简谐振动 F的指向总是与位移X的方向反向，总是指向平衡位置 F的大小正比于位移x的大小

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第七章 机械振动


1.简谐振动

2.简谐振动的合成

3.阻尼振动、受迫振动与共振


目 录






2


㈠ 简谐振动


机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动.


振动：描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化.


特征：⑴ 重复性、周期性；

⑵ 任意周期运动的分解－周期函数的傅里叶分析


简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分.在数学

上,一个周期为T的函数 可以被展开为一系列不同频

率的简谐函数的叠加－傅里叶级数展开：


其中 而 被称为基频，其他频率皆为

基频的整数倍.






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理想模型——轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹

性力作用下的直线运动.


由牛顿定律，有


弹簧振子的运动


一.简谐振动的特征及其表达式


恢复力的两个特点


1、F的指向总是与位移X的方向反向，总是指向平衡位置。

2、F的大小正比于位移x的大小。






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方程的解为：


—简谐振动的运动方程


速度表达式：


加速度表达式：


令






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二. 描述简谐振动的特征参量


振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值


周期T：完成一次全振动所需时间


频率 ：


角频率 ：


无论什么初始条件，一旦系统振动起来，就有确定的角频率，

它是弹性系统特征的集中体现，故称 为本征频率.






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相位：决定简谐运动状态的物理量


初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量


设


由初始条件决定振幅和初相位


相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态.






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解：


代入简谐振动表达式，则有


例题7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。当t=0时，


求: 运动方程






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三、常见的简谐振动


（1）竖直悬挂的弹簧振子


选平衡位置为坐标原点


平衡时


位移X时


故物体仍做简谐振动


x






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（2）单摆


重力形成的力矩，在角度很小时有


根据转动定律


表明：单摆的运动也是谐振动，故






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（3）复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体。


类似单摆写出方程为：


０


Ｃ


结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。






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例题7.2 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质 点m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期


证明：


如图，在极坐标系中质点m在r处受力为


o


建立oy坐标系，则






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满足简谐振动微分方程，故为简谐振动


则


整理得


由牛顿定律有






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1、旋转矢量图示法





t+


o


p


x


t=0





M


说明:


旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法;
不能把M的运动误认为简谐振动。


四、简谐振动的表示法


作坐标轴ox ,自原点作一矢量


模 － 振幅A


角速度－角频率


与x 轴的夹角－相位


初始与x 轴的夹角－初相






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P点坐标、速度和加速度都作简谐振动.


矢端在x 轴投影的运动规律：


P点的坐标


M点位矢在x 轴上的投影


速度


M点速率在x 轴上的投影


加速度


M点向心加速度在x 轴上的投影





t+


o


p


x


t=0





M






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例题7.3 一物体沿x 轴作简谐振动, 振幅为0.24m, 周期为2s, 当t=0时x0=0.12m, 且向x 轴正方向运动.

试求: 1) 振动方程; 2) 从x=-0.12m, 且向x轴负方向运动的状态, 回到平衡位置所需的时间.


当t =0时, x0=0.12m, v0>0


为确定初相, 画出t=0时旋转矢量的位置


由题知


解:


1) 设振动方程为


x





o


p


t=0





M






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振动方程为:


由图得到


2) 从x = -0.12m, 且向x轴负方向运动的状态, 回到平衡位置所需的时间


x





M


o


p






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2、x-t曲线图示法


简谐振动也可用x-t的振动曲线表示，如下图所示，图上已将振幅、周期、和初相标出.


x


x


T


t


A






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解：设运动表达式


t(s)


O


2


-2


X(m)


1


由图可见，A=2m，当t = 0时有：


例题7.4 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根

据图中数据写出振动表达式。


由此得






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解得：


当t = 1时有


O


2


-2


X(m)


1






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五.简谐运动的能量


设在某一时刻,振子速度为ｖ则系统的动能：


该时刻物体的位移为Ｘ,则系统的势能：　


系统的总能量：


谐振动的总能量与振幅的平方成正比






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能量平均值


能量曲线图






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㈡ 简谐振动的合成


合成结果仍为简谐运动
合振动与分振动在同一方向, 且有相同频率


一、同方向同频率谐振动的合成


合振动的运动方程：


A2


A1


x


0


A


x2


x1


x



任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成。






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讨 论：


1) 相位差同相


同相, 合振幅最大


2) 相位差反相


反相, 合振幅最小


当A1=A2时, 质点静止


3) 一般情况（相位差任意）


相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用






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二、两个同方向不同频率谐振动的合成


设一质点同时参与了角频率分别为 的两个同方向

的简谐振动


设两振动的振幅相同，初相为零,即


合振动的运动方程为：






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讨论: 两频率都较大, 而频率差很小的情况


表明: 一个高频振动受一个低频振动的调制


合振动频率


合振动振幅


x


t


x2


t


x1


t






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合振幅出现时大时小的现象—拍现象


振幅变化的周期为：


拍频：


拍现象的应用：


用音叉振动校准乐器；
测定超声波；
测定无线电频率；
调制高频振荡的振幅和频率等。


三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成






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消去参数t, 得轨迹方程


运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差.


合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为


讨论：


1)


轨迹：


两个分振动同相






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2)


轨迹：


合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为


两个分振动反相


y 比x 位相超前/2, 故椭圆轨道运动的方向时顺时针, 即右旋的.


3)


轨迹：






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4)


轨迹：


y 比x 位相滞后/2, 故椭圆轨道运动的方向时逆时针, 即左旋的. 当A1=A2时, 正椭圆轨道将变为圆轨道, 即质点作圆周运动.






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四、垂直方向不同频率简谐振动的合成


可看作两频率相等而2-1随ｔ缓慢变化, 合运动轨迹将按上页图依次循环地缓慢变化.


ｔ


1. 若两分振动频率相差很小






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合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比关系时，时稳定的封闭曲线，称为利萨如图形


2. 若两振动的频率相差很大


工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差


A2


x


A1


y


o


-A2


- A1


A2


x


A1


y


o


-A2


- A1


A2


x


A1


y


o


-A2


- A1






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例2: 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为


1) 求它们的合振动方程；2) 另有一同方向的简谐振动


问: 当3为何值时, x1+x3的振动为最大值？当3为何值时, x1+x3的振动为最小值？


解：1) 两个振动方向相同, 频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动, 合振动方程为






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所求的振动方程为


2)


当 时，相位相同。


当 时，相位相反。


根据已知条件，t=0时，合矢量应在第二象限，故






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一、阻尼振动


振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。


㈢ 阻尼振动 受迫振动 共振


设粘滞阻力


由牛顿方程


1. 阻尼振动的运动微分方程


（固有角频率）


（阻尼因子）


令


0


x


k


P


x


m






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将形如 的解代入微分方程，得特征方程


其特征根是


按阻尼度 大小的不同，微分方程有三种不同形式

的解，代表了振动物体的三种运动方式.


得运动微分方程






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2. 弱阻尼


时, 阻尼振动运动方程的方程解为


阻尼振动的角频率:


A0和 决定于初始条件的积分常数


x


t


o


阻尼振动曲线：






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弱阻尼曲线：


振幅随时间t 作指数衰减
近似为简谐振动
阻尼振动周期比系统的固有周期长


即是物体不作往复运动的极限。系统从周期运动变为非周期振动.称为 临界阻尼,


3. 临界阻尼和过阻尼


时，特征方只有一个重根，微分方程的解为






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这种过阻尼运动方式是非周期运动,振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置, 不再做往复运动.


时，阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这

时方程的解为


x


t


o


弱阻尼


临界阻尼


过阻尼






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系统在周期性外力持续作用下所发生的振动


二、受迫振动


1. 受迫振动


强迫力:


阻尼力:


恢复力:


x


m


F


f


-kx


2. 受迫振动的运动微分方程






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微分方程的通解为


x


t


o


--简谐振动, 定态解


经一段时间受迫振动变为简谐振动


令 ，代入方程②,有


--阻尼振动, 随时间消失


其中：






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由此得定态解的振幅和相位分别为


三、共振


驱动力的角频率为某一定值时, 受迫振动的振幅达到极大值的现象.


共振振幅：


共振角频率：






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分析:


1)  越小时


2)  =0时


尖锐振动


O


0


A





无阻尼 =0


弱阻尼 >0


大阻尼 >0


应用:


电磁共振选台(收音机)
乐器利用共振提高音响效果
研究避免共振的破坏的措施：


破坏外力(强迫力)的周期性;
改变系统固有频率;
改变外力的频率;
增大系统阻尼力..





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本章基本要求


1. 掌握谐振动的特征和规律，理解描述谐振动的特征量的物

理意义，熟练确定振动系统的特征量，建立谐振方程.

2. 熟练掌握描述谐振动的旋转矢量法和图示表示法.

3. 掌握同方向、同频率谐振动的合成的特点与规律，掌握

互相垂直谐振动的合成的特点.

4. 理解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件和规律.

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• 振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 -marketreflections- ♂ (526 bytes) () 06/19/2010 postreply 17:22:48

• 相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态. -marketreflections- ♂ (51 bytes) () 06/19/2010 postreply 17:23:52