在经典物理学中，“粒子”和“场”是两个不同的概念；它们涉及不同的现象，并分别用于描述分立性和连续性。一个系统可能包含巨大数量的粒

如果一个系统的变量是不可数的，如电场强度，high volume high volatility, many dimensions, particularly 相互作用，正反馈, extreme trend

 

经典场论和量子场论

吴大猷

　　1.量子力学中的场

　　经典物理学中，我们所熟悉的两种场是电磁场和引力场。

　　在经典理论中，直接可测量的量是力，例如作用于一个粒子或物体或电荷上的力。因此即使当“势”的概念被引入引力场和电磁场时，出现于运动方程或麦克斯韦场方程中的也只是它们的微商。一个场的“势”，在引力场中仅被定义为一个常数，在电磁场A、中则为一规范变换。

　　在量子力学中，直接出现于波动方程中的是“势”而不是“力”。因此一个粒子的薛定谔方程是
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　而电磁场中一个电子的狄拉克方程是
　　　　　　　　　　　　　

　　式中出现的是势V、A、Ψ而不是力。

　　重要的问题是：势是否有可观察的效应？

　　（1）不可积的相

　　容易看出，一个自由电子的波函数Ψ⁰满足
　　　　　　　　　　　　　

　　它与（1）式中波函数Ψ之不同在于位相
　　　　　　　　　　　 　

　　（2）可积的相

　　如果方程（1）中的（A，Ψ）经过规范变换
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　其中

　　□χ=0，χ为一标量函数

　　容易得出方程（1）变为
　　　　　　　　　　　　

　　其中
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

为可积的。）

　　（3）阿哈罗诺夫－玻姆实验阿

　　哈罗诺夫－玻姆（1959年）提出由下述实验来探测位相（3）的效应。取一细长的螺线管（垂直于纸平面），让一束电子在点A处被分为纸平面中环绕螺线管的两个半圆C₁、C₂，并于B点重新汇合起来。除了螺线管内部以外，磁场H处处为零。因为A_μdx^μ是洛伦兹不变量，

。B点处两束电子的相差为
　　　　　　　　　　　　　

　　其中σ为被两束电子圈起的面。由这种相差引起的干涉效应已为钱伯斯（1960年）所观察到。

　　这个实验非常重要：①在量子力学中，势A产生了一个可观察效应（尽管与规范变换相联系的势将不具有这一阿哈罗诺夫－玻姆效应）；②螺线管场的存在好像改变了空间的（拓扑）性质－－它不再简单地像在没有A场时那样连接了。

　　这里可以提一下，另一个磁场影响波长的位相的例子，是狄拉克的磁单极理论（1931年）。

　　2.统一场：引力场和电磁场

　　正如我们所已经知道的，最简单的两种场统一的例子是电场和磁场的

　　一。这种统一的取得是通过引入一个四维矢量（A₁，A₂，A₃，A₄=

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　其分量给出了两个三维矢量E，B的6个分量。在这个例子中，闵可夫斯基四维空间是平直的，即电磁场不影响自由场空间的度规。这一统一不仅“令人愉悦”，而且也是狭义相对论理论的必要成分。

　　在爱因斯坦的引力理论中，牛顿的万有引力“作用”被看作是四维空间的内禀性质，即“引力”是植根于时空结构的度规性质中的。这可以与电磁相互作用作一对照。在他完成引力理论（1916年）后不久，爱因斯坦就开始考虑电磁场和引力场的统一。从上所述，我们可以看出这一问题的困难性质。爱因斯坦后来在这个问题上花费了大量精力。

　　关于这种统一的第一个理论，是由数学家T．卡鲁查发表的；他的手稿于1919年（？）交给爱因斯坦，并由爱因斯坦于1921年送去发表。卡鲁查提出了一个五维世界，具有度规

　　dσ²=g_αβdx_αdx_β，α，β=1，2，3，4，5

　　其中g_αβ被假设具有简单的形式

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　A₁ g₁₁ g₁₂ g₁₃ g₁₄

　　　　　　　　　　　　　　　g_αβ=A₂ g₂₁ g₂₂ g₂₃ g₂₄

　　　　　　　　　　　　　　　　　A₃ g₃₁ g₃₂ g₃₃ g₃₄

　　　　　　　　　　　　　　　　　A₄ g₄₁ g₄₂ g₄₃ g₄₄

　　其中（A₁，A₂，A₃，A₄）是电磁场的四维矢势，而g_μν（μ，ν=1，2，3，4）是（爱因斯坦理论中的）四维（黎曼）空间的度规张量分量。所有g_αβ都假定分别为x₁，x₂，x₃，x₄的函数。场方程（通过扩展爱因斯坦理论）假定为
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　其中R_αβ是（收缩后的）黎曼张量，T_αβ是排除了纯电磁学部分的能量－动量张量。通过对一质量为m、电荷为e的单个粒子的情况作特殊简化，
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　于是对α，β=1，2，3，4，人们得到引力场方程；对α，β=1，2，3，4，5，人们得到麦克斯韦方程；此时人们须确定μ₅=e/m。mμ_α是五维动量－能量－电荷矢量。

　　五维理论是有趣的，但结果多少来自对g_αβ构造的不同假定。爱因斯坦于1923年致力于继续研究这一理论，但在1926年，O．克莱因发展了卡鲁查的理论，并把新发展起来的量子力学结合进来。爱因斯坦于1929年与爱丁顿一起致力于五维理论；于1930年至1932年间与W．迈耶尔致力于它；于1938－1941年间又与P.柏格曼和V.柏格曼致力于它。此后不久，他放弃了这条研究途径。

　　由克莱因的工作和以后的发展，人们认识到把量子力学原理与五维理论联系起来，只会使电磁场和引力场的统一更加复杂化。看起来广义相对论与量子力学的结合是没有希望的（泡利，1955年）。场理论在爱因斯坦的意义上是决定论的，因而不能以一种根本的方式与其基础为不确定性原理的量子力学相混合。近年来，统一引力场和其他已知场（电弱的和强的）的尝试采取了新的方向（见下面第7节）。

　　3.经典场

　　在经典物理学中，“粒子”和“场”是两个不同的概念；它们涉及不同的现象，并分别用于描述分立性和连续性。一个系统可能包含巨大数量的粒子，例如气体中的分子，但只要它们是可数的，基本理论就是经典力学。但如果一个系统的变量是不可数的，如电场强度，则基本理论就是所谓的场论①。

　　在经典场论，例如电磁场中，定律通常以偏微分方程表示，这些方程为从拉格朗日密度得出的哈密顿方程，且皆为相对论性协变形式。

　　但自爱因斯坦1905年的辐射量子论始，诸如光电效应和康普顿效应等直接实验对电磁辐射的粒子性质给出了有力的证据。这引导我们去寻求一种数学理论以描述连续场的量子性质－－类似于量子力学中原子和分子现象的量子化。把量子力学拓展到场的量子化性质，这个理论就称作量子场论。

　　粒子动力学的“量子化”数学方法由为索末菲和威尔逊所普遍化的玻尔量子条件开始，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　这个条件是一开始引导玻恩和海森伯在他们的矩阵力学中假定对易关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　的线索。

　　我们已经看到，这个关系如何与量子力学中的概率公设一起，成功地处理了经典物理学中所描述的“粒子”和“波”，并导出爱因斯坦－德布罗意关系式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　现在，我们希望从粒子回到老问题－－电磁场的量子理论，以把粒子动力学（坐标和动量、角动量和能量）的量子化方法扩展到连续场。

　　这种方法由下述程序组成：

　　（1）以经典动力学的哈密顿方程形式中的四维势，来表示电磁场规律，即麦克斯韦的场方程组。

　　（2）定义场变量（“坐标”，例如四维势及其正则共轭）。

　　（3）通过类似于上述对易关系的关系使场变量量子化。

　　这种程序当用之于所谓“自由场”（例如不受电荷密度ρ和电流密度J影响的电磁场）时，能够很容易地实行，并且事实上量子化场由光子表述。这一理论首先由狄拉克于1927年提出。

　　具有四维势的电磁场并非最简单的经典场。如果我们把克莱因－高登方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　看作一经典标量ψ场的方程，则量子化过程甚至更为简单。量子化场也适用于描述π介子（π⁰，π¹，π²）。

　　4.量子化场

　　我们已经看到，由法拉第引入、麦克斯韦发展的电磁场的概念－－尤其是连续统的概念－－首先被电磁现象的整个波谱所确立，尔后又发现了其他一些现象，这就迫使物理学家引进量子概念，这是一个关于离散的概念。这个二象性的两难推论，在概念方面，在哥本哈根学派的实证哲学中是用“互补原理”来“解决”的。在数学方面，这个二象性是用“量子化场”的形式体系描述的，在“量子化场”中，具有能量和动量这些粒子属性的光子乃是使电磁场“量子化”的结果，而荷电的粒子（电子）则是使由粒子的波函数所描述的“场”量子化的结果。电荷之间的相互作用，是通过它们与电磁场的相互作用进行的（电荷本身是电磁场之“源”）。法拉第最初的这种观念，现在被翻译成为相互作用场－－电子场和电磁场－－的量子理论语言了。相互作用场的数学理论成为量子电动力学的主题。这个理论的发展自1930年代以来使许多大物理学家为之忙碌。这些大物理学家中，30年代有海森伯、泡利、狄拉克、费米；40年代后期有朝永振一郎、施温格和费因曼。这种相互作用场理论的数学结构有着许多非常基本的困难－－在理论中出现无穷大问题难以消除。这个理论决非一个单纯的形式结构；它导致了电子的所谓兰姆移位和g值（磁矩与角动量之比），它是由兰姆、卢瑟福和库什在实验中发现的。

　　量子化场的概念，首先是从电磁场和电子场（狄拉克场）发展起来的，接着由汤川秀树卓有成效地于1935年应用于一种当时还未知的场，如今我们称它为介子场，它与核子（质子与中子）的耦合可以说明核子间的强相互作用。介子场的量子化“粒子”后来在宇宙射线中找到，接着又在实验室的高能加速器中发现，例如π介子。

法拉第的同一个基本思想，即粒子通过与一个场的相互作用而形成粒子间的相互作用，也被费米于1933～1934年应用到电子－中微子场，以说明另一种相互作用－－所谓的弱相互作用－－它们支配诸如原子核的β衰变和介子的π-μ衰变。

　　下表列出各种已知场及其所起作用的相似性。
　　　　　　　　

　　在基础物理学发展的目前阶段，对于自然界中所有各种相互作用的统一性还远未得到完备的理解，不过，它们之间在定性的相似性上已有明显的统一。物理学中真正的基本问题之一，就是这些相互作用的本质问题。

　　1928年，狄拉克建立了电子的相对论性波动方程。它取得了下述成功：它的形式是洛伦兹不变的；它以回磁比g=2包含电子自旋；它预言了反粒子正电子的存在，并于1932年为安德森在实验中发现；它给出了氢原子能级的正确的精细结构。狄拉克方程也有一些“困难”。其一是把这一为单一电子建立的理论推广到一个多电子系统。另一困难则更为基本，即着手于描述单一电子的理论结果却由于为说明处于负能态的无限电子海而不可避免地具有多体效应。在一个强场中，一个电子不再孤立存在，而是一个包含无穷多（并且其数目非不变的）电子和正

　　子中的电子的例子中已有所提示，当Z=137时，通常的能级理论遭破坏。因此，严格说来，单一电子理论仅在自由电子的极限情形中有效，并且必然为“多电子”理论所取代。

　　眼下，一个数目无限大并且可变的“粒子”系统的适当表述是“场”－－正像“光子”表述的是电磁场。由此我们可以说，从粒子的观点出发，人们寻求一种满足相对性原理的粒子理论，结果发现合适的理论为一多体理论，而多体系统的适当表述是“场”。

　　这样，问题就在于构造一多电子场论。人们可以从一自由电子的狄拉克方程出发
　　　　　　　　　　　　　　　

　　并把它看做一经典场Ψ（在此情形中为一四分量场）的方程。然后把Ψ_μ看作场变量（类似于电磁场中的四维势AΨ）及其正则共轭。再以对易关系形式引入量子化条件，如所期望的，人们可得到电子作为量子化场的粒子。这样一种量子化程序被称为“二次量子化”。量子化的ψ拥有波动和粒子两种性质－－正如量子化的电磁场拥有光子和波动性质一样。

　　纯电子场的量子理论不存在困难，但对电子加上电磁场的耦合系统，一种相对论性量子理论（即量子电动力学）则存在严重的根深蒂固的困难，即物理量计算结果中顽固的无穷大问题。

　　紧随狄拉克1927年的量子化电磁场论而来的，有约旦和维格纳、海森伯和泡利以及费米（1930年）等人的工作。但直到40年代中叶，随着日本的朝永振一郎和美国的施温格、费因曼和戴森等人的工作，才取得突破性进展。尽管无穷大依然存在，但这种理论以一种确定的、协变的方式成功地“消减”它们，从而可得出有限的结果，并与观察到的兰姆移位和“反常磁矩g”〔g=2（1+α／2π+…），α=1／137〕精确地一致。从40年代中叶到50年代中叶的10年，是热衷于量子电动力学研究的时期，既进一步分析这一“重整化”理论，也致力于使理论摆脱无穷大（即不仅仅分离和掩盖它们）。但是，迄今仍未找到一种令人满意的解决问题的办法①，而同时，物理学家已把他们的兴趣转向其他领域－－基本粒子及其相互作用和它们的统一。

　　5.粒子和相互作用

　　1935年，汤川秀树提出了关于两个核子间的“强”相互作用的介子理论。介子（π介子）的波动方程（取为克莱因－高登方程）给出了介子场，经量子化导出了π介子。

　　30年代早期，泡利提出了中微子假设，费米则对作为“弱相互作用”典型的β衰变提出了中微子理论。 1932年，查德威克发现了中子，而在30年代后期，实验研究证明了核子－核子相互作用与电荷无关。1946－1947年间π介子的发现证实了汤川秀树的“强相互作用”。到50年代前期，在自然界中已知有四种相互作用，按强度顺序依次排列，即

　　（1）核子间的强相互作用，强度级为1，

　　（2）电磁相互作用，强度级为10^-2，

　　（3）β衰变、π～μ衰变中的弱相互作用，强度级为10^-12，

　　（4）引力相互作用，强度级为10^-29。

　　到60年代，随着高能加速器的发展而开展的实验研究和理论工作，已导致了许多粒子、包括中微子（电子中微子和μ子中微子）、介子和超子的发现。到80年代，已知上百种粒子：

　　轻子：电子，μ子，τ轻子，与之相应的中微子；

　　重子：核子，Λ，Σ⁺，Σ⁰，Σ^－，Ξ^－，Ξ⁰，Ω^－，△^－，△⁰，△⁺，△⁺⁺，Λ_c，Λ_b；

　　介子：π^±，π⁰，K^±，K⁰，η，η＇，ρ^±，ρ^c，J／ψ，Υ族；

　　夸克：u，d，c，s；（t），b，每种味有三种可能的色（红、黄、蓝）。

　　尚未发现孤立形式中的这些夸克，但有很强的证据说它们是构成重子和介子的“基本”粒子。例如，质子由（u，u，d）组成，中子由（u，

　　这些粒子及其“量子数”（例如重子或轻子数，电荷，自旋J，同位旋I、I₃，超荷Y，奇异数S，粲数C等等）是如此数目众多，我们不想在这里解释它们的意义。我们的所有兴趣在于理解不同的相互作用，以及统一这些相互作用的可能性。这里的统一，与爱因斯坦试图统一电磁与引力相互作用中的意义相同。

　　6.统一场：电磁与弱相互作用

　　在上一节里，我们已经认识了四种相互作用。我们现在的兴趣是探讨它们是否能统一起来。为此目的，相互作用（场）的规范变换的对称群将作为指导性原理。

　　在第六章第7节中，我们已知电磁场和狄拉克方程在规范变换（现在是四维表示法）
　　　　　　　　　　　 　　　

　　下是不变的。这些变换形成局部规范群U（1），（由ψ到ψ＇的变换矩阵为1×1幺正矩阵）。

　　由β衰变
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　所代表的弱相互作用涉及一个由2×2幺正矩阵表示的同位旋空间的变换，这一变换属于规范群SU（2）（二维幺正单模群）。

　　电磁相互作用与弱相互作用的统一，由温伯格、萨拉姆和格拉肖于60年代的研究所取得。两种相互作用统一为一种现在称之为“电弱”的相互作用，它属于对称性SU（2）×U（1）。电弱相互作用的传递者为中间玻色子W⁺、W^－、Z⁰和γ（γ是仅有电磁相互作用时的光子）。W^±和Z⁰的质量分别约为82GeV和94GeV。

　　这一理论的成功确实是令人惊异的①。

　　7.强相互作用

　　强相互作用理论的历史很长，也很复杂。它始自50年代早期费米和他的同事们的工作。很快就发现了与不同的“基本”粒子及其激发态相一致的大量“共振态”。对这些粒子的衰变过程，用非常类似于原子光谱分析的方法进行了分析。为了使衰变结构系统化，引入了一些不同于熟悉的质量、自旋、电荷等的概念，以便在目前即使其中某些物理意义尚未搞清的情况下，可通过经验选择定则来表达某些规则性。这使人联想起20年代早期原子光谱学中的情形，当时在1925年电子自旋引入之前，许多诸如J、S这样的量子数的意义也不清楚。

　　强相互作用中（多少经验地）引入的“量子数”是：

　　宇称 电荷 自旋 同位旋 奇异数 超荷 重子数

　　± Q J I S Y B

　　其中

　　Y= B+S
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　经验的“选择定则”是：

　　1）在变换（衰变）中，重子数不变，

　　△B=0

　　表示“重粒子守恒”；

　　2）总电荷数不变；

　　3）奇异数S不变，即

　　△S=0

　　这一定则有时被破坏，例如在下述情况下：

　　Λ→p⁺+π^－，△S=（－1）－（0）=－1

　　Σ⁺→p⁺+π⁰ △S=-1

　　但这些（违背定则的）过程非常慢，这些转变中的Λ、Σ⁺、Σ⁰的寿命约为10^-10秒，相比之下，那些遵从△S=0的寿命约为10^-23秒。

　　4）从未发现违背B和L的守恒（其中L是轻子数）的情形。

　　这些定则与大量关于许多强子和介子的经验结果（其中有些见本章第4节）一起，导致盖耳－曼和奈曼分别独立建议这些粒子（或“层”）由 SU（ 3）群来表示。这些思想引导盖耳－曼和兹韦克于1964年分别独立地提出夸克理论，认为每个核子和介于分别由3个和2个夸克和反夸克构成。现行的理论中有六种“味”的夸克，每味又有三种“色”，及其反夸克，所有这些都具有自旋1/2和重子数1/3。下页表概括了它们的性质。

　　所有的反夸克都有相同的I，但对重子和所有其他量子数都带有相反的符号。

　　由此，对质子、中子、π介子，我们有

　　关于夸克的量子理论的简略概要，请见书末附录13。强相互作用与电弱相互作用的统一，将意味着一个立足于规范群SU（3）×SU（2）×U（1）的理论。这种相互作用的传递者是胶子，而以电弱理论作为一个部分。这一理论尚未完成。

　　8.引力场

　　关于引力波存在的证据已由韦伯报告过，但迄今还是非结论性的。所以，“引力子”目前还只是一个理论上的概念。自从爱因斯坦和韦耳时期以来，理论物理学的最终目标就是把所有已知的相互作用统一进一个单一的相互作用。近年来，有许多尝试性的理论想把引力场和其他的（电弱和强）场统一起来，“弦”和“超弦”理论在数学上是很难的（并且是猜测性的，像所有全新理论一样）。评述这些尝试已非本书的范围所能及。关于对称性和场的进一步论述，请见书末的附录13。

　　参考文献

　　T．Y． WuandPauchyW．Y．Huang，RelativisticQuantumMechanics and Quantum Fields，WorldScientificPubl．Co.，Singapore，1991

　　（经典场论，量子场论，量子电动力学，标准模型,阿哈罗诺夫-玻姆理论）

　　W．Pauli，

　　A.Pais，

　　（卡鲁查和克莱因的统一场论)

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