同调群关注的是映射的像，而同伦群关注的是映射本身，

远山雪2011-01-06 09:42:57 [举报]

同调群关注的是映射的像，而同伦群关注的是映射本身，因此同调群的分析比同伦群容易。同调群有不同的选取方式，比如一般同调群有其对偶形式，即上同调群，而因为上同调群中有环结构，因此分析起来更有力。另外我们可以建立起上同调群中上闭链上边缘算子和微分形式外微分算子之间的关系，这就是de Rham上同调群。对这种上同调群应用，通过流行的好覆盖，可以建立cech上同调群，在这里纤维丛被定义为流行的好覆盖的交叠区域的转换矩阵，等等。当然还有其他的定义上同调群的方式。特别是在物理问题中，我们关注的拉氏量往往定义在四维时空，要分析其整体拓扑性质，需要将其解析延拓到高维，此时怎么延拓，是一件巧妙的事情。建议看Witten的文章。