对于质量可以比拟的孤立两体问题，总可以把其中一个物体看作固定力心，只要另一物体的质量用约化质量代替这就是说，无固定力心的两体问题

来源: marketreflections 于 2010-06-19 16:56:08 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (14460 bytes)

discounting of future cash flows

這是 http://www.bb.ustc.edu.cn/jpkc/xiaoji/dxwllx/jiaoan/ppt/ch5.ppt 的 HTML 檔。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。





1


笫五章 角动量守恒


1. 角动量和力矩

2. 质点系角动量定理

3. 质心系的角动量定理

4. 质点在有心力场中的运动

5. 对称性与守恒定律


目 录






2


㈠ 角动量与力矩


单位:


量纲:


大小:


角动量是除动量和能量之外的另一个守恒量.它不但能描

述经典力学中的运动状态，在近代物理理论中在表征状态方

面也是不可缺少的一个基本量.


方向由右手定则确定


一.质点的角动量


角动量被定义为位矢r与动量mv的矢积


O


X


Y


Z


A


B






3


讨论:


⑴ 角动量是相对于给定的参考点定义的，且参考点在所选的参考系中必须是固定点。参考点不同，角动量亦不同，如园锥摆。一般把参考点取在坐标原点。这样，才有


⑵角动量是矢量，可用分量形式表示。


在直角坐标系中


其中：


园锥摆的角动量






4


二、力矩


作用力F，其作用点的位矢为r，它对o点的力矩被定义为


方向由右手定则确定


大小:


在直角坐标系中，其分量表示






5


三.质点的角动量定理


角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上.


而






6


或


表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分


——质点的角动量定理


（2）质点角动量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯性系.


说明:


（1）各量均对同一参考点.


即






7


四.质点的角动量守恒定理


当


守恒条件:


⑴ F=0


⑵ 力F通过定点o，即有心力.


⑶ 当外力对定点的某一分量为零时，则

角动量的该分量守恒：






8


例5.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑.求小球在B点时对环心的角动量和角速度.


解:力矩分析


用角动量定理：


又


B


A


R


O


mg






9


例题5.2 摆长为l的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅

垂线成 角，求摆球速率.


解：如图，在圆锥摆的运动过程

中，摆球相对支点o的角动量为

.L是一个可以绕z轴

旋转的矢量.将其分解两个分量

,其大小分别为


显然， 不变，而 随时间改变.如图,有


o






10


另一方面，作用于摆球的外力有张力和重力，张力对支点o

无力矩，而重力矩的方向与圆周半径垂直，其大小为


在式①两边都除以 ，并取 极限，利用角动量

定理及式②，得


而


由此解得






11


㈡ 质点系角动量定理


一、质点系角动量定理


质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的矢量和：


对t求导，利用质点角动量定理，则得


内力对体系的总力矩为零，上式变为


质点系角动量定

理的微分形式






12


体系角动量定理的积分形式


体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩


二、质点系角动量守恒


质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化

有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内

的分配是有作用的.


当外力对定点的总外力矩为零时，则


或






13


(3) 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量

守恒定律或能量守恒定律中.


(2)角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以

分别守恒.

（a）若 ，则 .

（b）若 , 则 .

（c）若 ，则 .


⑴ 关于总外力矩 M=0，有三种不同情况：

（a）对于孤立系统，体系不受外力作用.

（b）所有外力都通过定点.

（c）每个外力的力矩不为零，但总外力矩M=0.


讨论：






14


例题5.3 卢瑟福 粒子散射实验与有核模型。已知

粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度 射向一

质量为 ，电荷为Ze的重原子核。重核与速度矢量

垂直距离为d，称为瞄准距离。设 ，原子核

可看作不动。试求 粒子与重核的最近距离 。


解：如图，当 粒子接近重核

时，在重核静电斥力作用下速

度随时间改变，在A点到达与重

核最接近的距离 处。


A


因 粒子所受的静电力方向始终通过重核，故 粒子对力

心0的角动量守恒，即






15


又由于 ，并利用瞄准距离d的性质，得到


此外，散射过程中只有静电力作用，它是保守力，故机械能

守恒。粒子在远处时，可忽略静电势能的影响，故有


由上两式即得


所以，舍去负根后，得


代入实验数据可算得 ，与后来原子核半径的测量

值在数量级上相符。






16


㈢ 质心系的角动量定理


在处理问题时,如果采用质心参考系，并取质心为参考点时，

质点系相对于质心的角动量随时间的变化规律将如何表述呢?


一、质心系中的角动量定理


质心系若为非惯性系，则加上惯性力的力矩，角动量定理

仍适用.设 为质心系中体系对质心的总角动量， 为外力对

质心力矩之和， 为惯性力对质心的力矩之和，则


由于质心平动系中，作用在各质点的惯性力与质量成正比，

方向与质心加速度相反，故对质心的力矩为






17


质心系角动

量微分形式


质心系角动

量积分形式


即质点系相对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质心

的外力矩总和.


注意：质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具

有完全相同的形式，但后者总被强调在惯性系中成立，

而质心即使有加速度，质心系为非惯性系（如在重力场

中），质心角动量定理仍成立.


其中 为质心系中质心位矢，它必为零，故






18


二、质心系的角动量守恒


当外力相对质心的总力矩为零时，体系相对质心的角动量为恒量


运动员在跳水过程中，若忽略空气阻力，所受到的唯一
的外力是重力，它在质心系中的总力矩恒为零，因此运动员

绕质心的角动量守恒.


三 体系角动量与质心角动量的关系


在惯性系中，质点系相对于定点的角动量为


而 ，代入上式得






19



上式表示体系的角动量等于质心角动量与体系相对于质心角动量之和.


根据质心的定义，上面后两项为零.于是


质心角动量


体系相对质心角动量






20


例题5.4 质量为 的两个质点的位矢和速度分

别为 和 ，试求⑴每个质点相对于两

质点质心的动量.⑵两质点相对于它们的质心的角动

量.


解：⑴ 对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度u


考虑到质心系是零动量参考系，即


可得


由此可得，每个质点相对于质心的动量分别为






21


两质点的约化质量


⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为


故两个质点系统相对于其质心的角动量为






22


四 两体问题
对于质量可以比拟的孤立两体问题，总可以把其中一

个物体看作固定力心，只要另一物体的质量用约化质量

代替。这就是说，无固定力心的两体问题等效于一质量为

的质点在固定力心的有心力作用下的运动。也就把两

体问题化成单体问题。


即其运动规律满足


其中 是从 指向 的矢量 方向的单位矢量


0


c






23


㈣ 质点在有心力场中的运动


一、有心力


所谓有心力，就是方向始终指向（或背向）固定中心的力.


该固定中心称为力心.在许多情况下，有心力的大小仅与考察点至力心的距离有关，即


保守有心力


有心力存在的空间称为有心力场.如万有引力场、库仑力场、分子力场.






24


二、有心力场质点运动的一般特征


在有心力场中，质点的运动方程为


其特征：

⑴ 运动必定在一个平面上


当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢径

所构成的平面内运动.往往用平面极坐标描述运动.取力心为

原点，运动方程则为


方向


方向






25


有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒.


⑵ 两个守恒量


有心力为保守力，质点的机械能守恒


对②式两边乘r，再对时间积分得






26


⑶ 有效势能与轨道特征


因 是运动常量，故机械能守恒定律可写为


设有两个质量分别为m,M 的质点，

则引力势能为


有效势能


则有效势能为






27


当角动量L取某一确定值，利用

势能曲线，可以讨论质点运动矢径

大小的变化范围，此范围取决于质点的总能量E。质点将在有心力场中作不同类型的轨道运动.


根据有效势能


得到如图所示的有效势能曲线


（1）若 ，轨道为双曲线；


（2）若 ，轨道为抛物线；


（3）若 ，轨道为椭圆或圆。






28


三、开普勒三定律和万有引力定律


人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观

察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe ,1546-1601）进

行了连续20年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（Kepler

Johamnes,1571-1630）则花了大约20年的时间分析这些数据，

总结出三条行星运动规律。


(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过

的面积相等.


1,开普勒行星运动定律


(1)轨道定律：每个行星都各以太阳为在焦点的一个椭圆轨道

运行。


(3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方正比

于公转周期T的平方.即






29


 开普勒面积定律的证明


用 表示从0到速度矢量v的垂直

距离，则有


掠面速度


如图，行星对太阳M的角动量大小为


其中 是 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故


L


M


r


mv






30


由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，

故角动量守恒，亦即


这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律.实

际上，此定律与角动量守恒定律等价.


如图，由解析几何知，椭圆方程为


 太阳在焦点位置的证明


两焦点在长轴上位置坐标为






31


设行星远日点和近日点的距离分别为 ，对应的速

度为 .由机械能守恒，有


由角动量守恒，有






32


考虑到 ，最后求得


这表明太阳位置坐标为（-c），这正是几何上的椭圆焦点位置.这一结果与天文观测资料的一致，证认了牛顿力学理论的正确性,最为重要的是一举同时证认了引力二次方反比律和运动定律两者的正确性.


解得


根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有






33


2,万有引力定律


开普勒行星运动定律蕴涵着更为简洁、更为普遍的

万有引力定律,其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。


根据开普勒轨道定律，为简便起见，可把行星轨道看作

圆形。这样，行星应作匀速圆周运动。因


而 ,故


取比例系数为k,则得


（k取决于太阳的性质）






34


牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物

体之间都存在这种引力，称之为万有引力。


对地球和月球之间的吸引力应有


根据牛顿第三定律，由以上两式得


其比值应是一个与地球和月球都无关的普适常数，设

其为G,有






35


于是，地、月之间的引力为


普适的万有引力定律则可描述为


G称为万有引力常数.因为引力太弱，又不能屏蔽对它的

干扰，实验很难做，故万有引力常数是目前测量最不精确的一个基本物理常量。


其量纲为






36


（五） 对称性与守恒定律


一 对称性


对称性(symmetry)是人们在观察和认识自然的过程中产生

的一种观念。我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫做“变换”，或者说，给它一个“操作”。如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，则称这个系统对于这一操作是“对称”的，而这个操作叫做这个系统的一个“对称操作”。


物理学的规律是有层次的，层次越深，则规律越基本、越

简单，其适用性也越广泛，但也越不容易被揭示出来。


由于变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性。最常见的对称操作是时空操作，相应的对称性称为时空对称性。空间操作有平移、转动、镜象反射、空间反演等；时间操作有时间平移、时间反演等。






37


二 对称性与守恒定律


内特尔定理：如果运动规律在某一不明显依赖于时间的

变换下具有不变性，必相应存在一个守恒定律。


对称性原理与守恒定律是跨越物理学各个领域的普遍

法则，因此在未涉及一些具体定律之前，往往有可能根据

对称性原理与守恒定律作出一些定性的判断，得到一些有

用的信息。


运动规律对时间原点选择的平移不变性决定了能量守恒；


运动规律对空间原点选择的平移不变性决定了动量守恒；


运动规律对空间转动的不变性决定了角动量守恒。


物理规律的对称性又称为不变性（invariannce）






38


下面讨论时空对称性与动量守恒定律：


为简单起见，假设一个体系由两个相互作用着的粒子组

成，它们只限于在具有平移对称性的x轴上运动，如图所示。

设两粒子的坐标分别为 ，体系的势能为


当体系发生一平移 时，两

粒子的坐标分别为


但两粒子间的距离未变，即






39


空间的平移对称性意味着势能与 无关，即空间平移操

作下势能保持不变，故


在这样的条件下，坐标1和2所受的力分别为


按照力的定义式，则有


这就是动量守恒定律。因此，从空间平移对称性导出了

动量守恒定律






40


本章基本要求


1.理解角动量和力矩的物理意义，特别是所涉及的矢量关系.

2.熟练掌握质点和质点系角动量定理及守恒定律，并能处理一

些实际问题.

3.掌握质心系的角动量定理，理解质心系中处理问题的特点

及与实验室坐标系的互换关系.

4.掌握质点在有心力场中运动的基本规律，理解开普勒三定

律的意义.

5.了解对称性的意义，及与守恒定律的关系。

请您先登陆，再发跟帖！