吴大猷：经典动力学 古典动力学（理论物理第一册

经典动力学

我们将在下一章中看到另一个“统一”，即明显不同的电现象和磁现象统一成一个电磁场－－ 相对论中的四维势；第十三章及附录13中将讨论电弱相互作用的统一和电弱强相互作用 ...
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经典动力学

吴大猷

 

　　1．经典物理学的基本特性

　　经典物理学，即力学和电磁学的最重要特征，就是决定论的本性，其意是在时空内用微分方程描述现象，只要在任何一个时空内给定了条件，那么，微分方程就完备地和唯一地决定了在任何时空内的一个系统的态。（请注意：不必把这个特征与因果性概念等同起来，因果性概念可能还包含着某种与物理学无关的思想要素。）

　　经典物理学的这种决定论特征在人的天然思维中有它的形而上学起源，而在力学中有它的科学起源。现在经典动力学可以说在天体力学中有了它的基础，太阳系的行星运动能够经受重复的观察并且已经发现可以用运动方程高精度地加以描述。牛顿方程和以拉格朗日与哈密顿形式表述的牛顿方程，代表了最明确形式的经典决定论。

　　在经典力学中，“粒子”概念当然有它在我们日常经验中的起源，不过也可以被说成是在天体力学中有坚实的基础，这是指从天体观察中抽象出来而言，天体的运动可以用动力学方程描述。然而，还有另一些现象，诸如声音、光和弹性物体，对于它们的描述则创造出另一个概念，即“波动”概念，发现用来描述它们最为合适－－事实上合适到像“粒子”概念在物理学中一样的“自然”。现在，一个“波”的基本属性就是空间和时间中的周期性，这些属性可以用“波长”和“频率”概念来表达。于是这些属性就把波动与其基本属性是“动量”和“能量”的粒子区分开来。因此，在经典物理学中，我们就有了两种概念，“粒子”和“波”。

　　粒子 　　波

　　动量 　　波长

　　能量 　　频率

　　由它们的基本属性所表征的“粒子”和“波”是相互排斥的。它们的基本差别由于与波动有关的干涉和衍射现象而进一步加深。不以一种特设性的和强迫的方式给“粒子”增加非常复杂的性质，那么，粒子的“衍射”是难以设想的。

　　在经典物理学中，基本学科除力学外还有电磁学。而在电磁学中，电荷是在力学意义上的“粒子”，但对电荷之间相互作用的描述需要某些其他概念。法拉第引进“场”的概念，对物理学作出了最重要的贡献。“场”概念在麦克斯韦那里得到了充分的发展，他以场方程的形式给出了一种精确的数学表述。这些方程提示或预言了电磁场的波动性质，“电磁波”后来为赫兹所发现。伴随着麦克斯韦的理论和赫兹的发现，经典物理学可以说已臻“完成”了。“粒子”概念，为力学所庇护；“波动”概念，为电磁理论所涵盖。

　　经典力学中还有另一群现象，其中包含着大量的粒子。例如，考虑任何宏观量的任何气体。我们要处理的分子数目将达10²²数量级。在这种情况下，实际上不可能知道和鉴别系统的初始条件（动力学状态，即单个分子的坐标和动量）；我们也不着眼于这样一种细节的知识。我们只对系统在宏观尺度上的性质，即在我们观察和测量的尺度上的性质感兴趣。为此目的，我们引入宏观变量（作为与原子尺度上的“微观”变量相对比），并且通过引入概率概念与统计方法来处理大量分子的平均性质。然而，在原子层次上理论仍然在本质上是决定论的，因为单个分子仍然受决定论定律支配。

　　以下我们将从经典动力学开始讨论，理由是：（1）经典动力学是物理学最早的部分，从17世纪初叶就由伽利略和牛顿发展成了一门定量的科学。（2）它是最简单的，只包含三个基本概念，即空间（长度的量度）、时间（持续的量度）和质量（一物体阻止其速度变化的量度）。

　　科学的发展可以追溯到亚里士多德（公元前384－前322年）及其学派；但他们没有把他们的研究建立在实验之上。强调实验和观察或许始于弗兰西斯·培根（1561－1626）；不幸，这种强调是定性的，而不是定量的和测量的。开普勒（1571－1630）和伽利略（1564－1642）是同时代人；他们同是“近代科学”的先驱者－－开普勒强调数学，伽利略强调实验和定量测量。这里还必须谈到较他们年轻的同代人R．笛卡儿（1596－1650）。笛卡儿起初是一位亚里士多德主义者；尽管他受了开普勒工作的影响，但他相信物理学是从先验原理中推演出来的（像欧几里得几何学那样），而不相信观察和实验。物理学作为一门科学，在近代意义上的确可以说是自伽利略和牛顿的经典动力学开始的。

　　现在，距离和时间持续的概念在以下意义上可以看做是“基本的”，即它们不但为人类所“理解”，而且也同样为动物所“理解”。从昼夜、满月和季节的更替等现象中，人形成了周期性的概念，并很快发现了大自然的经验规律：一年有大约365又1／4天。

　　距离或长度的原始概念，立即被扩展到二维和三维，人们从事土地测量的经验又导致了欧几里得几何学的形成，它也许是第一个逻辑体系，并且在两千余年内一直独领风骚，直至19世纪非欧几何学可能性的发现。几何学的这些发展，在物理学中扮演了重要的角色，因为“空间”乃是物理学真实基础的一个基本概念。

　　让我们回过头去看一看伽利略以前的时期。人们从空间和时间的基本概念中推导出像速度和加速度这样一些概念。伽利略用一个圆球在斜面上的运动做实验。他通过改变倾斜角所作的观察和结论，奠定了运动“定律”的基础，这后来又被牛顿（1642－1727）作为他的运动第一定律表述出来。这就是众所周知的“惯性定律”，该定律包含了空间和时间概念之外的另一个概念，即惯性或“质量”。一个物体的质量是该物体的一种属性，即“抵抗”物体运动“状态”（诸如速度）的变化的性质，因此名之曰“惯性”。

　　牛顿为了完善他关于一粒子（一物体抽象为一个质点）在力作用下的运动“理论”，表述了第二定律，即运动方程。关于力（作用）本身，牛顿又陈述了第三定律，即作用和反作用定律。

　　我们将从牛顿三个运动定律的陈述开始：

　　2．惯性定律

　　“一个质点，当它与所有其他质点相距足够远时，该质点之加速度消失。”

　　这一表达相当于那个若非更精确，也是更为人熟悉的表达形式：一物体，当无外力作用其上时，保持静止或匀速直线运动状态。请注意，作为一个基本理论，质点的概念是基本的，而一“刚性”物体的概念必须基于“大量的质点”（massive points）概念连同由质点组成的“物体”之结构（最终包含物质的原子本质）的辅助假设。

　　3．运动定律

　　“在外力作用下，一个质点的运动由以下方程描述

　　动量变化率＝力

　　或者

　　　　质量×加速度＝力。”

　　这里，一个质点的运动必须被理解为“相对于其他客体的运动”，而这个概念的数学表达是用笛卡儿坐标x，y，z作为“时间”t的函数在一个适当选择的参考系内去描述这个点。很清楚，前面两个定律并非适用于任意参考系（牛顿的旋转桶，或一种旋转游戏装置的旋转台），而只适用于某些参考系。这些参考系被叫做“惯性系”。存在着无穷多个这样的参考系，即对一个惯性系作匀速（即无加速度）相对运动的所有参考系也都是惯性系。这是一种限制。广义相对论重新表述了动力学理论，以避免这种对惯性系的限制。

　　第二定律（ma＝f）是一个混乱的源泉。某些人争论说，如果将“力”视作原始概念，那么它是一个定义“质量”的方程，或者如果将“质量”视作原始概念，则它是一个定义“力”的方程。从逻辑的观点看，人们只要首先将质量作如下操作定义，便可避免上述混乱：不同物体（m₁，m₂，……）受相同“力”的连续作用（比方说，一个受压缩的弹簧），且在实验上它们的加速度的倒数比

 

　　被用来定义它们的惯性（或质量）的比率

　　m₁∶m₂∶……

　　人们可以把其中的一个视作标准单位。于是关系式f＝ma可以用来给出力的定量量度。

　　重要的是，不要把此混作循环定义。第二定律是一个理论，给出关于力（诸如万有引力，或在一个荷电粒子上的洛伦兹力）的定律意义上的理论，第二定律给出了运动方程，即对粒子在时空中的描述。

　　牛顿动力学在太阳系行星运动及所有其他方面应用的成功是如此之巨大，以致运动方程和万有引力的假设均被提升到“定律”的地位。

　　4．力的定律

　　牛顿第三定律是说，对于每一个力，都存在着一个大小相等方向相反的反作用力。

　　这个定律明显地应用在牛顿的万有引力理论中。

　　我们现在将从现代发展的观点，即从狭义相对论和广义相对论及量子力学的观点，来考察一下牛顿体系的基本内容。

　　为清楚起见，我们先概述一下牛顿理论及其推论的基本内容：

　　（1）牛顿强调时间这一基本概念的意义，说：时间均匀和连续地流动，与任何其他事物无关。这样一种时间被称为“绝对的”或“普遍的”时间；因此所有观察者都有相同的时间，不论他们的相对运动如何。

　　在本书第四章中我们将看到，在物理学中，与哲学有别，这样一种绝对时间并不具有“操作”意义。

　　（2）在牛顿动力学中，首先，空间距离的测量与时间无关，这是根据绝对时间的定义规定的。第二，三维空间有欧氏几何学的几何性质。在牛顿时代，除了欧氏几何外，还不知有任何其他几何学，空间的几何学问题尚未提出。事实上，直到爱因斯坦于1915－1916年提出引力理论之前，并不存在空间几何学问题。

　　我们将在第四章中看到，空间和时间这两个概念并不是独立的，而且四维时空也并不一定与物质（或能量）的存在无关，因此事实上按照爱因斯坦引力理论它是黎曼时空。

　　（3）在牛顿动力学中，暗含着将以下一点视为当然的事，即同时测量（即知道）一个粒子（一个质点）的位置和动量在原则上是可能的。这种可能性隐含在运动定律本身中：运动的二阶微分方程的解要求知道x和p_x的某个同一时刻的初始值。

　　但是这种可能性在量子力学中从根本上被否定。

　　（4）牛顿动力学中运动方程是决定论的和因果律的，即从一个由系统的粒子之坐标和动量所规定的已知初态出发，运动方程以一种决定论的方式导致一切其后时刻的确定状态。这导致拉普拉斯（1749－1827）宣称：一旦给出了某一瞬间宇宙中所有星星的位置和动量，那么，宇宙过去和未来的状态都将完全被决定。

　　但这种决定论和因果律在量子力学中基本上被否定。

　　（5）让我们再次返回到牛顿动力学。我们已经强调过，牛顿的时间是“绝对的”。他的空间在下述意义上也是“绝对的”。

　　在惯性定律和运动定律的表述中，首先必须有参考系。于是很清楚，这些定律只对“非加速的”参考系才有效。但这隐含了一种“绝对的”空间；否则，“加速”一词便是空的。牛顿运动定律因而只对“惯性”（或伽利略）系有效。例如，在旋转系中，牛顿运动方程必须通过引入像离心力和科里奥利力等额外的“力”加以修正。这些“力”是由于参考系的加速才出现的；它们被认为是“虚拟的”，常称为“惯性力”。

　　虽则牛顿运动方程只对惯性系才有效，但它仍具有很大的普遍性－－即它对于彼此作匀速相对运动的所有惯性系都有效。事实上，运动方程的形式在一切惯性系中都是相同的。我们将在第四章中回到这个“伽利略的相对性”。

　　5．哈密顿动力学：可积系统

　　牛顿的运动方程由拉格朗日（1736－1813）、泊松（1781－1840）、哈密顿（1805－1865）和其他人用各种形式加以表达。最早的形式是莫培督的最小作用原理（Maupertuis’ principle ofleast action，1744）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　〔这里的变分号△意指，运动的变化路径和实际路径满足同样的能量条件，以使迁移时间t₁－t₀对变化路径和实际路径来说是不同的，即t不是一个人们可以令其变分等于零的独立变量。〕

　　一个更普遍的形式则是哈密顿原理（1834年）
　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　而H（p，q），哈密顿量是具有n个自由度的保守系统中的总能量：这里的变分号δ表示，t是一个独立变量，并且所有的变化路径像实际路径一样具有相同的迁移时间t₁－t₂。

　　从哈密顿原理，人们可以得到n个二阶拉格朗日方程
　　　　　　　　　　　　　　　

　　且哈密顿正则方程
　　　　　　　　　　　　　　　

　　它们是2n个一阶微分方程。

　　虽则所有这些形式彼此等价并且在物理内容上也等价于牛顿的运动方程，但它们在进一步的数学发展中，例如在正则变换理论中就不同了。

　　让我们探索一下2n个q_k，p_k换成一个新的集合Q_k，P_k，k＝1，…，n的情况，这种在Q_k，P_k中的正则方程像在q_k，p_k中一样，具有相同的形式
　　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　〔这里，为简单起见，我们将考虑保守系统，即H（q，p）并不明显依赖于t。〕这种不变性的一个（充分）条件是
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　这里S＝S（q，Q），从这一点出发，得出变换方程①
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　上述正则变换条件可以用许多等价形式表示，诸如（Q_i，Q_j）_q,_p=0，（p_i，p_j）_q,_p=0，（Q_i，p_j）_q,_p=δ_ij

　　其中
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　是泊松括号表示。

　　2n个一阶正则方程有2n个一次积分，其中之一是能量积分

　　H(q，p)＝h

　　按照庞加莱的论证，一般地在q_k，p_k中不存在单值的和解析的其他积分（1892年）。〔在特殊情况下，对应于动量和角动量守恒的一次积分存在。〕由此我们就能理解，为什么三体问题一般不可能用经典动力学“解决”。

　　最具有意义的是对一个已知其n个独立的单值的一次积分的系统，

　　f_j(q，p)＝c_j，c_j＝常数，j＝1，…，n

　　如果任意对f_j，f_k的泊松括号消失，

　　（f_j，f_k）＝0，j，k＝l，…，n

　　则正则方程的系统便是“可积的”。这一陈述可作如下证明：

　　让我们选择f_k（q，p）是作用变量J_k（具有相应的角变量W_k），并且通过一个函数S_*（q，J）按照

J），且正则方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

J_k＝常数
　　　　　　　　　　　　　　

　　为了找出S_*（q，J），因J_k＝常数，所以
　　　　　　　　　　　　　　　

　　从f_j（q，p）＝J_j，j＝1，…，n，人们就能得到作为q，J函数的

到q_k＝q_k（W，J）。最后得到

　　p_k=p_k（q，J）=p_k（W，J）

　　证毕。

　　阐明上述方法的最简单例子也许就是一个电子在核电荷为Ze的库仑场中的问题。当然无论是这种方法还是分离变量法均导致（类氢原子）系统能量的相同（索末菲）结果
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　这里J_ν，J_θ，J_ψ，为三个作用变量（也是一次积分）。

　　6．K－A－M理论①

　　在一个反平方律引力场中，一个物体的运动方程因其高度对称性是完全可积的。运动是周期的，且因此是稳定的。一般说来，N个物体的系统在无限长时间内运动的问题，由2n维相（或r）空间内一个点Q（q₁，…，q_n，P₁，…，p_n）的运动来描述。问题是点Q是否在时间进程中通过在2n－1维能量表面上的每个点（或者，为人们所要求的那样近乎每个点）。所谓各态历经假设（ErgodicHypoth-esis），即由L．玻耳兹曼和J．C．麦克斯韦于19世纪80年代提出的Q通过每个点的假设，已被认为是站不住脚的。庞加莱（1892年）给出了所谓各态历经定理，即在长时间进程中，相点Q通过人们所希望的任何点附近，以致运动是准周期的，因此是准各态历经的。

　　然而，存在已知的行星运动，它在10⁹年内是稳定的，即明显不是各态历经的。G．D．伯克荷夫已揭示了运动“形式”积分的存在（1927年）；在稳定运动的“近邻”，系统不是各态历经的。

　　在该问题上的第二个重要进展来自A．N．科耳莫戈洛夫（1954年）、V．I．阿诺德（1963年）和J．莫塞（1962年）的工作。他们研究了如下的问题：选取一个系统，它的哈密顿量H（q，p）可以用一种正则变换而变换成前节所述的角作用变量（W，J），以使H可以表达成一个级数（用ε解析）

　　H（q，p）＝H₀（J）＋εH₁（W，J）＋…

　　H₀（J）是其中n个一次积分为J_k的完全可积系统，ε是一个“小的”参数，而εH₁（W，J）是一个在系统中代表“相互作用”的“微扰”。

　　科耳莫戈洛夫、阿诺德和莫塞的重要结果是，对非常小的ε，系统H具有稳定的行为（即非各态历经行为）。然而，情况十分复杂，且我们不可能对K-A-M理论作更详细的讨论。

　　7．万有引力理论

　　牛顿的万有引力理论，虽然不是普遍动力学原理的一部分，但在物理学发展中具有基本的重要性。我们将提出一系列的评论：（1）万有引力理论是重要的，因为它把许多不同的现象统一成一个“定律”，即开普勒行星运动的三个经验定律（1609年、1619年）、月亮绕地球的运动、“苹果落地”及潮汐等。力图更简单地描述自然现象，一直是物理学追求的重要目标之一。我们将在下一章中看到另一个“统一”，即明显不同的电现象和磁现象统一成一个电磁场－－相对论中的四维势；第十三章及附录13中将讨论电弱相互作用的统一和电弱强相互作用的统一。时下的目标是上述电、弱、强相互作用与引力相互作用的大统一。

　　（2）牛顿万有引力理论最初假定的是两大团粒子“超距”的相互作用，即中间无任何媒介。这种“超距作用”很难理解。牛顿事实上表达了这样的信念，即：经由真空而产生超距作用的思想是荒谬的。然而，牛顿在他的《原理》一书中说得很清楚，他的万有引力理论只是为（开普勒定律的）数学预言提供一个必要的工具，而不涉及引力的机制，即并不触及两个物体为什么互相吸引的问题。我们必须注意到，这一直是物理学家对待物理理论的主流哲学。一个引力定律只描述两个物体怎样相互吸引，而并不解释这两个物体为什么会相互吸引；对后一个问题的考虑已属物理学之外了①。

　　（3）在r点的一个物体m受到的来自R点的另一个物体M的万有引力，可以用一个（标量）势（能）加以表达
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　这就引入了R点的一个质量M在r点产生的引力场概念。这样一个静态场满足拉普拉斯方程或泊松（1781－1840）方程。但是一个以有限速度在空间传播的场的完整概念还有待于19世纪法拉第和麦克斯韦的工作。

　　（4）随着牛顿万有引力理论说明开普勒行星运动三大定律的巨大成功，爱德蒙·哈雷（1656－1742）将此理论应用于彗星轨道。经数学家拉格朗日、拉普拉斯和高斯（1777－1855）之手，天体力学学科诞生了。这个理论也被提升到定律的地位。

　　在开普勒定律的时代，只知道有水星、金星、地球、火星、木星和土星等行星。当然引力定律并没有预言任何轨道上行星的存在，但在1781年天王星发现之后，人们发现它的运动表明有某些奇异的特性，按照万有引力定律，似乎指示出有来自一未知行星的扰动，即来自不是已知的从水星到土星的行星扰动。乌本·J．勒威耶和约翰·C．亚当斯通过计算，预言了未知行星的位置，1846年，第八颗行星海王星被发现。又一个类似的故事重复出现，第九颗行星冥王星于1930年被发现。万有引力定律取得的成功确实是巨大的。

　　（5）物理学的进步和演化是一个无穷尽的过程，而万有引力定律也绝非已终结真理。爱因斯坦于1915－1916年在他的广义相对论基础上提出了一个新的“引力理论”，这个理论我们将在第四章和本书结尾的附录3中再作较详细的描述。

　　参考文献

　　吴大猷：古典动力学（理论物理第一册），科学出版社，北京，1983年

　　（拉格朗日和哈密顿力学）

　　Articles by J．Moser，Y．M．Treve in Topics in NonlinearDynamics，A Tribute to Sir Edward Bullard，ed．bySiebe Jorne，American Iust．of Phys．，New york，1978．

　　（K－A－M理论）