最能把泛函分析和实际问题在一起的另一个重要方向是调和分析 (Harmonic Analysis)。我在这里列举它的两个个子领域，傅立叶分析和小波分析，我想这已经能说明它的实际价值。它研究的最核心的问题就是怎么用基函数去逼近和构造一个函数。它研究的是函数空间的问题，不可避免的必须以泛函分析为基础。除了傅立叶和小波，调和分析还研究一些很有用的函数空间，比如Hardy space，Sobolev space，这些空间有很多很好的性质，在工程中和物理学中都有很重要的应用。对于vision来说，调和分析在信号的表达，图像的
构造，都是非常有用的工具
构造，都是非常有用的工具
建议先学习偏微分方程，同时适当的学一点泛函分析。为什么要引入各种各样的函数空间来研究偏微分方程呢？
大体说来，有几个方面的原因。对于一个方程，什么是它的解呢？古典的定义是找到一个函数，代入使得等式成立。一般而言，对微分方程要求多次导数，因而你的函数就要求可以有这么多次导数存在。因而对于一个2阶PDE,你就要求函数为2次可导，这看起来是自然而然的。但是，最大的问题是，在这个范围内，你很难直接找到这个方程的解。实际上，一般的方程，它的准确解是得不到的。所以，退而求其次，我们需要先证明方程的解是否存在。而直接在2阶可导的函数范围内这件事并不能得到简化。
于是乎，PDE的作法是先一个巨大的空间--即所谓的广义函数空间--中来考虑，这个空间如此之大，以至于其中的任何对象都可以无限求导，而且这个空间包含了所有的连续函数。适当限制一下，其中还可以定义Fourier变换。而Fourier变换是一个强有力的工具。由此，在这个很大的空间中，对于我们感兴趣的线性方程都可以很好的定义解的含义并可以证明解的存在性。
如果我们证明了解--在一种很广义的空间中--的存在。我们还需要知道，这个解是不是有好的性质，比如这个解--一般来说是一个广义函数--是否就是古典意义上的解。这个问题就是所谓的正则性。这些就涉及到所谓的Sobolev空间理论以及各种各样的估计理论。
但是仍然建议先学方程。拓扑知道一点就可以了。点集拓扑相当于一种背景知识，没多大必要专门去学。点集拓扑最重要的两个概念是紧性和分离性，懂得着两个概念差不多就够了。先说这么多。
大体说来，有几个方面的原因。对于一个方程，什么是它的解呢？古典的定义是找到一个函数，代入使得等式成立。一般而言，对微分方程要求多次导数，因而你的函数就要求可以有这么多次导数存在。因而对于一个2阶PDE,你就要求函数为2次可导，这看起来是自然而然的。但是，最大的问题是，在这个范围内，你很难直接找到这个方程的解。实际上，一般的方程，它的准确解是得不到的。所以，退而求其次，我们需要先证明方程的解是否存在。而直接在2阶可导的函数范围内这件事并不能得到简化。
于是乎，PDE的作法是先一个巨大的空间--即所谓的广义函数空间--中来考虑，这个空间如此之大，以至于其中的任何对象都可以无限求导，而且这个空间包含了所有的连续函数。适当限制一下，其中还可以定义Fourier变换。而Fourier变换是一个强有力的工具。由此，在这个很大的空间中，对于我们感兴趣的线性方程都可以很好的定义解的含义并可以证明解的存在性。
如果我们证明了解--在一种很广义的空间中--的存在。我们还需要知道，这个解是不是有好的性质，比如这个解--一般来说是一个广义函数--是否就是古典意义上的解。这个问题就是所谓的正则性。这些就涉及到所谓的Sobolev空间理论以及各种各样的估计理论。
但是仍然建议先学方程。拓扑知道一点就可以了。点集拓扑相当于一种背景知识，没多大必要专门去学。点集拓扑最重要的两个概念是紧性和分离性，懂得着两个概念差不多就够了。先说这么多。
