质点运动学本质上系几何学. 由此可见,质点运动学本质上系几何学.凭借笛卡儿几何学 和微积分学,便形成了一个定量的解析的质点运动学

笫一章 质点运动学 笫一章 质点运动学 笫一章 质点运动学

力 学力学的研究对象是机械运动,也就是宏观物体之间或 力学的研究对象是机械运动 也就是宏观物体之间或 物体内各部分之间相对位置的移动.它是物理学的重要 物体内各部分之间相对位置的移动 它是物理学的重要 基础. 基础 主要参考教材: 主要参考教材: 《力学》杨维宏编 力学》 力学》 《力学》程稼夫编 力学》 《力学》郑永令 贾起民编 力学》 《力学》赵凯华 罗蔚茵编 力学》 《力学》钟锡华 周岳明编 中国科学技术大学出版社 科学出版社 高教出版社 高教出版社 北京大学出版社 1 笫一章 质点运动学目 录一 参考系 质点 二 描述质点运动的物理量 三 运动学中的两类问题 四 平面极坐标系的运用 五 自然坐标系的运用 六 相对运动和伽利略变换 2 质点运动学研究机械运动的描述,不追究运动发生的原因 质点运动学研究机械运动的描述,不追究运动发生的原因. 一 参考系和 质点一,参考系参考系:描述物体运动而选作参考的物体或物体系 参考系:描述物体运动而选作参考的物体或物体系. 运动本身是绝对的, 而对运动的描述是相对的 运动本身是绝对的 而对运动的描述是相对的; 运动的相对性决定描述运动必须选择参考系; 运动的相对性决定描述运动必须选择参考系 参考系可任选, 参考系可任选 不同参考系中物体的运动形式 (如轨迹,速度等)可以不同. 如轨迹,速度等)可以不同 太阳参考系( 恒星参考系) 常用参考系 太阳参考系(太阳 — 恒星参考系) 地心参考系(地球 — 恒星参考系) 地心参考系( 恒星参考系) 地面参考系或实验室参考系 质心参考系 3 4 坐标系: 固结在参考系上的一组有刻度的射线, 坐标系 固结在参考系上的一组有刻度的射线 曲线 或角度. 或角度坐标系为参考系的数学抽象. 坐标系为参考系的数学抽象 参考系选定后, 坐标系还可任选. 参考系选定后 坐标系还可任选 常用坐标系 直角坐标系( x , y , z ) 直角坐标系( 球极坐标系( r,θ, ) 球极坐标系( 柱坐标系 (ρ, , z ) 自然坐标系( et, n ) 自然坐标系( e 二,时间和空间物体的运动是在时间和空间中进行的, 运动不能脱离空间, 物体的运动是在时间和空间中进行的 运动不能脱离空间 也不能脱离时间. 对运动的描述定量化, 也不能脱离时间 对运动的描述定量化 需要建立空间的坐 标系和时间的坐标轴. 标系和时间的坐标轴 5 在牛顿力学范围内, 在牛顿力学范围内,空间与时间是脱离物质与运动的独立存 空间是延伸到整个宇宙的容纳物质的三维平直框架, 在;空间是延伸到整个宇宙的容纳物质的三维平直框架,时间 则犹如一座始终均匀运转着的钟.近代的相对论则表明, 则犹如一座始终均匀运转着的钟.近代的相对论则表明,空间 时间是与物质及其运动紧密联系的. ,时间是与物质及其运动紧密联系的.牛顿力学的绝对时空观 只是实际时空性质的一种近似. 只是实际时空性质的一种近似. ① 时间的单位和标准 1967年国际计量大会规定,把铯-133原子基态两个精细能 年国际计量大会规定,把铯 年国际计量大会规定 原子基态两个精细能 级之间跃迁所相应的辐射周期的9 级之间跃迁所相应的辐射周期的 192 631 770倍,定义为 倍 定义为1s 的时间间隔.称为原子时 称为原子时. 的时间间隔 称为原子时 ②长度的单位和标准 1983年国际计量大会通过了"m"的新定义:"m是光在真空中 年国际计量大会通过了" 的新定义 的新定义: 年国际计量大会通过了 是光在真空中 1/299 792 458s的时间间隔内所经路径的长度" 的时间间隔内所经路径的长度" 的时间间隔内所经路径的长度 6 三,质点 1. 质点的定义只具有质量而没有大小和形状的理想物体. 只具有质量而没有大小和形状的理想物体. 2. 质点模型抽象条件形状,大小不起作用的运动 如平动; 形状,大小不起作用的运动, 如平动 物体线度远小于研究的尺寸, 如地球公转. 物体线度远小于研究的尺寸 如地球公转 质点突出了"物体具有质量" 物体占有位置" 质点突出了"物体具有质量"和"物体占有位置"两个特征 3. 建立模型的意义对事物的认识总是从简单入手的; 对事物的认识总是从简单入手的 复杂问题只有忽略次要因素, 才能突出主要因素, 复杂问题只有忽略次要因素 才能突出主要因素 找到 其运动规律. 其运动规律 问题:把物体抽象为质点的物理本质是什么? 问题:把物体抽象为质点的物理本质是什么? 7 二 描述质点运动的物理量位置矢量(或矢径) 一,位置矢量(或矢径) 1. 位矢定义从坐标原点指向空间点的有向线段, 从坐标原点指向空间点的有向线段 用来确定某时刻质点位置的矢量. 用来确定某时刻质点位置的矢量. z z( t ) P( t ) r = r (t ) 2. 直角坐标系中的数学表示 i r(t ) k j o x(t ) r = x(t )i + y(t ) j + z(t )k 大小: 大小: 2 2 x y(t ) y r = r (t ) = x(t ) + y(t ) + z(t ) x r cos β = y r 2 方向: 方向: cosα = z cosγ = r 8 二,位移矢量 1. 位移定义质点在一段时间内位置的改变叫做它在这段时间内的位移. 质点在一段时间内位置的改变叫做它在这段时间内的位移. r = r (t + t ) r (t ) z P1 S r P2 r(t ) x o r(t ) r(t +t ) y r(t ) o r(t +tr ) 位移是位矢的增量,是时间和时间间隔的函数. 位移是位矢的增量,是时间和时间间隔的函数.与位矢不同 的是,一旦参考系选定了,位移就与参考点的选择无关了. 的是,一旦参考系选定了,位移就与参考点的选择无关了. 9 2. 直角坐标系中的数学表示 r1 = x1i + y1 j + z1k = xi + yj + zk r2 = x2i + y2 j + z2k r = ( x2 x1 )i + ( y2 y1 ) j + (z2 z1 )k 大小: 大小: r = (x)2 + (y)2 + (z)2 y cos β = r z cosγ = r 10 方向: 方向: cosα = x r 三, 速度矢量 1. 速度 平均速度 平均速率 z P1 S r v= t s v= t r(t ) x o r(t ) P2 r(t +t ) y 瞬时速度 v = lim r (t + t ) r (t ) t →0 t r dr = lim = t →0 t dt 瞬时速率 ds dr v= dt = dt =v 11 2. 直角坐标系中的数学表示 r x y z v= i+ j + k = vxi + vy j + vzk = t t t t dr dx dy dz v= j + k = xi + yj + zk = i+ dt dt dt dt 大小: 大小: v = v = v 2 + v 2 + v 2 x y z 方向: 方向: cosα = vx / v cosα = vy / v cosα = vz / v 注意: 注意: 速度的相对性和瞬时性速度的矢量性(叠加性和分解性) 速度的矢量性(叠加性和分解性) 速度方向沿轨迹切线 12 四,加速度矢量 z P1 v(t ) P2 v(t ) v(t +t ) v(t +t ) y v(t ) x 0 1,平均加速度 , v 与v 方向相同 a= t 瞬时加速度 , 当t → 0时 v →dv v dv d dr d r a = lim = = ( )= 2 t →0 t dt dt dt dt 2 13 2. 直角坐标系中的数学表示 dvy dvz dvx d2 x d2 y d2z a= i+ j+ k= 2 i + 2 j+ 2 k dt dt dt dt dt dt = axi + ay j + az k 大小 d v dv a= a = ≠ d t dt 2 a = ax + a2 + az y 2 方向 ay az ax cosα = , cos β = , cosγ = a a a 加速度的相对性和瞬时性 加速度的矢量性(叠加性和分解性) 加速度的矢量性(叠加性和分解性) 加速度的方向为速度变化的方向 注意: 注意: 14 位矢,速度, 五,位矢,速度,加速度的相互关系任一个,结合初始条件 就可以求出其余两个 任一个 结合初始条件,就可以求出其余两个 结合初始条件 就可以求出其余两个. r(t ) , v(t ) , a(t ) 三者都是描写运动的独立物理量 只要已知其中 三者都是描写运动的独立物理量,只要已知其中 a) 匀速直线运动方程 b) 变速直线运动方程 x = vt c) 匀加速运动(加速度为常矢量) 匀加速运动(加速度为常矢量) v t dv dv = adt a= ∫v0 dv = a∫0 dt dt dr v= = v0 + at dt 15 dr v= = v0 + at dt r t r0 0 dr = v0dt + atdt t 0 ∴∫ dr = v0 ∫ dt + a∫ tdt 1 2 r = r0 + v0t + at 2 d) 抛体运动典型的匀加速运动, 典型的匀加速运动, 运动平面在 y a=g o v0 θ x (v0 , g) 内 已知: 已知: x0 = y0 = 0 v0x = v0 cosθ ax = 0 ay = g v0 y = v0 sinθ 16 原理:运动的独立性和叠加性(实验证明) 原理:运动的独立性和叠加性(实验证明) 1 2 位置 r = r0 + v0t + at 2 速度 x = v0t cosθ 1 2 y = v0t sinθ 2 gt vx = v0 cosθ , v = v0 + at vy = v0 sinθ gt gx y = x tanθ 2v0 cos2 θ 2 轨迹方程 有了描述质点运动的物理量,以及物理量之间的关系, 有了描述质点运动的物理量,以及物理量之间的关系,原 则上可以解决运动学的所有问题. 则上可以解决运动学的所有问题. 17 六,运动方程 运动方程: 质点位置坐标和时间的函数关系. 运动方程 质点位置坐标和时间的函数关系 x = x(t ) r = r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z(t )k 或 y = y(t ) z = z(t ) 运动方程中包含了质点运动的全部信息. 运动方程中包含了质点运动的全部信息. z P( t ) r( t ) k 轨迹方程: 运动方程消去时间t 轨迹方程 运动方程消去时间 得到的位置坐标间的函 数关系 j F( x, y, z) = 0 x i o y 18 例 1.1: 一 质 点 在 xoy 平 面 内 运 动 , 其 运 动 函 数 为 x=Rcos ωt 和 y=Rsin ωt , 其中 和ω为正值常量 求质 其中R和 为正值常量. 点的运动轨道以及任一时刻它的位矢,速度和加速度. 点的运动轨道以及任一时刻它的位矢,速度和加速度 解: 位矢位矢 位矢大小 轨道方程为 r = xi + yj = Rcosωti + Rsinωtj y (x, y) R o r= x +y =R 2 2 θ x x2 + y2 = R2 位矢与x轴的夹角为θ 位矢与 轴的夹角为θ 轴的夹角为 y sin ωt tanθ = = = tanωt x cosωt θ =ω t 19 速度 dr v= = Rω sinωti + Rω cosωtj dt y v(t) β 速度分量式 vx = Rω sinωt , vy = Rω cosωt 速率 2 v = vx + v2 = Rω y r( x, y) θ o x 速度与x轴的夹角为β 速度与 轴的夹角为β 轴的夹角为 cosωt tan β = = = cot ωt vx sinωt vy β = ωt + π 2 = θ + π 2 20 加速度 dv 2 2 a= = Rω cosωti Rω sinωtj dt a = ω 2 (Rcosωti + Rsinωtj ) = ω 2r 思考:加速度中负号的含义 思考: 加速度分量式 ax = Rω 2 cosωt, ay = Rω2 sinωt 加速度大小 2 a = ax + a2 = Rω 2 y 由几何关系也可得到上述结论 21 例1.2:设质点的运动方程为 r (t ) = x(t )i + y(t ) j : 1 2 y(t) = t + 2 其中 x(t) = t + 2, 4 1) 求在 =1s到t=4s这段时间间隔内的平均速度 求在t= s = s这段时间间隔内的平均速度; 2) 求t=3s时的速度和速率 = s时的速度和速率; 3) 作出质点运动的轨迹图. 作出质点运动的轨迹图. 由平均速度的定义式, = s = s 解: 1) 由平均速度的定义式,在t=1s到t=4s间隔内的平 均速度为: 均速度为: 6 3 6 2.25 x y v= i+ j= i+ j 4 1 4 1 t t = i + 1.25 j (m s1 ) 22 2) 求t=3s时的速度和速率 = s 由题意知, 速度的分量式为: 由题意知 速度的分量式为 dx dy 1 vx = = 1, vy = = t dt dt 2 t=3s时速度分量为 时速度分量为 t=3s时速度为 时速度为 t=3s时的速率为: 时的速率为: 时的速率为 vx = 1m s1 , vy = 1.5(m s1 ) v = i + 1.5 j (m s ) v = v = 1 + 1.5 2 1 ( 2 1/ 2 ) .s = 1.80(m 1 ) 23 3) 作出质点运动的轨迹图 1 2 x(t ) = t + 2, y(t ) = t + 2 4 由运动方程可分别作x-t, y-t 和y-x图 由运动方程可分别作 图 x 6 4 2 0 x-t 2 4 6 t 6 4 2 -6 -4 -2 0 2 4 y-x 6 x 24 y 6 4 2 y 0 2 4 y-t 6 t 离水平面高为h 的岸边, 例1.3: 离水平面高为 的岸边,有人用绳以恒定速率 v0拉船靠岸.试求: 船靠岸的速度和加速度随船至岸 拉船靠岸.试求 边距离变化的关系式? 边距离变化的关系式? 解:在如图所示的坐标系中,船的位矢为: 在如图所示的坐标系中,船的位矢为: r = xi + yj = xi hj 对时间求导得到速度和加速度: 对时间求导得到速度和加速度: y v0 o h x dr dx v= i = dt dt dv d2 x a= = 2i dt dt 由题意知: 由题意知: v = dr 0 (1) (2) (3) r dt 25 由几何关系: 由几何关系: y 2 2 r = x +h 2 v0 o h x 对时间t 求导: 对时间 求导: dr dx 2r = 2x dt dt dx r dr = dt x dt 代入(3) 式得: 代入 式得 r vx = v0 r r 2 h2 = v0 x +h x 2 2 (4) 26 根据加速度定义 d2 x a = 2 = v0 dt 故得: 故得 2 dx v0 h = 3 2 2 dt x x +h h2 dx h v= = v0 1 + i dt x 2 v0 h2 d2 x a= 2 = 3 i dt x 2 分析船的运动特点: 分析船的运动特点: 虽然收绳速率是均匀的, 但船的前进方向并不是绳子的方向, 虽然收绳速率是均匀的 但船的前进方向并不是绳子的方向 故其运动是变速的, 加速度也是变化的,且船速大于收绳的速 故其运动是变速的 加速度也是变化的, 度(?). 27 三 运动学的两类问题一, 运动学中的两类问题第一类: 速度和加速度( 第一类:运动方程 速度和加速度(整体 第二类:速度, 运动方程( 第二类:速度,加速度 运动方程(局部 局部); 局部); 整体). 整体). 牛顿认为:瞬时情况更基本, 牛顿认为:瞬时情况更基本,不要先探讨物体运动的整体方 而是先弄清局部细节,再积分得到整体性质.事实上, 面,而是先弄清局部细节,再积分得到整体性质.事实上,这种 方法虽说是现代物理学的一种基本方法, 方法虽说是现代物理学的一种基本方法,但在某些局部过程不得 要领的情况下,从整体上研究也有其独到之处. 要领的情况下,从整体上研究也有其独到之处. 二, 两类问题的处理第一类: 第一类:对时间求导 第二类:对时间积分 第二类:对时间积分 r (t ) →v, a 求导 a(t ) →v(t ), r (t ) 积分 28 1. 求速度 v 1) 已知 a = a(t ) dv a= dt dv = adt v v0 = ∫ adt 0 t ∫ dv = ∫ adt v0 0 v t 2) 已知 a = a(v) dv = dt a(v) 对方程两端积分求解 dv a(v) = dt 3) 已知 a = a(x) dv dv dx dv a( x) = = =v dt dx dt dx 两端积分得: 两端积分得: 2 2 a( x)dx = vdv v2 v1 = 2∫ a( x)dx 29 2. 求位矢 r 两边积分 r 由 t dr v= dt 0 dr = vdt ∫ dr = ∫ vdt r0 r = r0 + ∫ vdt o t 曲线运动中两类问题的处理方法: 曲线运动中两类问题的处理方法 用运动的叠加原理将运动沿坐标轴分解; 用运动的叠加原理将运动沿坐标轴分解; 用直线运动规律对各分量运算; 用直线运动规律对各分量运算; 结果叠加. 结果叠加. 三, 具体计算时坐标系的选择直角坐标系:质点加速度为常数; 直角坐标系:质点加速度为常数; 自然坐标系:质点运动轨迹固定或已知; 自然坐标系:质点运动轨迹固定或已知 平面极坐标系: 平面极坐标系:平面运动时质点加速度总是指向空间 某一固定点. 某一固定点 30 例1.4: 已知 a = 3i + 2tj , x0 = 0, v0 = 0 的函数, 解: a 是t 的函数,由公式得 t t vx = v0x + ∫ axdt = ∫ 3dt = 3t 0 0 求: v , r vy = v0 y + ∫ aydt = ∫ 2tdt = t 2 0 0 t t 得 3 2 根据积分公式, 根据积分公式,得 x = x0 + ∫ vxdt = ∫ 3tdt = t 0 0 2 t t 1 2 2 y = y0 + ∫ vydt = ∫ t dt = t 0 0 3 3 1 位置矢量为: r = t 2i + t 2 j 位置矢量为: 2 3 t t v = 3ti + t 2 j 31 四 平面极坐标系的运用一,平面极坐标系在所研究的平面内, 在所研究的平面内,取固定于参考物 的一点0为原点 极点), 为原点( ),从它出发引出 的一点 为原点(极点),从它出发引出 一条有刻度的射线为极轴 极轴, 一条有刻度的射线为极轴,即建立起平 面极坐标系. 面极坐标系 用 r, 两个坐标表示质点的 位置. 位置.其单位矢量分别记为 er,e . 需要注意的是, 需要注意的是, er,e 并不是常 矢量, 矢量,它们的位置随质点所在位置的 0 不同而不同. 不同而不同. 质点的运动方程 质点的轨道方程 e N er r r e M e x r = r(t ) = (t ) 32 f(r, ) = 0 位矢,速度, 二,位矢,速度,加速度的极坐标表示 位矢: 位矢: r = re r 速度: 速度: ,在 t 时间间隔内质点的 如图, 如图位移可表示为 e r = r + r2 1 r v = lim t →0 t r2 r 0 = lim + lim 1 t →0 t t →0 t r2 er r r e 1 x er 33 当 t →0 时 r2 → drer r1 → rde ∴ dr d e = rer + re v = er + r dt dt 径向速度 加速度: 直接利用矢量求导法得 加速度: dv d a= rer + re = dt dt ( ) 34 de der re = r + r + re + re + r dt dt 利用矢量图可得 e er der = e, dt de = er dt 代入后整理得 r(r, + ) e er r2 er + (r + 2r)e a= r 径向加速度 ( ) r(r, ) 在平面极坐标的基础上, 在平面极坐标的基础上,如果再设定一个垂直于极坐标平面 的z轴,就构成了柱面坐标系 轴 就构成了柱面坐标系. 35 例1.5:设质点在匀速转动(角速度为 ω )的水平转 :设质点在匀速转动( 盘上, 开始, 盘上,从t=0开始,从中心出发以恒定的速率 沿半径 开始 从中心出发以恒定的速率u沿半径 运动,求质点的轨迹,速度和加速度. 运动,求质点的轨迹,速度和加速度 解: 取极坐标,极点取在盘心,则质点沿半径的运动即为极 取极坐标,极点取在盘心, 坐标中的径向运动, 坐标中的径向运动,即 而横向速度 dr vr = = u dt dθ vθ = r = rω dt 取质点运动所沿的半径在t=0时的位置为极轴, 取质点运动所沿的半径在 时的位置为极轴,则得 时的位置为极轴 r = ut θ = ωt 36 消去t, 消去 ,则由运动方程得轨迹方程 r= u ω θ 故质点轨迹为阿基米德螺线 在极坐标中,其速度为 在极坐标中, v = uer + rωeθ 其加速度为 rθ 2 er + 2rθ + rθ eθ a= r = rω er + 2uωeθ 2 ( ) ( ) 37 五 自然坐标系的运用一,自然坐标系表示法在已知的质点运动轨迹上,选定任意一点 为原点 为原点, 在已知的质点运动轨迹上,选定任意一点0为原点,用轨迹 的长度S来描写质点的坐标 为描写质点的运动, 来描写质点的坐标. 的长度 来描写质点的坐标.为描写质点的运动,规定两个依 赖于质点位置的单位矢量: 赖于质点位置的单位矢量: 切向单位矢量, et : 切向单位矢量 指向自然坐标增大方向 法向单位矢量, en : 法向单位矢量 指向轨道凹侧 s 这种顺着已知的质点运动轨迹建立起 来的坐标系称为自然坐标系 自然坐标系. 来的坐标系称为自然坐标系. 运动方程 速度 o P et s = s(t ) v = vt et + vnen = vt et = vet en 在自然坐标系中,质点运动的速度只有切向分量,没有法向分量. 在自然坐标系中,质点运动的速度只有切向分量,没有法向分量. 38 二,切向加速度和法向加速度如图, 如图,在极限情况下 d = lim = ρ s→0 s ds 1 s P o et et det = end = en 故 ds en ρ det dv ds 1 dv d( vet ) dv = et + v en a= = = et + v dt dt ρ dt dt dt dt dv v2 = et + en = at et + anen dt ρ 39 切向加速度 质点速度大小变化快慢; at = dv dt :质点速度大小变化快慢; an = v2 ρ :质点速度方向变化快慢. 质点速度方向变化快慢. 法向加速度 用自然坐标系描述质点运动的优点: 用自然坐标系描述质点运动的优点: 速度只有切向分量, 没有法向分量; 速度只有切向分量 没有法向分量 曲线" 直线化" 曲线" 直线化". y P2 R o θ P1 x 三,圆周运动的角量描述 1. 角位置θ 和角位移 θ 角位置θ 2. 运动方程 θ = θ (t ) 3. 角速度和角加速度 θ θ dθ ω = lim = t →0 t dt ω dω d2θ = = 2 β = lim t →0 t dt dt 4. 线量与角量之间的关系 θ -rad ω -rad.s-1 β -rad.s-2 圆周运动只有两个转动方向, 圆周运动只有两个转动方向,逆 v = Rω a = Rβ , a = Rω2 时针转动为正,反之,为负方向. 时针转动为正,反之,为负方向. 40 n t 5.圆周运动的矢量描述 圆周运动的矢量描述 dθ 角速度矢量 ω的大小为 ,方向按右手系指向平行于 dt 转轴的方向. 转轴的方向如图所示,当坐标原点选在转轴上时为, 如图所示,当坐标原点选在转轴上时为,有 dr v= =ω ×r dt dv dω dr = × r +ω × a= dt dt dt dr ∵ ω × = ω × v = ω ×( ω × r ) dt dω a= ∴ × r + ω ×( ω × r ) dt ω ω ×r ω × (ω × r ) r 0 41 铅球以10m/s的速度向斜上方抛出 上升 的速度向斜上方抛出, 例1.6 铅球以 的速度向斜上方抛出 上升3.2m 高度后开始下降. 设空气阻力忽略不计, 高度后开始下降 设空气阻力忽略不计 则铅球上升 至最大高度时的曲率半径? 至最大高度时的曲率半径 解: 在最高点 v2 = 0 = v2 2gh y 0y 得 2 v0 y = 2gh 2 v0x = v0 2gh v0 A an O ∵an = v 2 ρ 而在最高点A 而在最高点 an = g v = v0x 2 v0 2gh ∴ρ = ≈ 3.8m g 42 六 相对运动通常,把相对观察者静止的参考系称为定参考系或静参 通常,把相对观察者静止的参考系称为定参考系或静参 考系,把相对观察者运动的参考系称为动参考系 动参考系; 考系,把相对观察者运动的参考系称为动参考系;把物体相 对于动参考系的运动称为相对运动 相对运动, 对于动参考系的运动称为相对运动,物体相对定参考系的运 动称为绝对运动 绝对运动. 动称为绝对运动 两个相对平动参考系 S ′相对 平动速度为 vS′S 相对S平动速度为 y S系 系 y′ S′系 ′ rS A o rS ′S o ′ A′ ′ rS ′ A′ x′ x 43 rS = rS′ + rS′S 两边除 两边除t , 取极限 vAS = vAS′ + vS′S vAS′ = vAS vS′S vAS -称为质点 相对 系的速度 (绝对速度) 称为质点A 相对S系的速度 绝对速度) vAS′ - 称为质点 相对 ′系的速度(相对速度) 称为质点A 相对S 系的速度(相对速度) vS′S -称为 ′系相对于 系的速度 (牵连速度) 称为S 系相对于S系的速度 牵连速度) 将上式对时间求导, 将上式对时间求导,加速度关系为 a′ = a A 其中: 其中: a′ = dvAS′ , dt dvAS , a= dt dvS′S A= dt 上述关于质点位矢,运动速度,加速度的相对性, 上述关于质点位矢,运动速度,加速度的相对性,建立了两个 不同的参考系描述同一质点运动的联系, 不同的参考系描述同一质点运动的联系,提供了从一个参考系的 运动描述转入另一个参考系描述的可能性. 运动描述转入另一个参考系描述的可能性运动的相对性.swf 44 一货车在行驶过程中,遇到5m/s竖直下落的大 例1.7 一货车在行驶过程中,遇到 竖直下落的大 车上紧靠挡板平放有长为l=1m的木板. 如果木 的木板. 雨 , 车上紧靠挡板平放有长为 的木板 板上表面距挡板最高端的距离h=1m,问货车应以多 板上表面距挡板最高端的距离 , 大的速度行驶,才能使木板不致淋雨? 大的速度行驶,才能使木板不致淋雨? 为使木板不致淋湿, 解:为使木板不致淋湿 , 雨滴对 货车的速度 v雨车的方向与地 面的夹角α必须满足下式: 面的夹角α必须满足下式: l h h α = arctg = 450 l 由图知: 由图知: v = v ctgα = 5m/s 地车 雨地 v雨车 45° ° h α v地车 45 v雨地 l v地车 和 v车地 大小相等而方向相反, 大小相等而方向相反 所以货车如 的速度行驶, 以5m/s的速度行驶 木板就不致淋雨了 的速度行驶 木板就不致淋雨了. 一实验者A在以 在以10ms-1 的速率沿水平轨道前进 例 1.8 一实验者 在以 的平板车上控制一台弹射器, 的平板车上控制一台弹射器 此弹射器以与车前进的 反方向呈60 的角斜向上射出一弹丸.此时站在地面上 反方向呈 o的角斜向上射出一弹丸 此时站在地面上 的另一实验者B看到弹丸铅直向上运动 看到弹丸铅直向上运动, 的另一实验者 看到弹丸铅直向上运动 求弹丸上升的 高度. 高度 y y' v' 60° ° o B o' A u x' x 解: 设地面参考系为 系, 平板车参考系为 ′, S′系以速率 设地面参考系为S系 平板车参考系为S′ ′系以速率u= 10ms-1 沿ox 轴正向相对 系运动 轴正向相对S系运动 46 弹丸相对S′系速度与 ′ 弹丸相对 ′系速度与x′轴方向夹角 弹丸相对S系的速度分量为 弹丸相对 系的速度分量为 v′ y tgα = v′ x v′ v′ x a v′ y u vx = u + v′ vy = v′ x y S系的实验者 看到弹丸铅直向上运动 vx = 0 系的实验者B看到弹丸铅直向上运动 系的实验者 所以 v′ = u = 10m s1 x v y = v′ = v′ tgα = 17.3m s1 y x 由变速直线运动的公式可得弹丸上升的高度为 y= v2 y 2g (17.3) = 2 2× 9.8 = 15.3m 47 某人以4km/h的速度向东前进时 , 感觉风从正 的速度向东前进时, 例 1.9 某人以 的速度向东前进时 北吹来,若速率增加一倍,又觉得风从东北吹来. 北吹来,若速率增加一倍,又觉得风从东北吹来. 试求:风相对于地面的速度 风相对于地面的速度? 试求 风相对于地面的速度? 解:设K系是地面参考系 K′系是建立在运动的人身上的参考系. 系是地面参考系, 系是地面参考系 ′系是建立在运动的人身上的参考系. vAK 为风对地的速度; 为风对地的速度; 分别为两种条件下人对地的速度; 分别为两种条件下人对地的速度; 分别为两种条件下风对人的速度. 分别为两种条件下风对人的速度. ′ vK′K ,vK′K vAK′ ,v′ K′ A 由伽利略速度变换式 vK′K ′ vK′K ′ vAK = vAK′ + vK′K = v′ K′ + vK′K vAK A θ vAK′ 450 v′ K′ A 48 由图知: 由图知: vK′K ′ vK′K vAK′ 450 vK' K = v'K' K v'AK' cos 450 θ vAK 1 v'AK' = vAK cosθ = 2vK' K 2 0 vAK′ = v'AK' sin45 = vAK sinθ 由此解得 v′ K′ A v'AK' = 2(2vK'K vK'K ) = 2vK'K /h = 5.66km vAK′ = 2v'AK ' = 4km /h 0 vAK = v 2 k'k +v 2 AK ' /h = 5.66km 49 因为 所以 vAK' tgθ = =1 vK'K θ = 45 0 即风速的方向为东南方向. 即风速的方向为东南方向. 归纳: 归纳:质点运动学概要 1)先后引入若干运动学量, (1)先后引入若干运动学量,用以描述质点位置的变动及 其各种情态. 其各种情态. (2)确立这些运动学量之间的关系. )确立这些运动学量之间的关系. (3)研究质点运动轨道-描述运动轨道,分析轨道特征. )研究质点运动轨道-描述运动轨道,分析轨道特征. (4)给出一个运动学量或一条轨道的若干表达方式或解析表示. )给出一个运动学量或一条轨道的若干表达方式或解析表示. 由此可见,质点运动学本质上系几何学. 由此可见,质点运动学本质上系几何学.凭借笛卡儿几何学 和微积分学,便形成了一个定量的解析的质点运动学. 和微积分学,便形成了一个定量的解析的质点运动学. 50 本章基本要求 1,理解参考系,坐标系的物理意义及质点的应用范围; ,理解参考系,坐标系的物理意义及质点的应用范围 2,应用矢量和微积分概念,掌握描述运动的四个物理量位 ,应用矢量和微积分概念, 位移,速度,加速度的意义以及它们的相互关系; 矢,位移,速度,加速度的意义以及它们的相互关系; 3,掌握用微积分方法解决运动学两类问题 ,掌握用微积分方法解决运动学两类问题; 4,掌握平面极坐标中速度,加速度的表示方法 ,掌握平面极坐标中速度,加速度的表示方法; 5,掌握自然坐标系中运动物理量的表示方法,理解切向加 ,掌握自然坐标系中运动物理量的表示方法, 速度和法向加速度的概念; 速度和法向加速度的概念 6,基本掌握质点相对运动的变换特点和计算. ,基本掌握质点相对运动的变换特点和计算. 51