远山雪的BLOG 量子反常的根源，在于拓扑障碍的存在（非平庸），对各级拓扑障碍的分析是量子场论中重要的一环

来源: marketreflections 于 2011-04-12 11:03:12 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (18986 bytes)

回答: 张量不像矢量，你在纸上画个箭头再做个标度就能看到它的大小和方向，要“看到”张量就好比盲人摸象，只能看到它的部分的“样子”，至于它由 marketreflections 于 2011-04-10 15:39:06

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谈几何（六）

(2011-01-03 14:03:52)

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几何

分类：推荐给你

在分析流行的整体拓扑性质的技巧中，一开始我最不喜欢的是Morse理论，虽然这个理论也很巧妙，把Morse函数的临界点的指数和CW复形理论中要求的k维开胞联系在一起。但是在具体应用中，举个简单的例子，比如对一个二维环面（甜甜圈）进行伦型分析，用同伦理论或者同调理论都很直观，但是要用Morse理论的话，我就得找这样的一个Morse函数，找出所有的临界点，逐一检查它们是不是简并的，然后得出和同伦同调分析一样的结论，简直是舍近求远。但是考虑到最终能把这个理论中的泛函提取成跟最小测地线相关的能量泛函，继而分析最小测地线子空间和非最小测地线子空间的指数，还算是平复了一下我的心声吧。对流形的整体拓扑性质的分析有很重要的意义，因为量子反常的根源，在于拓扑障碍的存在（非平庸），对各级拓扑障碍的分析是量子场论中重要的一环。在这类分析里关键的是找到合适的同调群、各阶闭链及边缘链，然后由一个短的同态正合系列诱导出一个长的。这个事儿不纯粹是经验活儿。

cl_k模在群理论里按道理我们是熟悉的，其实照现代代数的理论而言，最基本的对称性应该是来源于：实数、复数、四元数和八元数。前三者严格说来本身是域，可以作用在环上得到相应的代数。举个简单的例子，我们可以把四元数域看做算子代数（算子域和其同态的算子代数），那么能实现这个代数的流形就是一个具有两个反对称结构（两个复结构彼此反对称），这个流形就是四元数代数的表示空间。八元数理论是推广了的代数系统，因为其不可结合。话是这么说，可是在对正交群和辛群进行伦型分析的时候（找稳定同论群），我们依然会发现cl_k模内蕴的丰富性，让人浮想联翩。可是考虑到在物理学中已经有的尝试，我们也许难免会得到这样一个一直在回避的结论：就是分析完成以后，发现并没有我们期待的东西存在，虽然它足够复杂。另外，虽然对称性及其应用（包括反常这类事情在内）神通广大，但是在现实中（物理）我们迫切需要解决的是对称性的破缺方式。在粒子物理标准模型里我们破缺对称性的方式是让真空的对称性破缺，这似乎不是不自然的。但是这样的破缺却不适用于超对称，我们一般的做法有让“别的地方”的对称性自发破缺，然后“传递”到我们这儿，逻辑上仍然属于自发破缺的一种，还有用反常传递（这其实是不错的想法），用引力传递等等，但都不尽如人意。所以我怀疑如果有超对称，也很有可能不落这些俗套。