群的表示理论最为众人所识，比如李群的生成元的表示，我们知道那是一些矩阵。这种图景很容易让人遗忘更基本的导出，比如生成元的前身其实是微量微分算符，想象一下角动量算符，就是那类的东西，而这些微分算符就是流形上的切矢量，而余切矢量，或者更具体点说，微分形式及其外积所构成的外代数，则对应于全反对陈张量的直乘分解，且只分解出全反对陈的部分，用杨图来看就是一列的那种之间的操作，当然Hodge *算子是什么？就是找等价的全反对陈空间，或者等价的张量基。以上罗嗦是为了说明群论的用途，用途在于打细腻的基础，推荐马中骐的群论，伴随着韩其志孙洪洲的看也挺好，最好挨个的推导其中公式。
流形中需要特别注意的就是一点和一点之间的区别和联系，局部和整体的关系，粗糙点说，基本就是这样。几何量的需找是很关键的一点，所谓几何量可以简单理解为张量，它们按照特定的规律变换，并非带着指标的都是张量，比如联络一形式，好像带着（1,1）型指标，但它们并不是张量指标，联络系数好像带着（1,2）型指标，但它们也不是张量指标。而曲率二形式貌似有何联络一形式一样的（1，1）形指标，而在这里它们也确实是张量指标了，相应的曲率张量系数是（1,3）型的张量场，另外联络系数不是张量但是联络系数差却是（1,2）型张量场，他和挠率有密切关系。以上说明是为了例证几何量分析或者张量分析是什么。我们要依靠这些有明确变换规律的量来给出其它更多的信息。另外要清楚算子究竟是什么算子，比如普通微商和协变微商之间，协变微商和李导数之间，外微分算子和携变外微分算子之间，前两对都是微分算子；但是后者是不同点之间的运算，中间两对儿都是联系不同点，但是一个依赖于方向（向量场）一个则无这种依赖，但是方向协变微商则有关；最后一对儿的后者则仅仅是线性算子并非微分算子。以上是定义在流形上的算子的一些例子。
数学讲究的是逻辑清晰，比如看看联络和度量的关系，流形上显然要有联络，但是却并非要存在度规，如果我们想要看到矢量有长度矢量间有夹角，我们才构造度量，如果进一步要求在每一点都保持上述二者的形式，称之为保度量变换，这时候你能得到度量和联络的一个方程，这方程和联络差张量的反对陈部分，也就是挠率张量（系数）有关，如果这一部分为零，那联络就唯一的被度量决定了，这时就有了我们熟悉的黎曼联络。回过头去说度量场，这是一个对称的（0,2）型张量场，我们知道这种形式可以通过一个正交矩阵转动在经过一个标度变换，变到一个对角的且对角元只是+1，-1, 0的对角矩阵，对角元素不为零的个数就是这矩阵的秩，而这种情况在李代数里面的例子就是其嘉当子代数（不是理想）部分的基灵度量，那所以基灵矢量是什么，就很容易看出了吧？以上说明数学中所有的概念定理都是非常的，cute，清楚的惹人喜欢。
圆面和环面有什么不同？环中间有个洞对不对？圆能连续收缩到一点，环不能对不对？哪怕环中间的洞只是一个奇点，都有着和圆本质的不同。这就是局部和整体的一个例子，一个奇点本身只是一个点和其局部的事情，但是却最终决定了圆和环的不同，物理里面磁单极子的例子是一个现实的应用。我们讲这个是同调和同伦的分析，名字背后就是这个简单又直观的意思。说到名字，昨天有人问我什么是和乐群，我只跟他说了一句，他就恍然大悟，原来不过是环移群而已。流形的伦型分析大部分时候很困难，最好就是它是什么能让我们直接看到，但是明显这是做不到的，或者说，有人知道怎么看到吗？上面说的是形象和直观的例子，那么物质是什么？再有人跟你说基本粒子是点，你就不得不奇怪一下了吧？如果用算符一概表示，本身就暗示着其几何背景的存在，但是这种几何无疑是离散的，非交换的，这也就是我前篇里引用的文章说的一层意思，就是离散的，就是非交换的，而且做到了，连标准模型都再现了，但是我还没具体的看出来，怎么再现的。
周末郊游，博文提前到今天。感谢金融同学这么热情的关注，留言不能及时回复，牛仔很忙~~ 另外通过这篇博文，希望你能看到没有什么浪漫的事，我每天就是在想在计算，遇到不讲求逻辑的人无语凝噎。浪漫在云端。
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