平面極坐標係是正交曲線坐標系,其平面坐 标网格由一组同心圆( 標網格由一組同心圓( 1 1 c c r = r = )及一组放射

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http://course.bnu.edu.cn/course/mechanics/Content/word/1/1-2.pdf

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§1-2 质点运动的平面极坐标描述 §1-2質點邉拥钠矫鏄O坐標描述 当质点被限制在一个平面上运动时, 其自由 當質點被限制在一個平面上邉訒r,其自由 度 度 2 2 = = s s , 我们建立与参考系固连的极坐标系. 质 ,我們建立與參考系固連的極坐標系.質 点 點 P P 的位置由坐标量 的位置由坐標量 r r 和 和 θ θ 确定, 要明确极角 確定,要明確極角 θ θ 的 的 正方向(即 正方向(即 θ θ 的增加方向)! 的增加方向)! 平面极坐标系是正交曲线坐标系, 其平面坐 平面極坐標係是正交曲線坐標系,其平面坐 标网格由一组同心圆( 標網格由一組同心圓( 1 1 c c r = r = )及一组放射状半直线 )及一組放射狀半直線 ( ( 2 2 c c = = θ θ )组成. )組成. 平面极坐标系的基矢为 平面極坐標系的基矢為 r r e e   和 和 θ θ e e   . . 0 0 = = ⋅ ⋅ θ θ e e e e r r     . . r r e e   的方向为径向, 的方向為徑向, θ θ e e   的方向为横向. 的方向為橫向. ) ) ( θ ( θ r r r r e e e e     = = , , ) ) ( θ ( θ θ θ θ θ e e e e     = = . 我们把矢量沿质点所在 .我們把矢量沿質點所在 位置的基矢“就地” 进行正交分解. 位置的基矢“就地”進行正交分解. 在极坐标系中, 质点的运动学方程为 在極坐標系中,質點的邉訉W方程為 [ ] [ ] )( )( )( )( t t et et r r r r r r θ θ     = = 标量形式 標量形式 )( )( ), ), ( ( t t tr tr r r θ θ θ = θ = = = 消去时间 消去時間 t t , 则得到轨道方程 ,則得到軌道方程 0 0 ) ) ,( = ,( = θ θ r r f f . .
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根据速度的定义, 把 根據速度的定義,把 [ ] [ ] )( )( )( )( t t et et r r r r r r θ θ     = = 对时间求 對時間求 导数, 得到 導數,得到 t t e e r r e e t t r r t t r r v v r r r r d d d d d d d d d d d d         + + = = = = 下面求单位矢量 下面求單位矢量 r r e e   的时间 的時間 导数 導數 t t e e r r d d d d   , , t t e e t t t t e e t t t t e e t t e e r r t t r r r r t t r r ∆ ∆ ∆ ∆ = = ∆ ∆ − − ∆ ∆ + + = = → → ∆ ∆ → → ∆ ∆         0 0 0 0 lim lim )( )( ) ) ( ( lim lim d d d d 当 當 0 0 → → ∆ t ∆ t 时, 時, 0 0 → → ∆ θ ∆ θ . 注意到由 .注意到由 r r e e   及 及 r r e e   ∆ ∆ 组成的矢 組成的矢 量三角形为腰长为1 的等腰三角形, 所以当 量三角形為腰長為1的等腰三角形,所以當 0 0 → → ∆ t ∆ t 时 時 r r e e   ∆ ∆ 与 與 r r e e   垂直, 且 垂直,且 θ ∆⋅ θ ∆⋅ = = ∆ ∆ 1 1 r r e e   . 由于 .由於 0 0 → → ∆ θ ∆ θ 且 且 0 0 Δ > Δ > θ θ 时 時 r r e e   ∆ 与 ∆ 與 θ θ e e   方向相同, 所以 方向相同,所以 0 0 → → ∆ t ∆ t 时 時 θ θ θ e θ e e e r r     ⋅ ⋅ ∆ ∆ = = ∆ ∆ , 故 ,故 θ θ θ θ θ θ θ θ e e e e t t t t e e t t r r         ⋅ ⋅ = = ∆ ∆ ∆ ∆ = = → → ∆ ∆ 0 0 lim lim d d d d 于是得到极坐标系中的速度表达式, 於是得到極坐標系中的速度表達式, θ θ θ e θ e r r er er v v r r           + + = = r r v v r r   = = 称为径向速度, 稱為徑向速度, θ θ θ θ   r r v = v = 称为横向速度. 稱為橫向速度. 根据加速度的定义,得 根據加速度的定義,得
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) ) ( ( d d d d d d d d θ θ θ e θ e r r er er t t t t v v a a r r             + + = = = = t t e e r r e e r r e e r r e e r r er er r r d d d d θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ                         + + + + + + + + = = 下面改换一个方法求 下面改換一個方法求 t t e d e d d d θ θ   . 由于 .由於 θ θ e e   为单位矢 為單位矢 量, 故 量,故 θ θ e e   的矢端曲线为半径为1 的单位圆. 的矢端曲線為半徑為1的單位圓. 0 0 Δ > Δ > θ θ   时, 時, θ θ e e   的矢端沿其矢端曲线运动的速率为 的矢端沿其矢端曲線邉拥乃俾蕿

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