矢势的解由于矢势A所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程由于矢势所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程一致，一致，所以一

来源: marketreflections 于 2011-03-02 20:11:46 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (6775 bytes)

回答: Teamark 仑兹将上面的两个观点综合起来，接受原子论的观点，认为世界是由原子组成，但是其运动不单有机械运动，还有电磁运动。宏由 marketreflections 于 2011-03-02 16:19:14

§5.2 推迟势推迟势就是达朗贝尔方程的解。写出达朗贝尔方程：推迟势就是达朗贝尔方程的解。写出达朗贝尔方程：达朗贝尔方程 1 ?2 A ?2 A? 2 2 = ??0J c ?t 1 ?2? ρ 2 ? ?? 2 2 =? c ?t ?t ε0 1 ?? (?? Α+ 2 = 0) c ?t 一、先求标势方程的解达朗贝尔方程是线性方程，反映电磁场的叠加性。达朗贝尔方程是线性方程，反映电磁场的叠加性。可以先考虑某一体元内的变化电荷所激发的势,然后对电荷分布区域积虑某一体元内的变化电荷所激发的势然后对电荷分布区域积即得到总的标势。我们先分析解的形式，分，即得到总的标势。我们先分析解的形式，然后提出试探最后证明试探解满足达朗贝尔方程及洛伦兹条件。解，最后证明试探解满足达朗贝尔方程及洛伦兹条件。 1 1. 先分析解的形式设原点处有一假想变化电荷Q(t), 其电荷密度为：其电荷密度为：设原点处有一假想变化电荷 ρ(x,t) = Q(t)δ(x) 这电荷辐射的势满足达朗贝尔方程：这电荷辐射的势满足达朗贝尔方程： 1 ?2? 1 2 ? ? ? 2 2 = ? Q(t)δ(x) c ?t ε0 由球对称性, 只依赖于r,t，与方位角无关。由球对称性 ?只依赖于，与方位角无关。用球坐标表示为 1 ? 2 ?? 1 ?2? 1 (r ) ? 2 2 = ? Q(t)δ(x) 2 ε0 r ?r ?r c ?t (1) 2 除原点之外，除原点之外，? 满足波动方程 1 ? 2 ?? 1 ?2? (r ) ? 2 2 = 0，(r ≠ 0) 2 r ?r ?r c ?t (2) 解是球面波。增大时势减弱，式(2)解是球面波。考虑到当增大时势减弱，做如下代换：解是球面波考虑到当r增大时势减弱做如下代换：变为：式(2)变为：变为 u(r,t) ?(r,t) = r 2 2 ?u 1 ?u ? 2 2 =0 2 ? r c ?t (3) 这个方程形式上是一维空间的波动方程,其通解为这个方程形式上是一维空间的波动方程其通解为其中f 是两个任意函数。其中和g是两个任意函数。是两个任意函数 r r u(r,t) = f (t ? ) + g(t + ) c c 3 所以，除原点以外，所以，除原点以外，? 的解为 1 r r ?(r,t) = [ f (t ? ) + g(t + )] r c c 向外发射的球面波 (4) 向内收敛的球面波 f 和g的具体形式由物理条件决定。的具体形式由物理条件决定。的具体形式由物理条件决定研究辐射问题时,电磁场是由原点处的电荷发出的它必然研究辐射问题时电磁场是由原点处的电荷发出的,它必然电磁场是由原点处的电荷发出的是向外发射的波。因此在辐射问题中应取是向外发射的波。因此在辐射问题中应取g=0,而函数 f 的而函数形式应由原点处的电荷变化形式决定。形式应由原点处的电荷变化形式决定。 4 2. 提出试探解在静电情形,电荷激发的电势在静电情形电荷Q激发的电势电荷所以我们猜想方程(1)的解为：所以我们猜想方程的解为：的解为 ?= Q 4πε0r (5) 证：当r≠0时，式(5)显然是方程的解，因而也是方程显然是方程(2)的解时显然是方程的解， (1) 的解。而r=0是式的奇点，所以的解。是式(5)的奇点是式的奇点， r ?(r,t) = Q(t ? ) 4πε0r c 1 只有在r=0点上才可能不等于零，只有在点上才可能不等于零，可能有δ函数形式点上才可能不等于零的奇异性。的奇异性。 5 1 ?2 2 (? ? 2 2 )? c ?t 的小球包围原点，作一半径为η的小球包围原点，在小球内积分 1 ?2 Q(t ?r / c) 2 2 ∫0 4πr dr(? ? c2 ?t2 ) 4πε0r η 积分的第二项正比于而趋于零，所以，当η→0 时,积分的第二项正比于η2而趋于零，所以，当积分的第二项 η→0 时上式变为：时上式变为： Q(t) Q(t) Q(t) 2 1 ∫dV? r2 = 4πε0 (?4π) = ? ε0 4πε0 其中用到 r Q(t ? ) →Q(t) ， c 1 ? = ?4πδ(x) r 2 6 r ( 2 Qt? ) r c = ?Q(t) δ(x) 函数定义，得到：由δ函数定义，得到： (?2 ? 1 ? ) c2 ?t2 4πε0r ε0 证毕。证毕。如果电荷不在原点上,而是在点上如果电荷不在原点上而是在x’点上令r为x’ 点到场点的距而是在点上,令为点到场点x的距离，有 Q(x′,t ?r / c) ?(x,t) = 4πε0r 由场的叠加性，对于一般变化电荷分布由场的叠加性，对于一般变化电荷分布ρ(x’,t)所激发的标所激发的标势为 ρ(x′,t ?r / c) ?(x,t) = ∫ dV′ 4πε0r 7 二、矢势的解由于矢势A所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程由于矢势所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程一致，一致，所以一般变化电流分布为 J(x′,t) 所激发的矢势 ?0 J(x′,t ?r / c) Α(x,t) = dV′ 4π ∫ r 流分布, 而是决定于较早时刻t-r/c的电荷电流分布。而的电荷电流分布。流分布而是决定于较早时刻的电荷电流分布且源的位置不同，所提前的时间也不同。且源的位置不同，所提前的时间也不同。即x点t时刻点时刻的势，是由不同地点的源在不同时刻激发的。的势，是由不同地点的源在不同时刻激发的。注意：注意：某点x在某时刻的场值，不依赖于同一时刻t的电荷电在某时刻t的场值某点在某时刻的场值，不依赖于同一时刻的电荷电另一种等价的说法是：场点的势的势，另一种等价的说法是：场点x的势，时间上总是落后于激发它的源，因而叫做推迟势。它的源，因而叫做推迟势。 8 推迟势的物理意义：推迟势的物理意义：推迟势说明电荷产生的物理作用不能立刻传至场点, 推迟势说明电荷产生的物理作用不能立刻传至场点而是在较晚的时刻才传到场点, 所推迟的时间r/c正是电磁作用从较晚的时刻才传到场点所推迟的时间正是电磁作用从源点x’传至场点所需的时间是电磁作用的传播速度源点传至场点x所需的时间 c是电磁作用的传播速度。传至场点所需的时间, 是电磁作用的传播速度。推迟势说明电磁作用具有一定的传播速度。推迟势说明电磁作用具有一定的传播速度。根据推迟势，给定以后，根据推迟势，当ρ和J给定以后，可由和给定以后和 Β =?× Α ?Α Ε = ?? ? ? ?t 求出任意一点的电磁场。当然求出任意一点的电磁场。当然, 电磁场本身反过来也对电荷电流发生相互作用, 电流发生相互作用因而激发区内的电荷电流分布是不能任意规定的。以后在研究天线辐射问题时再作具体讨论。意规定的。以后在研究天线辐射问题时再作具体讨论。 9 三、推迟势满足洛伦兹条件证明：证明：令 t′ = t ? r ，对r的函数，有 ? = ??′ 的函数，的函数 c ?0 1 1 ?0 J(x′,t′) ?? A x,t) = ∫?? ( dV′ = ∫(r ?? J +J ??r)dV′ 4 V π 4π V r 1 ?J 1 ?J ?? J(x′,t′) = ? ? ?r = ? ?′r c ?t′ c ?t′ 1 ?J ?′? J(x′,t′) =?′? J(x′,t′)t '=Const. ? ??′r c ?t′ ′ ′ ?? J(x′,t′) =? ? J(x′,t′)t '=Const ?? ? J(x′,t′) ?0 1 ?? A x,t) = ∫ J(x′,t′)?? dV′ ( 4π V r ? 1 ′ ′ + 0 ∫ [? ? J(x′,t′)t '=Const ?? ? J(x′,t′)]dV′ 4π V r 10 ? 1 ?0 1 ′ ′,t′)?? dV′ ? 0 ∫ ? ? J(x′,t′)dV′ ′ ?? A x,t) =? ∫ J(x ( 4π V r 4 Vr π ?0 1 ′ + ∫ ? ? J(x′,t′)t '=Const dV′ 4π V r ?0 J(x′,t′) ?0 1 ′ =? ∫? ? dV′ + ∫ ?′? J(x′,t′)t'=Const dV′ 4π V r 4π V r ?0 1 ′ = ∫ ? ? J(x′,t′)t '=Const dV′ 4π V r ?? 1 1 ?ρ 1 1 ?ρ ?t′ 另外，另外， = dV′ ∫ r ?t = 4πε0 ∫ r ?t′ ?t dV′ 4 0V πε ?t V 1 ?ρ = ∫ r ?t′ dV′ 4 0V πε 1 11 所以，所以， 1 ?? ?0 1 ?ρ = 2 ∫ r ?t′ dV′ c ?t 4 V π 1 ?? ?0 1 ?ρ ′ ?? A+ 2 = ∫ [? ? J(x′,t′)t′=Const + ]dV′ c ?t 4π V r ?t′ 由电荷守恒定律得 ?ρ ?′? J(x′,t′)t′=Const + = 0 ?t′ 1 ?? ?? A+ 2 =0 c ?t 12