量子力学课后习题量子力学课后习题<<隐藏
习题 1 1-1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 λ m 与温度 T 成反比，即 λmT = b , 并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字. 解: 将普朗克的黑体辐射公式 8πhv 3 ρvdv = 3 ? c 1 e hv kT dv ?1 c 代入关系式 ρ v dv = ? ρ λ d λ , 利用 c = νλ 和 dv = ? 2 d λ 得 λ ρλ = hc 令 x= ,上式变为 λkT 8π hc λ 5 ? e 1 hc λ kT 5 . ?1 5 ? kT ? x ρ λ = 8π ? ? x . ? hc ? e ? 1 5(1 ? e ? x ) = x . 令 d ρλ = 0 ,得 dx 此为超越方程. 不难看出,上式的解 x=0 对于 ρλ 无意义. 上式的另外一个解可以 通过逐步近似法或者数值计算法获得：=4.965， x 经过验证，=4.965 满足 x 符合题意要求，于是有 把 x 和其它常数代入上式,得 d 2 ρλ <0, dx 2 λmT = hc . xk λ m T = 2.9 × 10 ?3 m ? K 此即维恩位移定律. 1-2 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长. 解 : 注意到本题中钠价电子的动能仅为 3eV ，远小于电子的相对论能量 E = mc 2 = 5.1× 105 eV ，因此有 λ= h h = = 0.71nm . p 2mE 从上式可见，粒子质量越大其波长越短，即波动性较弱，粒子性较强；同样，粒 子动能越大其波长越短，即波动性较弱，粒子性较强. 由于宏观世界的物体质量 普遍很大，因而波动性极弱，主要显现粒子性，因而波粒二象性只有在微观世界 才能显著显现. 1 3 ，求 kT （ k = 1.38 × 10 ?23 J / K 为玻耳兹曼常数） 2 T=1K 时，氦原子的德布罗意波长. 3 解 : 由于氦原子的动能 E = kT = 1.5 × 10 ?3 eV , 远小于氦原子的相对论能量 2 1-3 氦原子的动能是 E = mc 2 = 4 × 931× 106 eV = 3.7 × 109 eV ,故有（氦原子质量约为氢原子质量的 7400 倍） λ= h = p h = 1.25nm 2mE 讨论: 由气体动理论可知,温度为 T 的系统中粒子的平均动能的数量级为 kT， 其德布罗意波长为 λ= h h = . 2mE 2mkT 可见, 温度越低，相应的德布罗意波长越长，粒子的波动性就越明显，特别是当 波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就 不能用经典的统计理论—玻耳兹曼分布描述粒子分布， 而必须用量子的统计理论 —玻色分布或费米公布描述粒子分布. 1-4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求： (1)一维谐振子的能量； (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径. 已知外磁场 H=10T，玻尔磁子 M B = 9 × 10 ?24 J ? T ?1 ，试计算动能的量子化间 隔 ?E ，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较. 解: 玻尔——索末菲的量子化条件为 ∫ pdq = nh , 其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，积分沿运动轨 道积一圈，n 是正整数. (1) 设一维谐振子的振动方程是 x = A cosωt , 其中，相位 φ = ωt . 根据玻尔—索末菲量子化条件，当振子完成一次全振动时， 有 ∫ pdq = m ∫ dt dx = A mω ∫ 2 dx 2π 0 sin 2 φ dφ = A2 mω π = nh ， A2 = 因为 k = mω 2 ，振子能量是 这表明振子能量是量子化的. E= 2 nh . mω 1 2 kA = nωh . 2 (2)当电子在均匀磁场中作圆周运动时，向心力 ? p = ?υ = eBr 2 υ2 r = eυ B , 电子动量为 根据玻尔——索末菲量子化条件,有 ∫ 2π 0 eBr 2 dθ = nh , eBr 2 = nh . 于是得 p 2 (eBr )2 eBnh eh E= = = = nB ? = nBM B , 2? 2? 2? 2? eh 是玻尔磁子. 这样，量子化的能量间隔是 2? 其中， M B = ?E = BM B = 10 × 9 × 10?24 J = 9 × 10 ?23 J . 根据动能与温度的关系式 E = 3 kT 可知: 温度 T=4K 时， 2 E = 1.5 × 4 × 1.6 × 10 ?22 J = 9.6 × 10 ?22 J ; 而当温度 T=100K 时， E = 1.5 × 100 × 1.6 × 10 ?22 J = 2.4 × 10 ?20 J . 由此可知 , 常温和较高温度情况下粒子的热运动能量远大于低温情况下粒子量 子化的能量间隔, 故常温和较高温度情况下粒子能量可看成是连续变化的. 1-5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相 等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？ 解: 严格地说, 两个光子转化为正负电子对的问题需要用量子场论的方法计 算 . 作为一种简化计算 , 可以认为能量相等的两个光子发生对心碰撞 时，转化为正负电子对需要的能量最小，所产生的电子的德布罗意波长 hc 最长.由 E = hv = ? e c 2 和 E= λ 得光子的最大波长 λ= h = 2.4 × 10?3 nm . ?e c 这是光子对转化为正负电子对所需要的最大波长，但从数值上看还是相当小 的.我们知道，电子是自然界中最轻的有质量粒子. 如果要光子对转化为像正 反质子对之类的更大质量的粒子，所需要的光子的最大波长将会更小，这就 是说, 粒子转化一般所需的能量是很大的. 能量越大，粒子间的转化越容易 发生, 也许会出现新粒子，这就是建造能量越来越高的粒子加速器的原因. 3
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题目:光核反应在核天体物理研究中的重要意义
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“粒子基体”的产生条件与“宇宙大爆炸”理论
ε = KT. 式中T是指辐射温度。 体系爆炸早期，物质处在热平衡态。判断在一温度为T的热平衡状态物质含有哪些粒子的原则有两条。 如果质量为m的粒子满足条件：. m c 2 < ...
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选修3-5第十九章原子核第5—8节- 中国教程中心-- 基础教育成果展示中心
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A. mc2 B.（m1+m2）c2. C.（m3-m2-m1）c2 D.（m1+m2-m3）c2. 5. 静止的氡核 Rn放出α 粒子后变成钋核 Po，α粒子动能为Eα。若衰变放出的能量全部变为反冲核和α粒子的 ...
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