查看完整版本: （个人心得）量子力学与微分几何
星空浩淼 2010-12-12 19:22
（个人心得）量子力学与微分几何
在解析几何中，基矢都是人为地给出一组正交归一完备的符号组来表达。我觉得微分几何最奇妙的地方，是给了矢量的基矢（或余矢量的对偶基）以最自然的表达，即用对坐标的导数或者微分来表示基矢（下面统称之为“坐标基”），在我看来这是给出了基矢最本质的“数学原型”。协变张量和逆变张量，都可以用这些坐标基的张量积所构成的张量基来进行展开。
量子力学中的力学量算符，都看作是生成元——注意在算符化经典力学中的色散关系以获得量子力学方程时，能量E这个符号，算符化时直接换成时间平移生成元而不是哈密顿算符，只是它等于哈密顿算符而已，而哈密顿算符则是把其中的动量换成空间平移生成元而得到。在微分几何中，生成元对应Killing矢量。以时空流形为例，Killing矢量与量子场论中Lorentz群的生成元对应。
这么一来，微分几何为量子力学中为何要把经典力学量换成算符，提供了一个很自然的解释，微分几何中，用坐标基来展开切矢量和余切矢量（以下统称为矢量），使得矢量成为算符。例如，标量函数f沿矢量v的方向导数，可以直接写成矢量v作用于f的形式：v(f)。动量是协变矢量（对应1形式），因此将动量用对偶的坐标基展开时，其分量正是量子力学中动量算符的对应分量（只相差一个常数乘性因子）。
这样一来，从微分几何的观点来看，力学量原本就应该存在力学量算符的表达。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-12 19:32 编辑 [/i]]mengzhu 2010-12-12 21:03
帮顶一下；不知这个版块是不是不受高手们的青睐？您的帖居然都查看30回复为0...请受累回一下我的问题 [url]http://www.fxkz.net/viewthread.php?tid=5855&extra=page%3D1[/url]（ps部分就不用看了）
本人普通本科~最近打算重温一下大学学过的数学，再学一下变分群论等等再去看量子的书...星空浩淼 2010-12-13 11:51
我还是移到这栋楼里面，因为内容不属于本科内容henring 2010-12-13 18:50
你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，这一点和QM的动力学算法有某种形式上的同一，所以给力学量为何是算符提供了某种程度上的解释？
另外 Killing矢量场是和等度规群直接联系的，所以“在微分几何中，生成元对应Killing矢量”是有背景条件的，补充一下下，(*^__^*) 嘻嘻……
这里之所以有Killing矢量对应生成元，是因为Lorentz群就是一种等度规群。
另外，怎么感觉这个QM算符与微分几何对应的问题在几何量子化中有涉及到？星空浩淼 2010-12-13 19:31
回复 4# 的帖子
你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，
-----------------------------------------------
在这里，vector的定义不依赖于它所作用的对象，它不仅可以作用于标量函数，同样可以作用于矢量和高阶张量。现代微分几何中，为了表达矢量，从研究“方向导数”入手来定义矢量的，这才发现可以用“坐标基”作为流形上切空间的基矢。我编辑公式不方便，因此无法用数学公式说明。
Killing矢量的定义，原本就是“如果度规沿某矢量的李导数为零，那么该矢量就被称之为Killing矢量”。到目前为止，我还没有看到不对应生成元的Killing矢量。某空间流形中，存在多少个对称的李群变换，就有多少个李群的生成元(当然这里不谈及相同的生成元可以生成不同的群的情形)，也存在多少个Killing矢量场。
我一直想了解几何量子化，但是数学基础一直不够，后来觉得几何量子化有点大炮打蚊子，且似乎看不到有什么优势和前途，就失去想了解的兴趣了。:lol
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:00 编辑 [/i]]henring 2010-12-13 19:52
回复 5# 的帖子
就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？星空浩淼 2010-12-13 20:10
回复 6# 的帖子
我这里谈到的“作用”，是由于把矢量写成用坐标基展开的形式时，一种自然的作用。例如展开逆变矢量时所用的坐标基，是用空间坐标表达的梯度算符，这时候你把这个矢量写在某个量A的左边，就相当于对A求梯度，这就是我说的“矢量对A的作用”。
对任一个张量T，把矢量v写在它的左边，得到vT=v(T)，就相当于对T求沿曲线C的方向导数，其中曲线C是矢量v的积分曲线。星空浩淼 2010-12-13 20:14
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？
----------------------------------------------------------------------
考虑SU(n)群的群流形，这个群流形上的Killing矢量，可能就对应该群的生成元
关于这一点，有待这里的数学高手落实一下:lolhenring 2010-12-13 20:35
回复 8# 的帖子
其实在紧致群流型中，有类似度规的东东，Killing form吧～ 这个有形成Killing矢量场吗？
望季候风等老师指教一下下~~星空浩淼 2010-12-13 20:43
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场henring 2010-12-13 20:55
回复 10# 的帖子
Killing矢量场的几何意义应该还是等度规对称性，还是必须和度规联系起来。不管采用Lie 导数还是其他什么，怎么样都脱离不了背后的度规。要让“Killing矢量在每一点都有定义“，首先就要让Killing矢量有定义，而对于SU（n）这样的流型，构造出“度规”却需要依赖于某个特定的表示，adjoint 表示吧～，说这么多，还是想说，要推广时空流型意义下的Killing矢量场，还是必须在流型上整出一个指标对称且不退化的“张量”来。:)星空浩淼 2010-12-14 00:53
回复 11# 的帖子
“度规”这个概念，有N多种不同的理解方式，也许你对“度规”这个概念理解得有些狭隘了
最简单的理解，把一对矢量取内积，会发现度规张量对应一对基矢或对偶基矢之间的内积。张量有两种表达方式，一种是用张量的分量来表示张量，一种是用张量基的展开方式来表示，若采用后者，度规跟流形上曲线的线元平方等价；若采用前者，度规张量的ij逆变分量， 相当于第i个基矢与第j个基矢的内积，度规张量的ij协变分量，相当于第i个对偶基矢与第j个对偶基矢之间的内积。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 09:15 编辑 [/i]]小杰 2010-12-14 02:28
回复 1# 的帖子
很有趣的觀點。:)小杰 2010-12-14 02:35
回复 5# 的帖子
最後一段怎說呢？
幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？季候风 2010-12-14 03:10
回复 1# 的帖子
动量表示为对坐标的微分算子正是几何量子化在平凡相空间 [tex] T^*mathbb R^3 [/tex] 这种特殊情形的体现。
或者说，几何量子化正是试图把这种表示推广到拓扑非平凡的相空间。而Hamiltonian并不直接是几何量子化的结果，薛定谔方程是 “运动方程” ，是经典 Hamilton 方程在几何量子化框架下的体现，而非 “对称性”。
严格来说，在平凡相空间上，多元微积分和常微分方程（等价于矢量场）就解决了问题，不需要微分几何的概念（最多用到微分形式的概念）。所以你说的这些仍然是海森堡狄拉克的本意。
在拓扑非平凡的相空间上，需要引进诸如度规、Killing 向量场这样的概念，然而，其量子力学要复杂得多，几乎不可能具有像坐标表示这样简单的形式。季候风 2010-12-14 03:12
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2010-12-13 20:43 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50713&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场 [/quote]
Killing form 和 Killing vector field 是两种东西季候风 2010-12-14 03:24
[quote]原帖由 [i]henring[/i] 于 2010-12-13 19:52 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50699&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
回复 5# 的帖子
就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。
[/quote]
vector 通过李导数作用于张量场。
[quote]
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？[/quote]
[/quote]
对。但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？
在量子力学情形（有限自由度）仅此而已。
而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 ”守恒流“ （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧 :)季候风 2010-12-14 03:28
[quote]原帖由 [i]小杰[/i] 于 2010-12-14 02:35 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50726&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
最後一段怎說呢？
幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？ [/quote]
几何量子化暂时还无法将 field theory、Feynman rule、amplitude 以及 renormalization 纳入其框架星空浩淼 2010-12-14 09:20
回复 15# 的帖子
谢谢季兄讲解
另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。
矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场在某一时空点处的电场强度矢量一样，是两个概念。一直想思考 2010-12-14 09:21
回复 15# 的帖子
大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象..
--------------------------------------------------------------------------
在拓扑非平凡的相空间上
--------------------
：：至少可以路径积分定义量子化吧。星空浩淼 2010-12-14 09:39
回复17楼：
[color=Blue]vector 通过李导数作用于张量场。[/color]
---------------------
vector还可以通过协变导数作用于张量场吧
[color=Blue]但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？[/color]
---------------------------------------------------
[color=Magenta]我的疑问是：Killing 矢量只能在时空流形上定义吗？
在SU(n)群的群流形上，是否可以照样引入度规，从而进一步地引入Killing 矢量的概念？[/color]
我们知道，流形上的切矢，必对应流形上某一曲线的切矢；反过来，流形上切矢的积分曲线，必对应流形上的某一曲线。
那么，一般而言，流形上的切矢，是否都可以用生成元矢量展开？换句话说，一般地，生成元矢量可否作为流形上的切空间的完备基矢？
我印象里，在李群与李代数中，从代数的角度来讲，李群群元对群参数求导（且取群参数为零）给出该群的生成元，而李群生成元的指数映射，给出该群群元；从几何角度来讲，生成元矢量是群流形切空间中的矢量，生成元矢量的积分曲线，对应群流形上的曲线。于是可以由完备的生成元矢量集合，“生成”出整个群流形来，所以称之为“群的生成元”。不知是否如此？
[color=Blue]而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 “守恒流” （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧[/color]
----------------------------------------
我猜Noether荷是时空上的Killing矢量场。季兄还是直接给出答案吧:lol
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 10:41 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-14 10:18
我对量子理论的相空间表述，有着特殊的兴趣，因为在我看来，这更能体现量子理论的物理本质所在。
打个比方，只在时空空间中表述量子理论，就如同只在三维空间中表示力学；而在相空间中表述量子理论，就如同在四维时空中表述力学。四维时空是一个整体，就如同相空间才是一个整体。一直想思考 2010-12-14 11:16
在SU(n)群的群流形上，是否可以照样引入度规，从而进一步地引入Killing 矢量的概念？
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
可以。
我猜Noether荷是时空上的Killing矢量场。季兄还是直接给出答案吧
---------------------------------------------------------------
越俎代庖一下，是
killing矢量场A_a满足
倒三角（_a A_b）=0
再用G^(ab)缩并，得到倒三角_a*A^(a)=0
[[i] 本帖最后由 一直想思考 于 2010-12-14 11:17 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-14 13:09
回复 23# 的帖子
谢谢jadybook 2010-12-15 00:46
Killing vector is the generator of diff. invariance which is the property of spacetime.
Is there any relation between Killing vector and internal symmetry?季候风 2010-12-15 00:54
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2010-12-14 09:20 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50737&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
谢谢季兄讲解
另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。
矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场 ... [/quote]
Killing form 是二阶张量
所谓 Killing vector 就是指 Killing vector field. 李导数只能对矢量场定义季候风 2010-12-15 00:56
[quote]原帖由 [i]一直想思考[/i] 于 2010-12-14 09:21 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50738&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象..
--------------------------------------------------------------------------
在拓扑非平凡的相空间上
--------------------
：：至少可以路径积分定义量子 ... [/quote]
几何量子化是严格数学。路径积分暂时还不是。季候风 2010-12-15 01:00
回复 23# 的帖子
正如 jadybook 所说，紧李群上的 Killing vector field 与场论的物理有什么关系？星空浩淼 2010-12-15 01:44
回复 26# 的帖子
看来这个Killing form 是特指2 form?
所谓 Killing vector 就是指 Killing vector field. 李导数只能对矢量场定义
----------------------------------------
的确，我重新看了一下书，书上是直接定义Killing矢量场的。同时在网上也看到then the vector field is called a Killing vector这句话。看来数学术语跟物理术语的确有比较大的差别。
如果按照物理学上的意义，某空间上的矢量场，在该空间上某一点处的取值，才对应一个矢量。
李导数对高阶张量场也有定义。当然季兄这里的意思是说李导数只能对矢量场定义，而不是对矢量定义。
再次谢谢季兄，让我收获不小星空浩淼 2010-12-15 01:51
以QCD为例，SU(3)群的8个生成元之间的对易关系，形成一个封闭的李代数。我不知道这8个生成元，是否可以对应SU(3)群的群流形上的8个Killing矢量场？如果可以，那么这8个Killing矢量场，在物理上，就与8种色荷算符相对应，这就是紧李群上的Killing vector field 与场论物理之间的一个关系实例。
关于这一点对不对，也需要sage 兄落实一下。季候风 2010-12-15 02:04
回复 29# 的帖子
我的意思是只能 “沿” 矢量场求李导数，而不能沿一个矢量求李导数。
色荷对应内部对称群生成元，不需要引入李群上的度量及把生成元视为 Killing 矢量场。
Killing 性质与它是否可以作为物理量无关。
Noether current 不一定是 Killing vector field. 算算最简单的复标量场一直想思考 2010-12-15 09:31
回复 31# 的帖子
引起混乱，表示抱歉，错误了，不解释了。为了防止再引起混乱，这楼就不解释了。:)
[[i] 本帖最后由 一直想思考 于 2010-12-15 09:39 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-15 09:33
回复 31# 的帖子
谢谢！
自量子力学产生以来，关于量子力学的哲学（即它背后的基础），人们研究得很多。其中包括冯诺依曼的《量子力学的数学基础》，量子力学的公理化，以及量子力学的几何模型，等等。我见过“量子力学的几何”之类的英文书籍（当然，所有这类书籍都是老外编的），那里谈到的几何跟微分几何无关。
我谈到这个问题的原始动机，是希望物理上的所有对称群，都有几何上的Killing矢量场与之对应，如果这样，也许可以从微分几何的角度为量子力学提供一种新的视角。我不知道当初几何量子化的产生，有没有这类原始动机。
我现在突然觉得量子力学的公理化（包括任何物理理论的公理化运动），是危险的。例如，量子力学中的一些基本公设，其中些可能只是偶然成立的，即只在特定的近似下才成立，而量子场论相对而言更为精准。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-15 09:48 编辑 [/i]]一直想思考 2010-12-15 09:36
回复 25# 的帖子
当然没有直接联系了。
引起了混乱，我表示抱歉，因为之前的一个问题是 SU（n）的内部对称性群是否作为流形有度规和killing，我以为他后面的问题是这里的生成元引起的流是否也是killing vector field:L星空浩淼 2010-12-15 09:45
传统的辛几何中，其中的相空间是三个位置空间维和三个动量维构成的六维，最多在需要扩充时，添加上时间维
我在考虑，如果物理理论中涉及到的固有质量，不是常量而是一个变量（我们知道，不在质壳上的虚粒子属于这种情形）；物理理论中涉及到的四维时空固有线元长度，也是一个独立的变量（例如膨胀中的宇宙，其四维时空线元好像就是一个变量），从而，例如，四维动量满足的色散关系p^2=m^2中，是五个量满足的一个方程，从而其中有四个量是独立的，我们不妨选定为四维动量的四个分量，即此时四维动量的四个分量是相互独立的变量。
——那么，可否将此时的四维时空和四维动量合成一个八维的相空间，在这样的相空间上建立的“辛几何”、Hamiltonian力学以及相应的量子理论，应该能为物理学提供一个更一般因而更完整的内容吧。星空浩淼 2010-12-15 10:15
回复 34# 的帖子
没有什么值得道歉的，讨论问题、回答问题，任何人都有可能会出错，这很正常。能积极参入进来，就是好样的。大家在相互讨论中能够彼此提高，彼此启发，彼此学习，这才是最重要的:lol一直想思考 2010-12-15 10:28
回复 35# 的帖子
我得认真看帖了，浮躁不行的:) 好吧，不扯淡了。
一个流形M ，如果上面有度规结构，如前面诸兄所说，可以引入killing vector field，通过保度规不变的映射，如诸位所说的"时空”killing,vector是号差的特例。
关于一般群G和流形M，可能流形上没有度规。当然也可以引入killing vector field,这时定义就得推广.当然映射的观点了。
它有很多性质，其中之一是保李代数，这也许只是必要条件。
至于季兄说得我还没算过。不过我同意了。
比如对于量子情形，有些只在低能是李代数，高能是仿李代数，比如kac-moody代数。
当然也有可能会引起混乱，敬请指正。一直想思考 2010-12-15 10:32
传统的辛几何中，其中的相空间是三个位置空间维和三个动量维构成的六维，最多在需要扩充时，添加上时间维
----------------------------------------------------------------------------------
还得添加一个“能量”维.
其实辛几何在算约束系统量子化的非常方便，恰巧我想算东西时，学过一点点。辛几何当然只是形式上的。
因此形式上的东西只能根据新物理而更形式，不觉得它本身会给出更多的东西。季候风 2010-12-17 01:56
[quote]我谈到这个问题的原始动机，是希望物理上的所有对称群，都有几何上的Killing矢量场与之对应，如果这样，也许可以从微分几何的角度为量子力学提供一种新的视角。我不知道当初几何量子化的产生，有没有这类原始动机。 [/quote]
你的愿望比较美好，但是从现在的情况看，量子力学与微分几何可以说是水火不相容。
这也是为什么直接量子化广义相对论是如此困难。
当然，引入弦论以后，似乎可以牵强地说量子力学有某种几何含义，但这种几何恐怕要涉及到
流形上复杂得多的结构（比如一些范畴）。
Witten 对此有一些比较容易理解的想法： [url]http://arxiv.org/abs/1009.6032[/url]季候风 2010-12-17 02:01
回复 37# 的帖子
[quote] 一个流形M ，如果上面有度规结构，如前面诸兄所说，可以引入killing vector field，通过保度规不变的映射，如诸位所说的"时空”killing,vector是号差的特例。
关于一般群G和流形M，可能流形上没有度规。当然也可以引入killing vector field,这时定义就得推广.当然映射的观点了。
它有很多性质，其中之一是保李代数，这也许只是必要条件。
至于季兄说得我还没算过。不过我同意了。
比如对于量子情形，有些只在低能是李代数，高能是仿李代数，比如kac-moody代数。
当然也有可能会引起混乱，敬请指正。
[/quote]
没有度规如何引入 Killing vector field?
所谓 ”仿李代数“ 还是李代数，只不过是无穷维的，具有与有限维半单李代数类似的性质。再说这个跟 Killing vector field 有什么关系？
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2010-12-17 02:03 编辑 [/i]]
星空浩淼 2010-12-12 19:22
（个人心得）量子力学与微分几何
在解析几何中，基矢都是人为地给出一组正交归一完备的符号组来表达。我觉得微分几何最奇妙的地方，是给了矢量的基矢（或余矢量的对偶基）以最自然的表达，即用对坐标的导数或者微分来表示基矢（下面统称之为“坐标基”），在我看来这是给出了基矢最本质的“数学原型”。协变张量和逆变张量，都可以用这些坐标基的张量积所构成的张量基来进行展开。
量子力学中的力学量算符，都看作是生成元——注意在算符化经典力学中的色散关系以获得量子力学方程时，能量E这个符号，算符化时直接换成时间平移生成元而不是哈密顿算符，只是它等于哈密顿算符而已，而哈密顿算符则是把其中的动量换成空间平移生成元而得到。在微分几何中，生成元对应Killing矢量。以时空流形为例，Killing矢量与量子场论中Lorentz群的生成元对应。
这么一来，微分几何为量子力学中为何要把经典力学量换成算符，提供了一个很自然的解释，微分几何中，用坐标基来展开切矢量和余切矢量（以下统称为矢量），使得矢量成为算符。例如，标量函数f沿矢量v的方向导数，可以直接写成矢量v作用于f的形式：v(f)。动量是协变矢量（对应1形式），因此将动量用对偶的坐标基展开时，其分量正是量子力学中动量算符的对应分量（只相差一个常数乘性因子）。
这样一来，从微分几何的观点来看，力学量原本就应该存在力学量算符的表达。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-12 19:32 编辑 [/i]]mengzhu 2010-12-12 21:03
帮顶一下；不知这个版块是不是不受高手们的青睐？您的帖居然都查看30回复为0...请受累回一下我的问题 [url]http://www.fxkz.net/viewthread.php?tid=5855&extra=page%3D1[/url]（ps部分就不用看了）
本人普通本科~最近打算重温一下大学学过的数学，再学一下变分群论等等再去看量子的书...星空浩淼 2010-12-13 11:51
我还是移到这栋楼里面，因为内容不属于本科内容henring 2010-12-13 18:50
你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，这一点和QM的动力学算法有某种形式上的同一，所以给力学量为何是算符提供了某种程度上的解释？
另外 Killing矢量场是和等度规群直接联系的，所以“在微分几何中，生成元对应Killing矢量”是有背景条件的，补充一下下，(*^__^*) 嘻嘻……
这里之所以有Killing矢量对应生成元，是因为Lorentz群就是一种等度规群。
另外，怎么感觉这个QM算符与微分几何对应的问题在几何量子化中有涉及到？星空浩淼 2010-12-13 19:31
回复 4# 的帖子
你的意思是想说现代微分几何把 vector定义为一个作用在标量函数集到域上的map，
-----------------------------------------------
在这里，vector的定义不依赖于它所作用的对象，它不仅可以作用于标量函数，同样可以作用于矢量和高阶张量。现代微分几何中，为了表达矢量，从研究“方向导数”入手来定义矢量的，这才发现可以用“坐标基”作为流形上切空间的基矢。我编辑公式不方便，因此无法用数学公式说明。
Killing矢量的定义，原本就是“如果度规沿某矢量的李导数为零，那么该矢量就被称之为Killing矢量”。到目前为止，我还没有看到不对应生成元的Killing矢量。某空间流形中，存在多少个对称的李群变换，就有多少个李群的生成元(当然这里不谈及相同的生成元可以生成不同的群的情形)，也存在多少个Killing矢量场。
我一直想了解几何量子化，但是数学基础一直不够，后来觉得几何量子化有点大炮打蚊子，且似乎看不到有什么优势和前途，就失去想了解的兴趣了。:lol
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-13 20:00 编辑 [/i]]henring 2010-12-13 19:52
回复 5# 的帖子
就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？星空浩淼 2010-12-13 20:10
回复 6# 的帖子
我这里谈到的“作用”，是由于把矢量写成用坐标基展开的形式时，一种自然的作用。例如展开逆变矢量时所用的坐标基，是用空间坐标表达的梯度算符，这时候你把这个矢量写在某个量A的左边，就相当于对A求梯度，这就是我说的“矢量对A的作用”。
对任一个张量T，把矢量v写在它的左边，得到vT=v(T)，就相当于对T求沿曲线C的方向导数，其中曲线C是矢量v的积分曲线。星空浩淼 2010-12-13 20:14
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？
----------------------------------------------------------------------
考虑SU(n)群的群流形，这个群流形上的Killing矢量，可能就对应该群的生成元
关于这一点，有待这里的数学高手落实一下:lolhenring 2010-12-13 20:35
回复 8# 的帖子
其实在紧致群流型中，有类似度规的东东，Killing form吧～ 这个有形成Killing矢量场吗？
望季候风等老师指教一下下~~星空浩淼 2010-12-13 20:43
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场henring 2010-12-13 20:55
回复 10# 的帖子
Killing矢量场的几何意义应该还是等度规对称性，还是必须和度规联系起来。不管采用Lie 导数还是其他什么，怎么样都脱离不了背后的度规。要让“Killing矢量在每一点都有定义“，首先就要让Killing矢量有定义，而对于SU（n）这样的流型，构造出“度规”却需要依赖于某个特定的表示，adjoint 表示吧～，说这么多，还是想说，要推广时空流型意义下的Killing矢量场，还是必须在流型上整出一个指标对称且不退化的“张量”来。:)星空浩淼 2010-12-14 00:53
回复 11# 的帖子
“度规”这个概念，有N多种不同的理解方式，也许你对“度规”这个概念理解得有些狭隘了
最简单的理解，把一对矢量取内积，会发现度规张量对应一对基矢或对偶基矢之间的内积。张量有两种表达方式，一种是用张量的分量来表示张量，一种是用张量基的展开方式来表示，若采用后者，度规跟流形上曲线的线元平方等价；若采用前者，度规张量的ij逆变分量， 相当于第i个基矢与第j个基矢的内积，度规张量的ij协变分量，相当于第i个对偶基矢与第j个对偶基矢之间的内积。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 09:15 编辑 [/i]]小杰 2010-12-14 02:28
回复 1# 的帖子
很有趣的觀點。:)小杰 2010-12-14 02:35
回复 5# 的帖子
最後一段怎說呢？
幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？季候风 2010-12-14 03:10
回复 1# 的帖子
动量表示为对坐标的微分算子正是几何量子化在平凡相空间 [tex] T^*mathbb R^3 [/tex] 这种特殊情形的体现。
或者说，几何量子化正是试图把这种表示推广到拓扑非平凡的相空间。而Hamiltonian并不直接是几何量子化的结果，薛定谔方程是 “运动方程” ，是经典 Hamilton 方程在几何量子化框架下的体现，而非 “对称性”。
严格来说，在平凡相空间上，多元微积分和常微分方程（等价于矢量场）就解决了问题，不需要微分几何的概念（最多用到微分形式的概念）。所以你说的这些仍然是海森堡狄拉克的本意。
在拓扑非平凡的相空间上，需要引进诸如度规、Killing 向量场这样的概念，然而，其量子力学要复杂得多，几乎不可能具有像坐标表示这样简单的形式。季候风 2010-12-14 03:12
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2010-12-13 20:43 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50713&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
Killing form就是协变的Killing矢量
如果在流形上，Killing矢量在每一点都有定义，那么每一点处的Killing矢量集合，就构成该流形上的Killing矢量场 [/quote]
Killing form 和 Killing vector field 是两种东西季候风 2010-12-14 03:24
[quote]原帖由 [i]henring[/i] 于 2010-12-13 19:52 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50699&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
回复 5# 的帖子
就目前的语境，我不太清楚上面你提及的vector是不是单纯指满足Leibnitz律的map，如果是应该只作用于标量函数吧？当然如果要形成vector sapce需要另外的条件。
那么如果说vector作用于张量，那这个作用具体怎么操作？张量积？如果是张量积那其实所说的“vector”应该是1阶逆变张量吧？这个依然满足Leibnitz律，并且作用于标量函数---其实是0-form。
[/quote]
vector 通过李导数作用于张量场。
[quote]
关于生成元不是Killing矢量的例子------SU(n)群，这个和时空度规没关系。所以生成元不是Killing矢量。对吧？[/quote]
[/quote]
对。但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？
在量子力学情形（有限自由度）仅此而已。
而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 ”守恒流“ （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧 :)季候风 2010-12-14 03:28
[quote]原帖由 [i]小杰[/i] 于 2010-12-14 02:35 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50726&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
最後一段怎說呢？
幾何量子化用到廣義相對論上會得到量子重力嗎？ [/quote]
几何量子化暂时还无法将 field theory、Feynman rule、amplitude 以及 renormalization 纳入其框架星空浩淼 2010-12-14 09:20
回复 15# 的帖子
谢谢季兄讲解
另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。
矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场在某一时空点处的电场强度矢量一样，是两个概念。一直想思考 2010-12-14 09:21
回复 15# 的帖子
大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象..
--------------------------------------------------------------------------
在拓扑非平凡的相空间上
--------------------
：：至少可以路径积分定义量子化吧。星空浩淼 2010-12-14 09:39
回复17楼：
[color=Blue]vector 通过李导数作用于张量场。[/color]
---------------------
vector还可以通过协变导数作用于张量场吧
[color=Blue]但是更好的说法是，内部对称群的生成元根本不是时空上的矢量场，更何谈 Killing 矢量？[/color]
---------------------------------------------------
[color=Magenta]我的疑问是：Killing 矢量只能在时空流形上定义吗？
在SU(n)群的群流形上，是否可以照样引入度规，从而进一步地引入Killing 矢量的概念？[/color]
我们知道，流形上的切矢，必对应流形上某一曲线的切矢；反过来，流形上切矢的积分曲线，必对应流形上的某一曲线。
那么，一般而言，流形上的切矢，是否都可以用生成元矢量展开？换句话说，一般地，生成元矢量可否作为流形上的切空间的完备基矢？
我印象里，在李群与李代数中，从代数的角度来讲，李群群元对群参数求导（且取群参数为零）给出该群的生成元，而李群生成元的指数映射，给出该群群元；从几何角度来讲，生成元矢量是群流形切空间中的矢量，生成元矢量的积分曲线，对应群流形上的曲线。于是可以由完备的生成元矢量集合，“生成”出整个群流形来，所以称之为“群的生成元”。不知是否如此？
[color=Blue]而在场论情形，由于 Noether 定理，内部对称性的 “守恒流” （而不是生成元）的确是时空上的矢量场。它是否 Killing 矢量场，就作为练习吧[/color]
----------------------------------------
我猜Noether荷是时空上的Killing矢量场。季兄还是直接给出答案吧:lol
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-14 10:41 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-14 10:18
我对量子理论的相空间表述，有着特殊的兴趣，因为在我看来，这更能体现量子理论的物理本质所在。
打个比方，只在时空空间中表述量子理论，就如同只在三维空间中表示力学；而在相空间中表述量子理论，就如同在四维时空中表述力学。四维时空是一个整体，就如同相空间才是一个整体。一直想思考 2010-12-14 11:16
在SU(n)群的群流形上，是否可以照样引入度规，从而进一步地引入Killing 矢量的概念？
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
可以。
我猜Noether荷是时空上的Killing矢量场。季兄还是直接给出答案吧
---------------------------------------------------------------
越俎代庖一下，是
killing矢量场A_a满足
倒三角（_a A_b）=0
再用G^(ab)缩并，得到倒三角_a*A^(a)=0
[[i] 本帖最后由 一直想思考 于 2010-12-14 11:17 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-14 13:09
回复 23# 的帖子
谢谢jadybook 2010-12-15 00:46
Killing vector is the generator of diff. invariance which is the property of spacetime.
Is there any relation between Killing vector and internal symmetry?季候风 2010-12-15 00:54
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2010-12-14 09:20 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50737&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
谢谢季兄讲解
另：我在10楼的帖子，没有说过“Killing form 是Killing vector field ”这样的话。因为1形式对应协变矢量，所以我说Killing form就是协变的Killing vector。
矢量与矢量场当然是两个概念，正如电磁场与电磁场 ... [/quote]
Killing form 是二阶张量
所谓 Killing vector 就是指 Killing vector field. 李导数只能对矢量场定义季候风 2010-12-15 00:56
[quote]原帖由 [i]一直想思考[/i] 于 2010-12-14 09:21 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=50738&ptid=5861][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
大概都在谈辛几何吧？这一点引入好像没看到什么量子化迹象..
--------------------------------------------------------------------------
在拓扑非平凡的相空间上
--------------------
：：至少可以路径积分定义量子 ... [/quote]
几何量子化是严格数学。路径积分暂时还不是。季候风 2010-12-15 01:00
回复 23# 的帖子
正如 jadybook 所说，紧李群上的 Killing vector field 与场论的物理有什么关系？星空浩淼 2010-12-15 01:44
回复 26# 的帖子
看来这个Killing form 是特指2 form?
所谓 Killing vector 就是指 Killing vector field. 李导数只能对矢量场定义
----------------------------------------
的确，我重新看了一下书，书上是直接定义Killing矢量场的。同时在网上也看到then the vector field is called a Killing vector这句话。看来数学术语跟物理术语的确有比较大的差别。
如果按照物理学上的意义，某空间上的矢量场，在该空间上某一点处的取值，才对应一个矢量。
李导数对高阶张量场也有定义。当然季兄这里的意思是说李导数只能对矢量场定义，而不是对矢量定义。
再次谢谢季兄，让我收获不小星空浩淼 2010-12-15 01:51
以QCD为例，SU(3)群的8个生成元之间的对易关系，形成一个封闭的李代数。我不知道这8个生成元，是否可以对应SU(3)群的群流形上的8个Killing矢量场？如果可以，那么这8个Killing矢量场，在物理上，就与8种色荷算符相对应，这就是紧李群上的Killing vector field 与场论物理之间的一个关系实例。
关于这一点对不对，也需要sage 兄落实一下。季候风 2010-12-15 02:04
回复 29# 的帖子
我的意思是只能 “沿” 矢量场求李导数，而不能沿一个矢量求李导数。
色荷对应内部对称群生成元，不需要引入李群上的度量及把生成元视为 Killing 矢量场。
Killing 性质与它是否可以作为物理量无关。
Noether current 不一定是 Killing vector field. 算算最简单的复标量场一直想思考 2010-12-15 09:31
回复 31# 的帖子
引起混乱，表示抱歉，错误了，不解释了。为了防止再引起混乱，这楼就不解释了。:)
[[i] 本帖最后由 一直想思考 于 2010-12-15 09:39 编辑 [/i]]星空浩淼 2010-12-15 09:33
回复 31# 的帖子
谢谢！
自量子力学产生以来，关于量子力学的哲学（即它背后的基础），人们研究得很多。其中包括冯诺依曼的《量子力学的数学基础》，量子力学的公理化，以及量子力学的几何模型，等等。我见过“量子力学的几何”之类的英文书籍（当然，所有这类书籍都是老外编的），那里谈到的几何跟微分几何无关。
我谈到这个问题的原始动机，是希望物理上的所有对称群，都有几何上的Killing矢量场与之对应，如果这样，也许可以从微分几何的角度为量子力学提供一种新的视角。我不知道当初几何量子化的产生，有没有这类原始动机。
我现在突然觉得量子力学的公理化（包括任何物理理论的公理化运动），是危险的。例如，量子力学中的一些基本公设，其中些可能只是偶然成立的，即只在特定的近似下才成立，而量子场论相对而言更为精准。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-15 09:48 编辑 [/i]]一直想思考 2010-12-15 09:36
回复 25# 的帖子
当然没有直接联系了。
引起了混乱，我表示抱歉，因为之前的一个问题是 SU（n）的内部对称性群是否作为流形有度规和killing，我以为他后面的问题是这里的生成元引起的流是否也是killing vector field:L星空浩淼 2010-12-15 09:45
传统的辛几何中，其中的相空间是三个位置空间维和三个动量维构成的六维，最多在需要扩充时，添加上时间维
我在考虑，如果物理理论中涉及到的固有质量，不是常量而是一个变量（我们知道，不在质壳上的虚粒子属于这种情形）；物理理论中涉及到的四维时空固有线元长度，也是一个独立的变量（例如膨胀中的宇宙，其四维时空线元好像就是一个变量），从而，例如，四维动量满足的色散关系p^2=m^2中，是五个量满足的一个方程，从而其中有四个量是独立的，我们不妨选定为四维动量的四个分量，即此时四维动量的四个分量是相互独立的变量。
——那么，可否将此时的四维时空和四维动量合成一个八维的相空间，在这样的相空间上建立的“辛几何”、Hamiltonian力学以及相应的量子理论，应该能为物理学提供一个更一般因而更完整的内容吧。星空浩淼 2010-12-15 10:15
回复 34# 的帖子
没有什么值得道歉的，讨论问题、回答问题，任何人都有可能会出错，这很正常。能积极参入进来，就是好样的。大家在相互讨论中能够彼此提高，彼此启发，彼此学习，这才是最重要的:lol一直想思考 2010-12-15 10:28
回复 35# 的帖子
我得认真看帖了，浮躁不行的:) 好吧，不扯淡了。
一个流形M ，如果上面有度规结构，如前面诸兄所说，可以引入killing vector field，通过保度规不变的映射，如诸位所说的"时空”killing,vector是号差的特例。
关于一般群G和流形M，可能流形上没有度规。当然也可以引入killing vector field,这时定义就得推广.当然映射的观点了。
它有很多性质，其中之一是保李代数，这也许只是必要条件。
至于季兄说得我还没算过。不过我同意了。
比如对于量子情形，有些只在低能是李代数，高能是仿李代数，比如kac-moody代数。
当然也有可能会引起混乱，敬请指正。一直想思考 2010-12-15 10:32
传统的辛几何中，其中的相空间是三个位置空间维和三个动量维构成的六维，最多在需要扩充时，添加上时间维
----------------------------------------------------------------------------------
还得添加一个“能量”维.
其实辛几何在算约束系统量子化的非常方便，恰巧我想算东西时，学过一点点。辛几何当然只是形式上的。
因此形式上的东西只能根据新物理而更形式，不觉得它本身会给出更多的东西。季候风 2010-12-17 01:56
[quote]我谈到这个问题的原始动机，是希望物理上的所有对称群，都有几何上的Killing矢量场与之对应，如果这样，也许可以从微分几何的角度为量子力学提供一种新的视角。我不知道当初几何量子化的产生，有没有这类原始动机。 [/quote]
你的愿望比较美好，但是从现在的情况看，量子力学与微分几何可以说是水火不相容。
这也是为什么直接量子化广义相对论是如此困难。
当然，引入弦论以后，似乎可以牵强地说量子力学有某种几何含义，但这种几何恐怕要涉及到
流形上复杂得多的结构（比如一些范畴）。
Witten 对此有一些比较容易理解的想法： [url]http://arxiv.org/abs/1009.6032[/url]季候风 2010-12-17 02:01
回复 37# 的帖子
[quote] 一个流形M ，如果上面有度规结构，如前面诸兄所说，可以引入killing vector field，通过保度规不变的映射，如诸位所说的"时空”killing,vector是号差的特例。
关于一般群G和流形M，可能流形上没有度规。当然也可以引入killing vector field,这时定义就得推广.当然映射的观点了。
它有很多性质，其中之一是保李代数，这也许只是必要条件。
至于季兄说得我还没算过。不过我同意了。
比如对于量子情形，有些只在低能是李代数，高能是仿李代数，比如kac-moody代数。
当然也有可能会引起混乱，敬请指正。
[/quote]
没有度规如何引入 Killing vector field?
所谓 ”仿李代数“ 还是李代数，只不过是无穷维的，具有与有限维半单李代数类似的性质。再说这个跟 Killing vector field 有什么关系？
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2010-12-17 02:03 编辑 [/i]]
选择“Disable on www.wenxuecity.com”
选择“don't run on pages on this domain”
