洛仑兹条件•规范场• 四维张量
虽然学了普通物力和一个学期的电磁场，相对论的时空观还是没有建立。这几天通过阅读和研究一些物理学上有关电磁场，电动力学，狭义相对论的书籍，这个观念才慢慢建立。 ...
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场的势·狭义相对论· 四维张量
我开始冒出这个念头是上课听老师讲到洛仑兹规范。为什么用这个规范书上并没有讲，而是粗略地给出了与相对论原理有关。到底是何关系呢？我们学了近一个学期的电磁场，其实大部分时间是在学习如何用现成简单的模型去解释计算电磁场，以及和电磁场有关的各种器件的性质及运用的计算，而对电磁场的本质接触的并不是很深。而我从中学开始就看过一些相对论的书，但是真正的理解却谈不上。所以我想去更深入地对其加以研究，以便对电磁场有一个更深的了解。下面就是这几个星期以来我看书思考的一点点收获。
（1） 洛仑兹条件：
在《电磁场与电磁波》的第八章天线中，为了求解激发的电磁波，需要解有源麦克斯韦方程：
求解的过程中要将E和H用位函数Φ和A替换：
得到两个非齐次的亥姆霍兹方程：
当边界趋于无穷远时，这两个方程的解即电磁场的位函数就是：
再通过位函数可以反求场量E和H。
而在用位函数进行替代的时候，考虑到A只规定了旋度，所以可有无穷多个取值，我们用洛仑兹条件对其加以限制：
（2） 场
我们看到位函数的定义显然是两个散度旋度分别为零的两个量，通过这两个量可以完全地决定电磁场这个场的的状态。场到底是一种什么东西呢？那就先从它开始吧。从中学开始接触电磁场，书本上说场是一种特殊的物质，物体可以通过它，不接触就可以相互作用。场它看不见，摸不着，却着实存在。结果我心中还是迷迷糊糊的，只是记住了书上说的那些概念和性质，而场还依然神奇。
通过我们这个学期的学习，我们知道在一个区域里每点都存在一确定的物理量，我们就可以说在这个区域里存在有某场量构成的场。这个场量可以是标量也可以是矢量。由于在这个区域里的每一场量都不是单独存在的，而且仅仅研究单个点上的物理量没有实在意义，所以常常要研究一点的场量和周围其它点的场量之间的关系，这就有了很多表示场性质的量。
（1）梯度：表示一个标量沿一定方向的大小变化
（2）散度：表示流出单位体积的矢量流量
（3）旋度：单位面积上的矢量环量
有了这些新的量之后，就可以对场进行分类：
（1） 旋度为零的场叫无旋场。因为
，所以该场量可以是一个标量场的梯度或其相反数，即
。
静电场就是一个无旋场，因为对单个电荷来说：
从而根据场的叠加原理可以得到：
同时运用斯托克斯定理可得：
即
。这表明静电场的电场线是从正电荷出发，连续地通过自由空间到负电荷，中间没有任何的漩涡结构。就像不断地往一个装满水的脸盆中间放水，虽然水不断地从中间向外面流走，但是没有漩涡。
（2） 散度为零的场叫无源场。因为
，所以该量可以是一个矢量场的旋度，即
。
任何磁场都是一个无源场，这是因为“磁荷”是不存在的。所以对于任何闭合曲面磁感强度B得通量总是零：
，即
。就像一盆被搅乱了的水，在里面到处都有各自的旋度，但是每个地方的水没有多也没有少。
（3） 而一般的场散度旋度都不为零。
就像在电磁场中，电场和磁场是耦合在一起的。且只有有旋的电场才能产生磁场，所以
感应电场是有旋的。在解这种复杂的场问题时，我们总喜欢将其分解为简单的问题来解。根据亥姆霍兹定理，任何一个矢量场都可以分解为一个无旋场和一个无源场之河，所以自然而然的将电磁场加以分解。因为有源的电磁场满足：
所以就有
完全满足分解的条件，而方便了求解。
（3） 势的应用
看完了场的分解，下面就看一下人为引入的两个位函数，而公式中的Φ与A就是势。
（1）Φ为电场的标势。在确定了零势能点之后，它的物理意义为把单位正电荷从零势能点移到该点克服电场力所做的功，即电势能的增量。静电场中旋度为零，且电场强度总是由高电势指向低电势的，所以定义
。由Φ可以完全确定E。
（2）A为磁场的失势。在确定了零势能点之后，它的物理意义为把单位正电荷从零势能点移到该点克服电场力所做的冲量，即电磁场的动量增量。磁场中散度为零，所以定义
。而只给出矢量场A的旋度，无法确定A，只有通过规定A的散度才能确定它。在静磁场的问题上，通常规定
，称为库仑规范。而在电磁场问题中，我们规定
，称为洛仑兹规范。可见当
不随t变化时，洛仑兹规范就是库伦规范。可见所谓规范只是一个为了方便计算的统一的规定而已。
通过这两个势，可以将电磁场的问题大大简化。
（1）在静电场中：
把
代入就有
如果空间中介质分布均匀，且
，则可得拉普拉斯方程
，用分离变量法求解。如果空间中
，则可先利用高斯定理等方法求一特解，再加上等于零时候得通解，则原方程即可求解。
解的形式为：
（2）在静磁场中：
把
代入就有泊松方程
，即可求解。
解的形式为：
（3）有源电磁场：
把
代入，再设有洛仑兹条件：
可得达朗贝尔方程：
，也易求解。
其解的形式为：
要注意的是，势其实是一个人为规定的量，它具有不确定性，归根结底只是一个为了方便计算的中间变量罢了。洛仑兹条件给了它一个相对容易求解的形式。
（4） 狭义相对论
研究势的过程中，特别是在其解的形式里，我们发现区域中某一点某时刻的势并不是由该时刻的源决定的，而是由一定时间之前的源的性质决定的。这就有了一个推迟势的概念，说明了物体通过场的作用不是超距的，而是近距的；电磁波是以一定的速度
传播的。而这个速度是一个常数，而且与所取的惯性系的不同是无关的。这不禁要使我们对经典的时空概念产生怀疑，从而决定了狭义相对论的诞生。因为在任何惯性系中，描述的物理规律都应该是等价的，光速也应该是不变的。
1、洛仑兹变换：
假设有两个惯性系
和
，之间只存在x方向的相对速度为v。一个光信号从刚开始两个惯性系重合的原点（0，0，0，0）发出，一定时间后的波阵面是球面：
根据相对性原理，在不同惯性系中两事件的间隔应该是一样的，即间隔不变性
。
由于在不同的惯性系中，对物理规律的描述都应该是等价的，所以假设两惯性系的变换应为线性的：
根据两个坐标系的相对速度有
可以得到：
。
统统代入间隔不变的关系式可得：
要对任意的x、t都成立，所以同类项之前的系数必须相等：
解得：
代入原变换式就有洛仑兹变换：
同时也可以求得速度的变换式：
2、时空理论：
（1） 在这些变换中可以看出：物体运动的速度不可能超过光速，否则根号内就会出现负数。
（2） 而光速在所有惯性系中是不变的：
若有
则
。
（3） 时空是相对的，且两者之间存在着密切联系。不同惯性系中测得的空间时间距离会不同，造成了同时的相对性：
时间间隔的相对性：
距离的相对性：
在此，时空应该被看作一个整体来进行研究。
（5） 张量
1、定义
（1）并失：
（2）并失在三维空间中有九个分量，称为三维二阶张量
其变换满足变换式：
其中
成为单位张量
两个张量相等需要9个分量都要相等。
如果
，就称为对称张量；如果
，就称为反对称张量。
2、计算
（1）张量加减，即将每个分量分别加减。
（2）标量乘以张量，即将每个分量分别乘以这个标量。
（3）矢量与张量点乘叉乘，即将矢量与分量中相邻的矢量相乘。
（4）张量与张量间的点乘，即将中间两个矢量求标积。
（5）张量的散度，
另有：
（6）张量的旋度，
（7）各种其他计算公式：
3、物理意义： 
的意义为通过垂直i轴的单位面积流量的j分量。
（6） 四维空间：
1、定义：
（1）四维空间：我们将x，y，z，t看作空间中的四个坐标。由于时间这个坐标的特殊性，为了量纲相同，我们把时间坐标表示为ict。这样四维空间中每个点都表示一个“事件”，而根据间隔不变性有：
不变量。由于洛仑兹变换满足间隔不变性，所以它可以作为四维空间中的坐标变换：
（2）四维标量：一个物理量由一个纯数表示
，且满足间隔不变性：
不变量。
（3）四维矢量：一个物理量V有四个分量
，且满足洛仑兹变换规律。
记作：
或
（4）四维张量：类似三维空间中的张量，四维空间的张量由16个分量组成，在洛仑兹变换下满足：
2、四维空间的物理量：
（1）速度矢量：
（2）加速度矢量：
（3）四维动量矢量：
（4）四维力：
3、四维空间的计算
（1）四维微分：
（2）达朗伯算符
（3）梯度：
（4）散度：
（5）旋度：
4、电磁场的四维协变形式：
（1） 电荷守恒定律：
若引入四维电流密度矢量：
，则连续性方程就变为：
。 因为电流密度J的定义为
，而速度是一个相对的物理量，在计算密度中体积也是一个相对量，所以加上时间这一维后才满足协变性，即
（2）电磁场的势：
失势A和标势
满足达朗贝尔方程
和洛仑兹条件：
若引入四维势矢量：
，就有：
因为标势的计算涉及到距离，而失势的计算涉及到时间，他们都是相对量。其余一个变量为力，所以将其统一为四维势矢量后，满足协变关系。
（3）电磁场张量：
根据
，
引入四维张量：
，即
满足协变性：
=不变量，或
不变量。
从中可以看出，E和B在相对论中统一为一个整体电磁场张量
。，因为磁场总是一个无源场，所以B是空间分量，只用考虑空间的分布；而电场可能是有源的，考虑源的作用的同时还要考虑磁场的耦合作用，所以E是空间时间混合分量。单个的磁场电场就是个相对的概念。
（4）电磁场的变换关系：
根据可以求得在不同的惯性系中：
如果将其分为与两个惯性系的相对速度平行和垂直的分量，有：
从中可以看出，在不同的惯性系中，电场和磁场不知绝对的，是可以相互转化的。这是由于时空的相对性决定的。
（5）麦克斯韦方程：
由于四维张量的散度为：
其空间部分
为
时间部分
为
而根据定义可得
，
当
分别为（1，2，3），（2，3，4），（3，4，1），（4，1，2）。
就有
和
所以将电场和磁场分量和在一起就可以得出麦克斯韦方程的协变量形式。
（6）波矢量和频率：
波矢量和频率决定了相位
。根据间隔不变性，等相位面应该在各个惯性系中保持不变。所以引入四维波矢量：
。则有
不变量。因为k决定了一个波在空间里的重复性质，而
决定了波在时间里的重复性质，将两个合为四维波矢量，就决定了一个波在时空中相位的不变性。而多普勒效应正是四维波矢量在不同惯性系下的变换。
（7） 一些感想
起初想到这个题目的时候，很大部分还是出于好奇和冲动。可能是由于学工科的原因吧，对场，势，相对论等十分重要的概念了解得都不是很深，而往往把重心放在计算应用上了。虽然学了普通物力和一个学期的电磁场，相对论的时空观还是没有建立。这几天通过阅读和研究一些物理学上有关电磁场，电动力学，狭义相对论的书籍，这个观念才慢慢建立。虽然对有些问题自己觉得仍然认识不深，但现在总算是能以一个四维的眼光去看问题了。
看书的过程中，我也碰到了不少的难题。比如张量这个全新的数学概念，还有思维空间的平时根本无法接触到的概念，但都被一步步，一点点解决掉了。我发现在学习中，特别是一个概念的建立的时候，形象思维比抽象思维要更有效。而且通过例子，通过自己的反复演算验证，和通过请教比较内行的同学，都有助于自己熟悉掌握这些新的知识。
这次的学习使我想起了上学期的偏微分方程课，就是十分的艰深难懂。后来在考前答疑的时候，管志成老先生曾要求我们几个在场的学生暑假回去把书上最难的地方再好好地看一看。他告诉我们，有的东西虽然看起来很难，但是只要用心去看它，花时间去钻研， 是可以学会看懂的。而只要有一些这样的经历，对今后的学习工作就有很大的帮助了，再也不怕难题了。这次的经历就又给我上了一次课。张量的东西，狭义相对论的东西很难，大一的时候老师只提了一下，让我们记了几个公式，我也没去认真看它。可是这次借学习电磁场的机会，把它认认真真的学了一遍，确实很有收获。现在回头看看，发现这也不是很难的。
关于电磁场的课程，上了一个学期我也很有感受。有些新的讲法很生动，给我的印象也特别深，像对矢量计算的几个概念及时谐量的引入。而且像传输线原理，模式匹配，横向谐振的运用可以很简单地解决很多很复杂的问题。让人觉得电磁场并不是想象中的可怕。可是可能是时间的问题，有很多问题并没有讲得很深入。一些问题只是牵涉到会求解就停止了，可能讲一些更本质的东西会更有助于大家对这门课程的理解。还有大家在上课的过程中也表现出对一些比较难的部分有点反感，可能这个已经是大家的通病了。但是我觉得不应该是这样的，特别是对竺院的学生来说，难的东西应该激起我们学习的欲望才对。
做这次的读书报告，我得谢谢同班的朱礼君同学，学物理的他给了我很多启发，也使我一开始就产生了研究一下洛仑兹规范等的念头。同样也要谢谢同寝室的三位同学，邹集、陈博和仇建，因为我的电脑被拿去保修，这篇报告是在他们不用电脑的时候，我轮流用他们三人的电脑一字字打出来的。
当然，由于时间比较的紧迫，这篇报告中还有许多不足之处，有些见解也并不是很深，希望见谅。但对这几星期来我的收获，我还是满意的。
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