波动方程的推迟解与超前解

来源: marketreflections 于 2011-03-02 20:04:43 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (8166 bytes)

回答: 洛仑兹用他的洛仑兹规范简化了麦克斯韦方程，从而发现了接触作用观点与超距作用观点的的数学表达式只有一点微妙的区别：表现超距作用观点由 marketreflections 于 2011-03-02 16:15:39

早期的电动力学有两个对立的学派：以安培为代表的法国学派继承了超距作用的观点；以法拉第——麦克斯韦为代表的英国学派则继承了法国人笛卡儿的接触作用的观点。英国学派建立的电磁场理论成功地对电学、磁学、光学和辐射热力学的实验资料作了统一的解释，从而战胜了法国学派，这是电动力学世界观对牛顿力学世界观的第一次胜利。洛仑兹用他的洛仑兹规范简化了麦克斯韦方程，从而发现了接触作用观点与超距作用观点的的数学表达式只有一点微妙的区别：表现超距作用观点的场方程是泊松方程：
d^2g/dx^2+d^2g/dy^2+d^2g/dz^2= -f(x,y,z,t)
其中是“场函数”，表示电磁场的“矢势”或“标势”；f是“源函数”，表示电荷或电流的密度。表现接触作用观点的场方程则是波动方程：
d^2g/gx^2+d^2g/dy^2+d^2g/dz^2-d^2g/cdt^2= -f(x,y,z,t)
在场源的作用不受时间和空间限制的条件（所谓无初值、无边界值问题）下泊松方程的解是：
g(x,y,z,t)=1/4PIR*f(x,y,z,t)dx’dy’dz’
其中 (R=[(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2(1/2)是从观察点(x,y,z)至源点的(x’,y’,z’)的距离，积分限是全空间。这个特解表示电磁作用是“瞬时”的，因而是超距作用。
在同一条件下波动方程的解则是：
(gx,y,z,t)=1/4PIR*f(x,y,z,t-R/c)dx’dy’dz’
这个解叫“推迟解”，它表示电磁作用是“推迟作用”，因而是“接触作用”。
泊松方程遵循加利略变换，波动方程则遵循洛仑兹变换。加利略变换表现牛顿力学的时空观，洛仑兹变换表现电动力学的时空观。因此用波动方程取代泊松方程来表现电磁作用已经蕴涵着物理学史上一次空前的大变革：用电动力学的时空观取代牛顿力学的时空观。
1905年爱因斯坦建立的相对论开始了这一变革，1908年闵可夫斯基对相对论的几何解释则基本完成了这一变革。这是电动力学世界观对牛顿力学世界观的第二次胜利。

波动方程的推迟解与超前解

lwx129
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1楼

有人说：波动方程在理论上是可逆的：如果时间坐标t换成-t，波动方程的形式不变。但是考虑到因果律，波动方程实际上却是不可逆的，因为只有这个方程的推迟解能够实现，而超前解则不能实现。例如，扔一个石头到水面平静的池塘里，在水面激起一个向外发散的波纹，这一过程满足一个波动方程，它必须由该方程的推迟解来描述。而超前解则是这一过程的时间反演，从而描写的是“石头还没有扔出去，水面就已经有了波纹的过程”，这就违背因果律了。人们还说，自然界为什么有这种不可逆性，是二十世纪的世界难题之一。在这里，人们实在太不动脑子了，竟然把一个因疏忽引起的错误结论当作一个世界难题。实际上，波动方程的超前解并不违背因果律。诚然，扔一个石头到平静的池塘里，肯定会在池塘的水面激起一个向外发散的波纹，这一过程，记作A，确实是由推迟解来描述的。但是，A的时间反演却并不是“石头还没有扔出去水面就已经有了波纹”，而是如下过程：开始时，水面有一个波纹向里会聚，当会聚到波纹中心时，一块石头从水中冒出，飞向那个扔石头的人的手中，在这以后，水面恢复平静。这里有一个问题：“石头冒出水面飞向那个扔石头的人的手中”的过程违背力学规律，因为石头入水的过程是不可逆的。对于我们的推理，这是一个节外生枝的麻烦。幸运的是，这个麻烦与我们讨论的问题无关。通过一个简单的数学运算我们可以得出结论：一个波动方程的推迟解的时间反演并不是该波动方程的超前解，而是另一个波动方程的超前解。我们考察的过程是“把石头扔到水中”而不是“石头从水中冒出”，描写该过程的波动方程的超前解表示：开始时，水面有一个波纹向里会聚，当会聚到波纹中心时，一块石头进入水中，在这以后，水面恢复平静，我们把这一过程记作B。 B虽然十分离奇，但并不违背因果律。为了证明这一点，让我们把表示这一过程的超前解表成两项之和，第一项就是推迟解，表示过程A；第二项满足一个齐次波动方程，描述如下过程：初始的波纹会聚到中心点以后，反过来向外发散，把这一过程记作C。为了理解过程C，你可以用脸盆打一盆水，然后敲一下盆边，你将看到一个波纹从脸盆的边沿开始向里会聚的，波纹会聚到脸盆中心以后会反过来向外发散。如果你更细心一点，还会发现，会聚的波纹原来凸出的部分到达中心后，会变成了凹陷的部分，反之亦然。我想这个实验能够使你相信过程C也不违背因果律。B作为A和C两个过程的迭加可描写如下：开始时，初始的波纹向里会聚，当会聚到中心时，初始的波纹反过来向外发散，与此同时，一块石头入水激发另一个向外发散的波纹，这两个向外发散的波纹恰好相互抵消，因此，水面平静下来。既然A和C都不违背因果律，B作为A和C的迭加也不违背因果律。因此，对于我们所考察的例子，超前解并不违背因果律。再考察另一个例子。从静电学我们知道，一个点电荷会激发一个球对称的静电场，这个静电场从无穷遥远的过去直到无穷遥远的将来一直保持不变，我们把这一过程记作D。根据电动力学，D满足一个波动方程，并且由该波动方程的一个特解来表示。从来没有人怀疑这个解是可以实现的。该波动方程还有其它的解。如果我们加上如下初始条件：在t = 0时，全空间没有电场，也没有电场的变化，则从该波动方程得到另一特解，它表示：在t = 0之后，点电荷激发一个球面对称的静电场，在一个以光速膨胀的球面内有电场，而在球面外则没有电场。在t = 0之前，空间的电场分布更为离奇：在一个在以光速收缩的球面内有电场，而在球面外则没有电场。我们把这一过程记作E。表示D的解与表示E的解之差是一个齐次波动方程的特解，它表示：第一，空间始终没有电荷。第二，在t = 0之前，在一个在以光速收缩的球面内有电场，而在球面外则没有电场；在t = 0时，这个球面收缩到中心点，整个空间没有电场；而在t = 0之后，一个球面对称的静电场向外发散：在以光速膨胀的球面内有电场，而在球面外则没有电场。我们把这一过程记作F。没有人怀疑D是可以实现的，但是，我们可以把表示D的特解表成E和F两项之和，而其中至少F在技术上是不能实现的。由此可见，如果把一个特解表成两项之和，其中有一项在技术上不能实现，并不能得出这个特解不能实现的结论。可是我们记得，人们对波动方程的驻波解的非难正是因为它可以表成两项之和，其中的一项在技术上不能实现哩！为了与上面的两个例子一致，我们以另一种方式把氢原子模型的驻波解表成两项之和，第一项是同一方程的推迟解，第二项则是对应的齐次波动方程的解，表示如下过程：在观察到的空间没有氢原子，却有一个球面波向里会聚，该球面波会聚到中心点以后反过来向外发散，这样一个向里一个向外的两个波迭加起来也形成驻波。从上面的考察我们看到，波动方程的推迟解和超前解之间的区别仅仅是初始条件的不同，并不涉及“因果律”这样高深的哲学问题。我们还看到：波动方程的解对初始条件的改变是极为敏感的。由于推迟解只是波动方程无穷多个特解中的一个，它对初始条件的要求极为苛刻，因此推迟解在诸特解中并没有特别优越的地位。对于宏观过程，我们原则上可以创造适当的条件，使得推迟解得以实现。而对于微观过程，初始条件就不能人为地“创造”了，这时再糊里胡涂应用推迟解，就难免要“创造新颖观念”了。顺便说一句，当前人们对“黑洞”的一些细致入微的描写，恐怕也是某种“新颖观念”。例如，人们说，光线不能离开黑洞，但外界却能检测到黑洞的电荷。我们看到，静电作用也是以光速传播的，而且静电场还具有质量，因此，如果光线不能离开黑洞，则静电作用也不能离开黑洞，这样，黑洞中的电荷又怎能在黑洞之外被探测到呢？进一步，引力作用能否离开黑洞也成为问题了。