矢势的解由于矢势A所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程 由于矢势 所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程 一致， 一致，所以一

§5.2 推迟势推迟势就是达朗贝尔方程的解。写出达朗贝尔方程： 推迟势就是达朗贝尔方程的解。写出达朗贝尔方程： 达朗贝尔方程 1 ?2 A ?2 A? 2 2 = ??0J c ?t 1 ?2? ρ 2 ? ?? 2 2 =? c ?t ?t ε0 1 ?? (?? Α+ 2 = 0) c ?t 一、先求标势方程的解达朗贝尔方程是线性方程，反映电磁场的叠加性。 达朗贝尔方程是线性方程，反映电磁场的叠加性。可以先考 虑某一体元内的变化电荷所激发的势,然后对电荷分布区域积 虑某一体元内的变化电荷所激发的势 然后对电荷分布区域积 即得到总的标势。我们先分析解的形式， 分，即得到总的标势。我们先分析解的形式，然后提出试探 最后证明试探解满足达朗贝尔方程及洛伦兹条件。 解，最后证明试探解满足达朗贝尔方程及洛伦兹条件。 1 1. 先分析解的形式设原点处有一假想变化电荷Q(t), 其电荷密度为： 其电荷密度为： 设原点处有一假想变化电荷 ρ(x,t) = Q(t)δ(x) 这电荷辐射的势满足达朗贝尔方程： 这电荷辐射的势满足达朗贝尔方程： 1 ?2? 1 2 ? ? ? 2 2 = ? Q(t)δ(x) c ?t ε0 由球对称性, 只依赖于r,t，与方位角无关。 由球对称性 ?只依赖于 ，与方位角无关。用球坐标表示为 1 ? 2 ?? 1 ?2? 1 (r ) ? 2 2 = ? Q(t)δ(x) 2 ε0 r ?r ?r c ?t (1) 2 除原点之外， 除原点之外，? 满足波动方程 1 ? 2 ?? 1 ?2? (r ) ? 2 2 = 0，(r ≠ 0) 2 r ?r ?r c ?t (2) 解是球面波。 增大时势减弱， 式(2)解是球面波。考虑到当 增大时势减弱，做如下代换： 解是球面波 考虑到当r增大时势减弱 做如下代换： 变为： 式(2)变为： 变为 u(r,t) ?(r,t) = r 2 2 ?u 1 ?u ? 2 2 =0 2 ? r c ?t (3) 这个方程形式上是一维空间的波动方程,其通解为 这个方程形式上是一维空间的波动方程 其通解为 其中f 是两个任意函数。 其中 和g是两个任意函数。 是两个任意函数 r r u(r,t) = f (t ? ) + g(t + ) c c 3 所以，除原点以外， 所以，除原点以外，? 的解为 1 r r ?(r,t) = [ f (t ? ) + g(t + )] r c c 向外发射的球面波 (4) 向内收敛的球面波 f 和g的具体形式由物理条件决定。 的具体形式由物理条件决定。 的具体形式由物理条件决定 研究辐射问题时,电磁场是由原点处的电荷发出的 它必然 研究辐射问题时 电磁场是由原点处的电荷发出的,它必然 电磁场是由原点处的电荷发出的 是向外发射的波。因此在辐射问题中应取 是向外发射的波。因此在辐射问题中应取g=0,而函数 f 的 而函数 形式应由原点处的电荷变化形式决定。 形式应由原点处的电荷变化形式决定。 4 2. 提出试探解在静电情形,电荷 激发的电势 在静电情形 电荷Q激发的电势 电荷 所以我们猜想方程(1)的解为： 所以我们猜想方程 的解为： 的解为 ?= Q 4πε0r (5) 证： 当r≠0时，式(5)显然是方程 的解，因而也是方程 显然是方程(2)的解 时 显然是方程 的解， (1) 的解。而r=0是式 的奇点，所以 的解。 是式(5)的奇点 是式 的奇点， r ?(r,t) = Q(t ? ) 4πε0r c 1 只有在r=0点上才可能不等于零， 只有在 点上才可能不等于零，可能有δ函数形式 点上才可能不等于零 的奇异性。 的奇异性。 5 1 ?2 2 (? ? 2 2 )? c ?t 的小球包围原点， 作一半径为η的小球包围原点，在小球内积分 1 ?2 Q(t ?r / c) 2 2 ∫0 4πr dr(? ? c2 ?t2 ) 4πε0r η 积分的第二项正比于 而趋于零，所以， 当η→0 时,积分的第二项正比于η2而趋于零，所以，当 积分的第二项 η→0 时上式变为： 时上式变为： Q(t) Q(t) Q(t) 2 1 ∫dV? r2 = 4πε0 (?4π) = ? ε0 4πε0 其中用到 r Q(t ? ) →Q(t) ， c 1 ? = ?4πδ(x) r 2 6 r ( 2 Qt? ) r c = ?Q(t) δ(x) 函数定义，得到： 由δ函数定义，得到： (?2 ? 1 ? ) c2 ?t2 4πε0r ε0 证毕。 证毕。 如果电荷不在原点上,而是在 点上 如果电荷不在原点上 而是在x’点上 令r为x’ 点到场点 的距 而是在 点上,令 为 点到场点x的距 离，有 Q(x′,t ?r / c) ?(x,t) = 4πε0r 由场的叠加性，对于一般变化电荷分布 由场的叠加性，对于一般变化电荷分布ρ(x’,t)所激发的标 所激发的标 势为 ρ(x′,t ?r / c) ?(x,t) = ∫ dV′ 4πε0r 7 二、矢势的解由于矢势A所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程 由于矢势 所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程 一致， 一致，所以一般变化电流分布 为 J(x′,t) 所激发的矢势 ?0 J(x′,t ?r / c) Α(x,t) = dV′ 4π ∫ r 流分布, 而是决定于较早时刻t-r/c的电荷电流分布。而 的电荷电流分布。 流分布 而是决定于较早时刻 的电荷电流分布 且源的位置不同，所提前的时间也不同。 且源的位置不同，所提前的时间也不同。即x点t时刻 点 时刻 的势，是由不同地点的源在不同时刻激发的。 的势，是由不同地点的源在不同时刻激发的。 注意： 注意： 某点x在某时刻 的场值，不依赖于同一时刻t的电荷电 在某时刻t的场值 某点 在某时刻 的场值，不依赖于同一时刻 的电荷电 另一种等价的说法是：场点 的势 的势， 另一种等价的说法是：场点x的势，时间上总是落后于激发 它的源，因而叫做推迟势。 它的源，因而叫做推迟势。 8 推迟势的物理意义： 推迟势的物理意义： 推迟势说明电荷产生的物理作用不能立刻传至场点, 推迟势说明电荷产生的物理作用不能立刻传至场点 而是在 较晚的时刻才传到场点, 所推迟的时间r/c正是电磁作用从 较晚的时刻才传到场点 所推迟的时间 正是电磁作用从 源点x’传至场点 所需的时间 是电磁作用的传播速度 源点 传至场点x所需的时间 c是电磁作用的传播速度。 传至场点 所需的时间, 是电磁作用的传播速度。 推迟势说明电磁作用具有一定的传播速度。 推迟势说明电磁作用具有一定的传播速度。 根据推迟势， 给定以后， 根据推迟势，当ρ和J给定以后，可由 和 给定以后 和 Β =?× Α ?Α Ε = ?? ? ? ?t 求出任意一点的电磁场。当然 求出任意一点的电磁场。当然, 电磁场本身反过来也对电荷 电流发生相互作用, 电流发生相互作用 因而激发区内的电荷电流分布是不能任 意规定的。以后在研究天线辐射问题时再作具体讨论。 意规定的。以后在研究天线辐射问题时再作具体讨论。 9 三、推迟势满足洛伦兹条件 证明： 证明：令 t′ = t ? r ，对r的函数，有 ? = ??′ 的函数， 的函数 c ?0 1 1 ?0 J(x′,t′) ?? A x,t) = ∫?? ( dV′ = ∫(r ?? J +J ??r)dV′ 4 V π 4π V r 1 ?J 1 ?J ?? J(x′,t′) = ? ? ?r = ? ?′r c ?t′ c ?t′ 1 ?J ?′? J(x′,t′) =?′? J(x′,t′)t '=Const. ? ??′r c ?t′ ′ ′ ?? J(x′,t′) =? ? J(x′,t′)t '=Const ?? ? J(x′,t′) ?0 1 ?? A x,t) = ∫ J(x′,t′)?? dV′ ( 4π V r ? 1 ′ ′ + 0 ∫ [? ? J(x′,t′)t '=Const ?? ? J(x′,t′)]dV′ 4π V r 10 ? 1 ?0 1 ′ ′,t′)?? dV′ ? 0 ∫ ? ? J(x′,t′)dV′ ′ ?? A x,t) =? ∫ J(x ( 4π V r 4 Vr π ?0 1 ′ + ∫ ? ? J(x′,t′)t '=Const dV′ 4π V r ?0 J(x′,t′) ?0 1 ′ =? ∫? ? dV′ + ∫ ?′? J(x′,t′)t'=Const dV′ 4π V r 4π V r ?0 1 ′ = ∫ ? ? J(x′,t′)t '=Const dV′ 4π V r ?? 1 1 ?ρ 1 1 ?ρ ?t′ 另外， 另外， = dV′ ∫ r ?t = 4πε0 ∫ r ?t′ ?t dV′ 4 0V πε ?t V 1 ?ρ = ∫ r ?t′ dV′ 4 0V πε 1 11 所以， 所以， 1 ?? ?0 1 ?ρ = 2 ∫ r ?t′ dV′ c ?t 4 V π 1 ?? ?0 1 ?ρ ′ ?? A+ 2 = ∫ [? ? J(x′,t′)t′=Const + ]dV′ c ?t 4π V r ?t′ 由电荷守恒定律 得 ?ρ ?′? J(x′,t′)t′=Const + = 0 ?t′ 1 ?? ?? A+ 2 =0 c ?t 12