的。在太阳参考系，应计入地球动能变化。在太陽參考系，應計入地球動能變化。现取地球（－火箭质心）系，現取地球（－火箭質心）系，

解得 v' ＝ 16.7 km/s 解得 v' ＝ 16.7 km/s

§4.5碰撞 §4.5碰撞

该过程时间很短，内力很大，外力的冲量常忽略。該過程時間很短，內力很大，外力的衝量常忽略。碰撞前后总动量守恒是该问题中最基本的守恒律。碰撞前後總動量守恆是該問題中最基本的守恆律。

能量角度。能量角度。不计位置变化，常忽略引力势能的改变。不計位置變化，常忽略引力勢能的改變。由物体的机械形变，分弹性碰撞（机械能、动能守恒）；非弹性碰撞和完全非弹性碰撞。由物體的機械形變，分彈性碰撞（機械能、動能守恆）；非彈性碰撞和完全非彈性碰撞。

碰前碰前

碰后碰後

一 . 正碰撞一 . 正碰撞

两个体初速度兩個體初速度和和沿球心连线。沿球心連線。

形变、内力都在连线上。形變、內力都在連線上。因此碰后因此碰後和和也在连线上。也在連線上。

问题是一维的。問題是一維的。

v 2 v 2

m 1 m 1

m 1 m 1

m 2 m 2

m 2 m 2

u 2 u 2

u 1 u 1

v 1 v 1

系统动量守恒系統動量守恆

说明运动总趋向不变，质心速度不变。說明邉涌傏呄虿蛔儯?|心速度不變。

能量关系。能量關係。碰撞中两球经历压缩、恢复阶段。碰撞中兩球經歷壓縮、恢復階段。

若完全恢复，弹性碰撞，动能守恒，若完全恢復，彈性碰撞，動能守恆，

可以得到可以得到

如果是部分恢复，非弹性碰撞，动能不守恒。如果是部分恢復，非彈性碰撞，動能不守恆。用恢复系数 e 表示恢复程度用恢復係數 e 表示恢復程度

(2) (2)

(1) (1)

完全没有恢复过程，完全非弹性碰撞。完全沒有恢復過程，完全非彈性碰撞。

（1）和（2）是研究正碰撞的基本方程。（1）和（2）是研究正碰撞的基本方程。解得解得

其中第一项是质心速度，第二项是落后、超前质心速度。其中第一項是質心速度，第二項是落後、超前質心速度。

两体系统的动能利用柯尼希定理兩體系統的動能利用柯尼希定理

分别是质心动能，和两体对质心的动能分別是質心動能，和兩體對質心的動能

将代入上式，经计算將代入上式，經計算

其中，称为折合质量。其中，稱為折合質量。是质点1对质点2的相对速度。是質點1對質點2的相對速度。

碰撞问题中，质心速度保持不变。碰撞問題中，質心速度保持不變。碰撞前后的动能变化是相对运动动能变化。碰撞前後的動能變化是相對邉觿幽茏兓??

正碰中，，所以正碰中，，所以

二 . 质心系中的正碰撞二 . 質心系中的正碰撞

质心系（ C 系）中，总动量永远等于零。質心系（ C 系）中，總動量永遠等於零。

利用恢复系数利用恢復係數

可得可得

若实验室系（ L 系）中，， C 系有若實驗室系（ L 系）中，， C 係有

C 系中动能变化 C 系中動能變化

动能变化是相同的。動能變化是相同的。

以下是的弹性碰撞，二维问题。以下是的彈性碰撞，二維問題。 L 系中取方向为 x 轴。 L 系中取方向為 x 軸。有动量、动能守恒有動量、動能守恆

三 . 弹性斜碰撞三 . 彈性斜碰撞

一般是三维情况。一般是三維情況。常将球心连线方向取为 x 轴。常將球心連線方向取為 x 軸。内力发生在连线方向，个体在垂直连线方向的动量、速度不变。內力發生在連線方向，個體在垂直連線方向的動量、速度不變。连线方向作正碰撞处理。連線方向作正碰撞處理。

x x

 1  1

 2  2

x x

y y

C 系中， C 系中，

和和沿同一直线，方向相反。沿同一直線，方向相反。系统动量守恒系統動量守恆

可见可見和和沿同一直线，方向相反。沿同一直線，方向相反。由系统动能守恒由系統動能守恆

可以得到可以得到，， C 系中二者只改变方向。 C 系中二者只改變方向。

 C  C

C C

 C 与 L 系入射粒子散射角  L 的关系。  C 與 L 系入射粒子散射角  L 的關係。

二者入射方向相同，取为 x 轴。二者入射方向相同，取為 x 軸。相对速度关系，即相對速度關係，即

其中，可得其中，可得

当 m 1 = m 2 时，有當 m 1 = m 2 時，有

x x

中文(簡體)原文：
第四章机械能守恒
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